Файл: 1. Понятие и виды моделей с распределенным лагом Термин динамический характеризует каждый момент времени t.pdf

Тема 7. МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ ПЛАН
1. Понятие и виды моделей с распределенным лагом.
2. Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом. Средний лаг
3. Интерпретация параметров моделей авторегрессии с распределенным лагом.
4. Графическое представление структуры лага моделей с распределенным лагом
1. Понятие и виды моделей с распределенным лагом Термин динамический характеризует каждый момент времени t в отдельности, а не весь период, для которого строится модель. Модель является динамической, если в данный момент времени t она учитывает значение входящих в нее переменных, относящихся как к текущему, таки к предыдущим моментам времени, то есть если эта модель отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени. Например, на размер выручки от реализации или прибыль предприятия в текущем периоде могут оказывать влияние расходы на рекламу или проведение маркетинговых исследований, сделанные предприятием в предшествующие моменты времени. Обычно модели содержат эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные – у, зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенные переменные – х, предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, ноне зависящие от них. Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других – как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (н-р, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные. Так, потребление текущего года (y t
) может зависеть не только отряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (y t-1
). ЛАГ – величина

, характеризующая запаздывание в воздействии фактора на результат. Временной лаг - это показатель, отражающий отставание или опережение во времени одного явления по сравнению с другим (например, время от момента вложения средств дополучения отдачи.
ЛАГОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ – временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени.

Разработка экономической политики требует решения обратного типа задач, те. задач, определяющих, какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей. Пример Как повлияют инвестиции в промышленность на валовую добавленную стоимость этой отрасли экономики будущих периодов ИЛИ Как может измениться объем ВВП, произведенного в периоде (t+1), под воздействием увеличения денежной массы в периоде t ? Моделирование процессов, которые были охарактеризованы выше, осуществляется с применением моделей с распределенным лагом. МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ – модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных (объясняющих, экзогенных) переменных. Различают 2 вида моделей

t
t
t
t
e
x
b
x
b
a
y





1 1
0
- модель с распределенным лагом, DL (1)
1
,

t
t
t
t
e
y
b
x
b
a
y





1 1
0
- модель авторегрессии с распределенным лагом, Обе модели содержат лагированные значения переменных. Специфика построения моделей с распределенным лагом и моделей
авторегрессии:
1) оценка параметров моделей в большинстве случаев не может быть произведена с помощью обычного метода наименьших квадратов, т.к. нарушаются его предпосылки и поэтому требуются специальные статистические методы
2) приходится решать проблему выбора оптимальной величины лага и определения его структуры
3) между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии существует определенная взаимосвязь, ив некоторых случаях необходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому. Рассмотрим модели более подробно.
2. Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом Рассмотрим модель с распределенным лагом. Предположим, что максимальная величина лага конечна, тогда модель примет вид
t
l
t
l
t
t
t
e
x
b
x
b
x
b
a
y








1 1
0 1
В скобках указан максимальный лаг.
DL – distributed lags
2
В скобках указан максимальный лаг для эндогенной и экзогенной переменных.

Модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять назначение переменной у в течение l следующих моментов времени. Коэффициент регрессии b
0 при переменной х характеризует среднее абсолютное изменение у
при изменении x
t
на 1 единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений факторах. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором. В момент (t + 1) совокупное воздействие факторной переменной x
t
на результату составит (b
0
+ b
1
) усл.ед.; в момент (t + 2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (b
0
+ b
1
+ b
2
) и т.д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами. С учетом конечной величины лага (для максимального лага) можно сказать, что изменение переменой x
t
в момент времени t на 1 условную единицу приведет к общему изменению результата через l моментов времени на (b
0
+ b
1
+…+ b
l
) абсолютных единиц. Если ввести обозначение b
0
+ b
1
+…+ b
l
= b, то величина b – долгосрочный мультипликатор. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде (t +
l) результата у под влиянием изменения на 1 единицу факторах. Вклад отдельного лага или относительные коэффициенты модели с распределенным лагом определяется по формуле
b
b
w
j
j

