Файл: Гл. 4 Сложение волн 1 Волновые пакеты 1). Бигармоническая волна 2).docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2023
Просмотров: 56
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Гл.4 СЛОЖЕНИЕ ВОЛН§ 4.1 Волновые пакеты (4.1.1). Бигармоническая волна (4.1.2)4.1.1. Гармоническая волна – идеальная модель. Процесс происходит за конечное время и формируется в ограниченном пространстве.В соответствии с принципом суперпозиции произвольную волну в линейной среде можно представить в виде группы (гармонических!) волн или волнового пакета.Пример такого пакета – гармонический цуг со сложной спектральной плотностью амплитуды А(ω) = Аωdω.( А(k) = Akdk ) Временнойи пространственный спектры оказываются идентичными при отсутствии дисперсии. В силу преобразования Фурье формы огибающих спектра и цугов взаимно обратимы.Также в силу того, что фазовые скорости волн, образующих пакет, одинаковы, его форма сохраняется. В противном случае, когда υ = f (ω),волновой импульс “расплывается”.4.1.2. Бигармоническая волнаРассмотрим пространственный пакет из двух близких волн, когда:А1 = А2 = А; ω1 = ω – dω, ω2 = ω + dω;k1 = k – dk , k2 = k + dkИтак:Ψ1 (x,t) = А1cos [(ω – dω)t – (k – dk)x] Ψ2 (x,t) = А2cos [(ω + dω)t – (k +dk)x] Используя формулу cosα + cosβ = 2 cos 
cos 
, получаем, пренебрегая бесконечно малымиΨ (x,t) = Ψ1 + Ψ2 = = 2А cos (tdω - xdk) cos (ωt -kx)Имеем в итоге амплитудно - модулированную гармоническую волну.Ψ
(t) представляет процесс, называемый биениями с периодом Тмод.=
.§ 4.2 Групповая скорость. Соотношения РэлеяСкорость переноса центра нашего пакета (максимальной амплитуды Аm = 2А) находятдифференцированием из условия(tdω - xdk) = const = 0 и называют её групповойυг = 
Связь между фазовой и групповой скоростью дана Рэлеемυг = 
= υф +k
илиυг = υф - λ
,если учесть, что:k = 
, dk = - 
dλИтак, формулы Рэлея:
Они получаются и для многоволнового пакета.§ 4.3 Соотношение неопределённости для волнДля волнового пакета с набором волн с частотами ω(k) и волновыми числами из интервала k - 
k, k + k, описываемого функциейΨ (x,t) = 
(k) cos [ω(k)∙t – kx]dkамплитуда превращается в нуль, когда сдвиг по фазе каждой волны относительно волны суперпозиции достигает 
.
Значения огибающей пакета за пределами /
k будут незначительными.Таким образом, соотношениями определяющими область локализации пакета являются
Чем меньше область локализации пакета, тем больше разброс волновых чисел и наоборот. Данную связь называют соотношением неопределённости для волн.Аналогичное соотношение характеризует временную локализацию пакета и носит название теоремы о ширине полосы частот
Уменьшение временной длительности пакета ( t) приводит к расширению частотного спектра гармонических волн, формирующих заданный импульс.Фурье – разложение пакета по частотам имеет вид:Ψ (x,t) = 
(ω) cos [ωt – k(ω)∙x]dωПри нормальной дисперсии волны с более высокими частотами распространяются с меньшими фазовыми скоростями, что приводит к размытию пакета.§ 4.4 Круговая и эллиптическая поляризация как результат сложения двух векторных волнРассмотрим суперпозицию двух гармонических линейно поляризованных плоских и взаимно-перпендикулярных волн
(z,t) =
Exocos (ωt – kz + α)(z,t) = 
Eyocos (ωt – kz)Если α = 0, то векторная сумма – плоская волна с амплитудойEm = 
Направление колебаний волны составляет с осью 0Х угол β, причём β = arc tg ( 
) Если угол α = + 
, тогда:(z,t) = 
Exosin (ωt – kz)(z,t) = Eyocos (ωt – kz)и соответственно:+ 
= 1Это уравнение эллипса, который в сечении z = 0 вычерчивает конец результирующего вектора 
, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω. При α = - вращение будет по часовой стрелке. Наконец, если Exo= Eyo =Eo вместо эллипса вычерчивается круг. (Говорят соответственно о “левой” или “правой” эллиптических и о “круговой” поляризациях волны.Таким образом из двух взаимно-перпендикулярных волн можно сформировать волну любой поляризации.
Интесивность волн неполяризованного (естественного) света I(φ) одинакова по всем направлениям. Для частично поляризованного света вводят величину η, определяющую степень его поляризацииη =
.
cos , получаем, пренебрегая бесконечно малымиΨ (x,t) = Ψ1 + Ψ2 = = 2А cos (tdω - xdk) cos (ωt -kx)Имеем в итоге амплитудно - модулированную гармоническую волну.Ψ
(t) представляет процесс, называемый биениями с периодом Тмод.=
.§ 4.2 Групповая скорость. Соотношения РэлеяСкорость переноса центра нашего пакета (максимальной амплитуды Аm = 2А) находятдифференцированием из условия(tdω - xdk) = const = 0 и называют её групповойυг = Связь между фазовой и групповой скоростью дана Рэлеемυг = = υф +k илиυг = υф - λ ,если учесть, что:k = , dk = - dλИтак, формулы Рэлея:| υг = υф + k (4.1) υг = υф – λ |
k, k + k, описываемого функциейΨ (x,t) = (k) cos [ω(k)∙t – kx]dkамплитуда превращается в нуль, когда сдвиг по фазе каждой волны относительно волны суперпозиции достигает .
Значения огибающей пакета за пределами /
k будут незначительными.Таким образом, соотношениями определяющими область локализации пакета являются  kx  ,  ky , (4.2)  kz |
 (4.3) |
t) приводит к расширению частотного спектра гармонических волн, формирующих заданный импульс.Фурье – разложение пакета по частотам имеет вид:Ψ (x,t) = (ω) cos [ωt – k(ω)∙x]dωПри нормальной дисперсии волны с более высокими частотами распространяются с меньшими фазовыми скоростями, что приводит к размытию пакета.§ 4.4 Круговая и эллиптическая поляризация как результат сложения двух векторных волнРассмотрим суперпозицию двух гармонических линейно поляризованных плоских и взаимно-перпендикулярных волн
(z,t) =
Exocos (ωt – kz + α)(z,t) = Eyocos (ωt – kz)Если α = 0, то векторная сумма – плоская волна с амплитудойEm = Направление колебаний волны составляет с осью 0Х угол β, причём β = arc tg ( ) Если угол α = + , тогда:(z,t) = Exosin (ωt – kz)(z,t) = Eyocos (ωt – kz)и соответственно:+ = 1Это уравнение эллипса, который в сечении z = 0 вычерчивает конец результирующего вектора , вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω. При α = - вращение будет по часовой стрелке. Наконец, если Exo= Eyo =Eo вместо эллипса вычерчивается круг. (Говорят соответственно о “левой” или “правой” эллиптических и о “круговой” поляризациях волны.Таким образом из двух взаимно-перпендикулярных волн можно сформировать волну любой поляризации.
Интесивность волн неполяризованного (естественного) света I(φ) одинакова по всем направлениям. Для частично поляризованного света вводят величину η, определяющую степень его поляризацииη =
.