Гл.4 СЛОЖЕНИЕ ВОЛН
§ 4.1 Волновые пакеты (4.1.1).

Бигармоническая волна (4.1.2)
4.1.1.

Гармоническая волна – идеальная модель. Процесс происходит за конечное время и формируется в ограниченном пространстве.
В соответствии с принципом суперпозиции произвольную волну в линейной среде можно представить в виде группы (гармонических!) волн или волнового пакета.




Пример такого пакета – гармонический цуг со сложной спектральной плотностью амплитуды А(ω) = А_ω dω.

( А(k) = A_k dk )

Временной и пространственный спектры оказываются идентичными при отсутствии дисперсии. В силу преобразования Фурье формы огибающих спектра и цугов взаимно обратимы.

Также в силу того, что фазовые скорости волн, образующих пакет, одинаковы, его форма сохраняется. В противном случае, когда υ = f (ω),

волновой импульс “расплывается”.

4.1.2. Бигармоническая волна
Рассмотрим пространственный пакет из двух близких волн, когда:

А₁ = А₂ = А; ω₁ = ω – dω, ω₂ = ω + dω; k₁ = k – dk , k₂ = k + dk
Итак:

Ψ₁ (x,t) = А₁ cos [(ω – dω)t – (k – dk)x]

Ψ₂ (x,t) = А₂ cos [(ω + dω)t – (k +dk)x]

Используя формулу cos α + cos β = 2 cos cos , получаем, пренебрегая бесконечно малыми

Ψ (x,t) = Ψ₁ + Ψ₂ =

= 2А cos (tdω - xdk) cos (ωt -kx)
Имеем в итоге амплитудно - модулированную гармоническую волну.

Ψ

---

(t) представляет процесс, называемый биениями с периодом Т_мод. = .
§ 4.2 Групповая скорость. Соотношения

Рэлея
Скорость переноса центра нашего пакета (максимальной амплитуды А_m = 2А) находят дифференцированием из условия

(tdω - xdk) = const = 0

и называют её групповой
υ_г =


Связь между фазовой и групповой скоростью дана Рэлеем
υ_г = = υ_ф +k

или

υ_г = υ_ф - λ ,
если учесть, что:

k = , dk = - dλ
Итак, формулы Рэлея:

υг = υф + k (4.1) υг = υф – λ

Они получаются и для многоволнового пакета.


§ 4.3 Соотношение неопределённости

для волн
Для волнового пакета с набором волн с частотами ω(k) и волновыми числами из интервала k - k, k + k, описываемого функцией
Ψ (x,t) = (k) cos [ω(k)∙t – kx] dk
амплитуда превращается в нуль, когда сдвиг по фазе каждой волны относительно волны суперпозиции достигает .

---

Значения огибающей пакета за пределами

/ k будут незначительными.

Таким образом, соотношениями определяющими область локализации пакета являются

kx , ky , (4.2) kz

Чем меньше область локализации пакета, тем больше разброс волновых чисел и наоборот.

Данную связь называют соотношением неопределённости для волн.


Аналогичное соотношение характеризует временную локализацию пакета и носит название теоремы о ширине полосы частот

(4.3)

Уменьшение временной длительности пакета ( t) приводит к расширению частотного спектра гармонических волн, формирующих заданный импульс.


Фурье – разложение пакета по частотам имеет вид:
Ψ (x,t) = (ω) cos [ωt – k(ω)∙x] dω


При нормальной дисперсии волны с более высокими частотами распространяются с меньшими фазовыми скоростями, что приводит к размытию пакета.

§ 4.4 Круговая и эллиптическая

поляризация как результат

сложения двух векторных волн

Рассмотрим суперпозицию двух гармонических линейно поляризованных плоских и взаимно-перпендикулярных волн

---

(z,t) = E_xocos (ωt – kz + α)
(z,t) = E_yocos (ωt – kz)


Если ‌α‌ = 0, то векторная сумма – плоская волна с амплитудой

E_m =

Направление колебаний волны составляет с осью 0Х угол β, причём

β = arc tg ( )


Если угол α = + , тогда:
(z,t) = E_xosin (ωt – kz)
(z,t) = E_yocos (ωt – kz)
и соответственно:

+ = 1
Это уравнение эллипса, который в сечении z = 0 вычерчивает конец результирующего вектора , вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω. При α = - вращение будет по часовой стрелке.


Наконец, если E_xo= E_yo =E_o вместо эллипса вычерчивается круг. (Говорят соответственно о “левой” или “правой” эллиптических и о “круговой” поляризациях волны.


Таким образом из двух взаимно-перпендикулярных волн можно сформировать волну любой поляризации.

---

Интесивность волн неполяризованного (естественного) света I(φ) одинакова по всем направлениям. Для частично поляризованного света вводят величину η, определяющую степень его поляризации
η = .

---

Смотрите также файлы

• Сертификат о профилактических прививках против новой коронавирусной инфекции.pdf

• Рабочая программа ориентирована на работу по учебнику Астрономия. Базовый уровень. 11 класс.docx

• Дайте определения этих понятий. Опираясь на определения, укажите в таблице верные и неверные суждения.docx

• Трбиелеу білім беру процесіні циклограммасы Білім беру йымы.docx

• Решение а 75666,67 руб годовая норма амортизации.docx