, где b j
– коэффициенты при переменных b – долгосрочный мультипликатор. При этом всегда выполняется свойство
1 Кроме того, w
j
являются весами соответствующих коэффициентов b
j
. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени (t + j). Зная величины w
j
, с помощью стандартных формул можно определить еще одну важную характеристику модели с распределенным лагом – величину среднего лага. Средний лаг модели представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием фактора в момент времени
t: То есть он позволяет измерить скорость реакции у на изменение х. Малые значения среднего лага соответствуют относительно быстрой реакции результата у на изменение факторах. Высокие значения говорят о том, что воздействие факторах на результату замедленно, те. будет сказываться в течение длительного периода времени. Медианный лаг — это величина лага, для которого ∑

Это тот период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.
Пример.
По результатам изучения зависимости объема продаж компании в среднем за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом
(млн.руб.): ух Краткосрочный мультипликатор = 4,5

увеличение расходов на рекламу на 1 млн. руб. ведет к среднему росту продаж компании на 4,5 млн. руб. в том же периоде. Под влиянием роста расходов на рекламу объем продаж компании увеличился в момент времени t на 4,5 млн. руб (t+1) – на 4,5+3,0 = 7,5 млн. руб (t+2) – на 7,5+1,5 =
9,0 млн. руб. – промежуточные мультипликаторы. Долгосрочный мультипликатор b = 4,5+3,0+1,5+0,5 = 9,5. В долгосрочной перспективе (н-р, через 3 мес) увеличение расходов на рекламу в настоящий момент времени на 1 млн. руб. приведет к общему росту объема продаж на 9,5 млн. руб. Рассчитаем вклад каждого лага
w
1
= 4,5/9,5 = 0,474 w
2
= 3,0/9,5 = 0,316
w
3
= 1,5/9,5 = 0,158 w
4
= 0,5/9,5 = 0,053 Проверим 0,474+0,316+0,158+0,053 = 1. Следовательно, 47,4% общего увеличения объема продаж, вызванного ростом затратна рекламу, происходит в текущем моменте 31,6% - в момент (t+1); 15,8% - в момент (t+2); и только 5,3% этого увеличения приходится на момент времени (t+3). Средний лаг модели будет равен
791
,
0 053
,
0 3
158
,
0 2
316
,
0 1
474
,
0 0









l
мес. Небольшая величина лага (менее 1 мес) подтверждает, что большая часть эффекта роста затратна рекламу проявляется сразу же.
3. Интерпретация параметров моделей авторегрессии с распределенным лагом Модель авторегрессии модно записать в общем виде так у Как ив модели с распределенным лагом, b
0
– краткосрочный мультипликатор – краткосрочное изменение y
t
под воздействием изменения x
t
на 1 единицу. Промежуточные и долгосрочный мультипликаторы в моделях авторегрессии несколько иные. К моменту времени (t+1) результат y
t изменился под воздействием изменения изучаемого фактора в момент времени t на b
0
единица под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент времени – на b
1 единиц.

Таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент (t+1) составит b
0
b
1
единиц – промежуточный мультипликатор. Аналогично в момент времени (t+2) абсолютное изменение результата составит
b
0
(b
1
)
2
единиц и т.д. – промежуточный мультипликатор. Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии можно рассчитать как сумму краткосрочного и промежуточных мультипликаторов
b = b
0
+ b
0
b
1
+ b
0
(b
1
)
2
+ b
0
(b
1
)
3
+ … Учитывая, что практически вовсе модели авторегрессии вводится так называемое условие стабильности (коэффициент регрессии при переменной y
t-1 по абсолютной величине меньше единицы, те. |b
1
| < 1).

