Файл: Решение нелинейных уравнений с заданной точностью.pdf

Задача 4. Численное решение нелинейных уравнений
с заданной точностью
Задание: по заданному нелинейному уравнению
F(x)=0, где F(x) – некоторое нелинейное аналитическое выражение, определенное на интерва- ле [a, b], вычислить корни этого уравнения с требуемой точностью E одним из трех методов:
1. итераций;
2. половинного деления;
3.
Ньютона.
Исходные данные для решения нелинейных уравнений приведены в табл. 4.
Таблица 4
Исходные данные для решения нелинейных уравнений
Вариант
Выражение
Интервал
Метод
Точность
№
F(x)
a
b
N
E
00
8
,
3 35
,
0
)
sin(
3


x
x
2 3
1 10
-5
01
1 25
,
0 3

 x
x
0 2
3 10
-5
02
5
,
2 3
/
1



x
x
x
0 1
2 10
-5
03
))
6
,
3
sin(
3
/(
1
x
x


0,4 0,85 1
10
-6
04
x
x
x
ln
1
,
0 2

0 2
3 10
-5
05
3
/
1 3
/
)
(
3

 tgx
tgx
1 0,8 2
10
-5
06
5
,
0 3
)
3
,
0 1
(
arccos
x
x


0 1
1 10
-6
07
5
ln
4 3


x
x
0,1 4
3 10
-5
08
2
/
1
)
/
1
sin(
2
)
2
/
cos(
x
x
x


0,5 2
2 10
-5
09
x
x
arcsin
)
4
,
0 1
(
5 0
2


0 1
1 10
-5
10
2
/
)
(
2
x
x
e
e 
0 1
3 10
-6
11
x
x
x
ln
2
)
cos(ln
)
sin(ln


0 3
2 10
-5
12
)
/
1
sin(
2
x
x


1 2
1 10
-5
13
2 3
5 2
3



x
x
x
1,2 6
3 10
-6
14
3 4
3

 x
x
-1,5
-0,3 2
10
-6
15
4 2
3

 x
x
1 2
3 10
-5
16
3

 x
e
x
1 3
2 10
-5
17
8
ln
8 5


x
x
3 5
2 10
-6
18
25
,
0
sin


x
x
0,5 2
3 10
-5
19
)
1
ln(
sin
1
x
x
x




0 1,5 1
10
-5
20
tgx
x


5
,
0
)
1
(
0 1
2 10
-6
21
5
ln
6
)
(ln
3 2


x
x
1 3
3 10
-6
22
x
x
arctg


)
(
4
,
0 5
,
0 1
2 1
10
-5
23
7 25
,
0 3


x
x
1,5 2,5 2
10
-5
24
1 5
10 5
2 3



x
x
x
-2 0
3 10
-6

25
x
x
e
x
10
ln 

3 4
2 10
-6
26
7
ln
8 5
2


x
x
2 5
3 10
-6
27
75
,
0
sin
3


x
x
0 2
2 10
-5
28
)
1
ln(
sin
5 2
x
x
x




0,5 1,5 1
10
-5
29
tgx
x


5
,
1
)
1
(
1 3
3 10
-6
30
5
ln
8
)
(ln
2 3


x
x
1 2
2 10
-6
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ 4
При разработке модуля программы решения нелинейных уравнений необходимо иметь ввиду следующее.
Решение нелинейных уравнений вида F(x)=0 заключается в поиске одного или всех таких значений x на интервале [a,b], при подстановке которых функция F(x) обращается в нуль.
Работу по решению этой задачи целесообразно провести в два этапа.
На первом этапе оценивается характер изменения функции F(x) при изменении аргу- мента x на интервале [a,b] и проверяется, имеет ли место перемена ее знака (переход через нуль). Количество таких переходов определяет и количество корней.
Рис. 3. Графическое представление функции F(x)
Для этого интервал [a,b] разбивается на n участков, где n принимается равным 10..15, и вычисляется функция F(x) на каждом участке, т.е. при изменении x от a до b с шагом
h=(b-a)/n.
Из полученной таким образом таблицы будет виден и характер изменения функции, и количество переходов через нуль.
На втором этапе путем последовательных приближений производится поиск корней одним из предлагаемых методов.
Метод итераций основан на последовательном задании аргумента x и вычислении по нему функции F(x), причем очередное значение x получается присваиванием значения функции от предыдущего х по формуле x
n+1
=F(x
n
) до тех пор, пока соблюдается условие
|x
n+1
- x
n
|>=E. Первоначальное значение аргумента x (первое приближение: x
1
) определяется из таблицы как ближайшее к месту перехода функции F(x) через нуль. Последнее приближе- ние x и будет корнем уравнения с точностью E.
Метод половинного деления (дихотомии) состоит в следующем.
1. Определяем начальное значение x=(a+b)/2 (как результат деления интервала [a,b] пополам).
2. Вычисляем F(x).
F
0
x
b
a

3. Если F(x)>0 и F(a)>0 или F(x)<0 и F(a)<0 (т.е. перемена знака функции F(x) не произошла), то задаем a=x (т.е. перемещаем левую границу интервала в середину), уменьшая интервал вдвое и исключая при этом левую половину, на которой либо нет корней, либо есть четное число корней, иначе задаем b=x (исключаем правую половину интервала). См. рис. 4.
4. Проверяем условие b-a, если оно не выполняется, то возвращаемся к п.1. с но- выми значениями границ интервала, иначе заканчиваем вычисления и считаем, что последнее значение x и будет корнем уравнения с заданной точностью E.
Рис.4. Геометрическое представление метода половинного деления
Метод Ньютона (касательных) основан также на последовательном задании значе- ний x и вычислении функции F(x), причем очередное значение x определяется формулой:
x
n+1
=x
n
-F(x
n
))/F’(x
n
), где F’(x
n
) – производная от функции F(x) в точке x
n
Геометрически производная от F(x), как известно, по величине равна тангенсу угла наклона касательной к кривой F(x) в точке x. Тогда точка x
n+1
есть точка пересечения с осью абсцисс касательной к кривой F(x), проведенной в точке x=x
n
. См. рис. 5.
Рис. 5. Геометрическое представление метода Ньютона
Как и в методе итераций, начальное значение x задается как ближайшее табличное к месту перехода функции F(x) через ноль.
Выражение для производной F’(x) получают аналитически в результате дифференци- рования функции F(x). Значение производной может быть получено приближенно и числен- ным методом:
F’(x)=(F(x+E)-F(x))/E.
Итерационный процесс приближения к корню (последовательное вычисление x
n+1
) продолжается до тех пор, пока будет выполняться условие |x
n+1
- x
n
|>=E.
F
0
x
b
a
F(x)
x
n
x
n+1
F
0
x
b
a
F(x)
(a+b)/2

Следует иметь ввиду, что при выполнении задания и алгоритм, и программа должны предусматривать оба этапа работы: табулирование функции F(x) с выбором начального при- ближения и процесс поиска корней с заданной точностью.
Примерный(!) вид формы решения задачи 4 представлен на рисунке ниже.
Как строить таблицы описано в файле ТаблицаCтрок.pdf.
В данном примере из таблицы видно, что функция F(x) меняет свой знак при измене- нии х от 1,0 до 1,2. В качестве начального значения корня можно взять произвольное значе- ние из этого интервала.
Уравнение, на указанном для варианта интервале, может иметь не один корень. В этом случае надо найти все корни. Для этого предварительно надо исследовать интервал на возможные изменения знака функции F(x).