Файл: Квантили нормального распределения.pdf

ОП «Политология»
НИУ ВШЭ, 2019-20, «Математика и статистика, часть 2»
ОП «Политология», 2019-20
Математика и статистика, часть 2
Квантили нормального распределения (памятка)
А. А. Макаров, А. А. Тамбовцева, Н. А. Василёнок
Напоминание: квантиль уровня ???? – такое значение случайной величины, которое все остальные значения этой величины не превышают с вероятностью ????. Другими словами, квантиль уровня ???? – это значение ????
????
случайной величины ????, для которого выполняется следующее равенство:
P(????
6 ????
????
) = ????.
Задача 1. Случайная величина ???? имеет стандартное нормальное распределение.
Найти ????
0.7422
, квантиль уровня 0.7422.
Решение.
P(????
6 ????
0.7422
) = 0.7422
По определению функции распределения случайной величины левую часть равен- ства можно переписать так (Φ – функция распределения стандартной нормальной величины):
Φ(????
0.7422
) = 0.7422
В отличие от задач, где мы вычисляем вероятность, используя таблицу со значениями
Φ в разных точках, здесь мы должны выполнить обратное действие – найти внутри таблицы значение 0.7422 и по нему «восстановить» значение ???? по строкам и столбцам.
Значение 0.7422 находится на пересечении строки 0.6 и столбца 0.05, отсюда получаем ответ:
????
0.7422
= 0.65
Квантиль уровня 0.7422 найден, это 0.65.
Задача 2. Случайная величина ???? имеет стандартное нормальное распределение.
Найти ????
0.32
, квантиль уровня 0.32.
Решение.
P(????
6 ????
0.32
) = 0.32
Φ(????
0.32
) = 0.32
Если мы посмотрим в таблицу, значения 0.32 среди вероятностей мы не обнаружим,
все начинается с 0.5. Как быть? Представить себе график плотности распределения
???? и подумать, где на нем располагается квантиль уровня 0.32. Точное расположение на глаз мы не определим, но однозначно можно сказать, что значение лежит слева от 0, поскольку 0 является медианой распределения, т.е. квантилем уровня 0.5, а нас интересует квантиль меньшего уровня.
А. А. Макаров, А. А. Тамбовцева, Н. А. Василёнок
1

ОП «Политология»
НИУ ВШЭ, 2019-20, «Математика и статистика, часть 2»
0
????
0.32
S=0.32
Получается, что ????
0.32
отрицательно. При этом площадь под графиком плотности сле- ва от него равна 0.32. Давайте отразим график относительно вертикальной оси ???? = 0
и найдем значение ????, площадь справа от которого будет равна 0.32.
0
????
0.32
????
0.68
S=0.32
S=0.32
Несложно догадаться, что это будет ????
0.68
, квантиль уровня 1 − 0.32 = 0.68. В итоге получаем следующее:
????
0.32
= −????
0.68
Точного значения 0.68 в таблице вероятностей нет, возьмем самое близкое к нему,
0.6808, и восстановим по нему ????.
????
0.32
= −0.47
Квантиль уровня 0.32 найден, это (−0.47).
Примечание: Такой алгоритм подходит для нахождения квантилей стандартного нормального распределения уровня менее 0.5, то есть при уровне ???? < 0.5 квантиль уровня ???? считается так: ????
????
= −????
1−????
Задача 3. Случайная величина ???? имеет нормальное распределение ???? (2, ????
2
= 9).
Найти ????
0.64
, квантиль уровня 0.64.
Решение.
P(????
6 ????
0.64
) = 0.64
Здесь мы уже работаем с произвольной нормальной величиной, не стандартной нор- мальной. Поэтому, чтобы действовать дальше по известному нам алгоритму, мы должны перейти к величине ???? – стандартизовать значение выше, т.е. вычесть среднее и поделить на стандартное отклонение ????:
P
(︂
???? 6
????
0.64
− 2 3
)︂
= 0.64
А. А. Макаров, А. А. Тамбовцева, Н. А. Василёнок
2

ОП «Политология»
НИУ ВШЭ, 2019-20, «Математика и статистика, часть 2»
А дальше все по знакомой схеме:
Φ
(︂ ????
0.64
− 2 3
)︂
= 0.64
Смотрим в таблицу и находим вероятность 0.6406, ближайшую к 0.64. Восстанавли- ваем ????:
????
0.64
− 2 3
= 0.36
Отсюда находим ????
0.64
= 0.36 × 3 + 2 = 3.08. Это и есть ответ.
Задача 4. Случайная величина ???? имеет нормальное распределение ???? (2, ????
2
= 9).
Найти ????
0.3
, квантиль уровня 0.3.
Решение.
P(????
6 ????
0.3
) = 0.3
Используем методы из предыдущих задач:
P
(︂
???? 6
????
0.3
− 2 3
)︂
= 0.3
Φ
(︂ ????
0.3
− 2 3
)︂
= 0.3
????
0.3
− 2 3
= −????
1−0.3
????
0.3
− 2 3
= −????
0.7
????
0.3
− 2 3
= −0.52
Отсюда получаем ответ: ????
0.3
= −0.52 × 3 + 2 = 0.44.
А. А. Макаров, А. А. Тамбовцева, Н. А. Василёнок
3