Расчет долгосрочного мультипликатора можно преобразовать
1 0
3 1
2 1
1 0
1
...)
1
(
b
b
b
b
b
b
b








, где |b
1
| < 1. Такая интерпретация коэффициентов модели и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.
Пример.
По результатам исследования была получена модель авторегрессии, описывающая зависимость среднедушевого объема потребления за год (млн. руб) от среднедушевого совокупного годового дохода (млн. руби объема потребления предшествующего года
y
t
= 3 + 0,85 x
t
+ 0,10 y
t-1 Краткосрочный мультипликатор = 0,85 (предельная склонность к потреблению в краткосрочном периоде увеличение среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приводит к росту объема потребления в тот же год в среднем на 850 тыс. руб. Промежуточные мультипликаторы (промежуточные показатели предельной склонности к потреблению) определяем, рассчитав необходимые частные суммы за соответствующие периоды времени момент времени (t+1) – 0,85+0,85*1 = 0,935. Это означает, что рост среднедушевого совокупного дохода в текущем периоде на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема потребления в среднем на 935 тыс. руб. в ближайшем следующем периоде. Долгосрочный мультипликатор (предельная склонность к потреблению
944
,
0 1
,
0 В долгосрочной перспективе рост среднедушевого совокупного дохода приведет к росту объема потребления в среднем на 944 тыс. руб.

Вывод
1) Модели с распределенным лагом действительны только в предположении, что все коэффициенты при текущем и лаговых значениях исследуемого фактора имеют одинаковые знаки. Это экономически верно, так как воздействие одного итого же фактора на результат должно быть однонаправленным, независимо оттого, с каким временным лагом измеряется теснота связи между этими признаками. На практике получить статистически значимую модель, параметры которой имели бы одинаковые знаки, особенно при большой величине лага l, чрезвычайно сложно.
2) Применение обычного метода наименьших квадратов к таким моделям в большинстве случаев затруднительно, так как текущие и лаговые значения независимой переменной, как правило, тесно связаны друг с другом. Таким образом, оценка параметров модели проводится в условиях высокой мультиколлинеарности факторов при большой величине лага уменьшается число наблюдений, по которому строится модель, и увеличивается число ее факторных признаков. Это ведет к потере числа степеней свободы в моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков. Что приводит к значительной неопределенности относительно оценок параметров модели, снижению их точности и получению неэффективных оценок. Чистое влияние факторов на результат в таких условиях выявить невозможно. Поэтому на практике параметры моделей с распределенным лагом проводят в предположении определенных ограничений на коэффициенты регрессии ив условиях выбранной структуры лага.
4. Графическое представление структуры лага моделей с распределенным лагом Текущие и лаговые значения факторной переменной оказывают различное по силе воздействие на результативную переменную модели. Количественно сила связи между результатом и значениями факторной переменной, относящимся к различным моментам времени, измеряется с помощью коэффициентов регрессии при факторных переменных. Если построить график зависимости коэффициентов b
j
от величины лага (ОХ – j, OY
– b
j
) можно получить графическое изображение структуры лага или распределение во времени воздействия факторной переменной на результат.

Структура лага может быть различной Рис. 1. Графическое изображение структуры лага а – линейная б – геометрическая в – перевернутая образная где полиномиальная Если с ростом величины лага коэффициенты при лаговых значениях переменной убывают во времени, то имеет место линейная (ее называют также треугольной - риса) или геометрическая структура лага (рис. б. Если лаговые воздействия фактора на результат не имеют тенденцию к убыванию во времени, то имеет место один из вариантов, показанных на рис. 1 в–е. Структуру лага рис. в называют перевернутой образной структурой. Основная ее особенность - симметричность лаговых воздействий относительно некоторого среднего лага, который характеризуется наиболее сильным воздействием фактора на результат. Графики, представленные на рис. 1г-е, свидетельствуют о полиномиальной структуре лага. Графический анализ структуры лага аналогичным образом можно проводить и с помощью относительных коэффициентов регрессии. Основная трудность в выявлении структуры лага состоит в том, как получить значения параметров. Выше уже отмечалось, что обычный МНК редко бывает полезным в этих целях. Поэтому в большинстве случаев предположения о структуре лага основаны на общих положениях экономической теории, на исследованиях взаимосвязи показателей либо на результатах проведенных ранее эмпирических исследований или иной априорной информации.