ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 25
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Найдем корни уравнения:
x3+3·x-1=0
ε = 0.001
Используем для этого Метод итераций.
Одним из наиболее эффективных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0.
Заменим его равносильным уравнением x=φ(x).
Выберем начальное приближение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения. Тогда получим некоторое число x1=φ(x0).
Подставляя теперь в правую часть вместо x0 число x1 получим число x2=φ(x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел xn=φ(xn-1)
Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел ξ = lim(xn), то переходя к пределу в равенстве и предполагая функцию φ(x) непрерывной найдем lim(xn) = φ(lim(xn-1)), n → ∞ или ξ=φ(ξ).
Таким образом, предел ξ является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле с любой степенью точности.
Находим первую производную:
Решение.
Представим уравнение в форме:
x = x - λ(x3+3*x-1)
Найдем максимальное значение производной от функции f(x) = x3+3*x-1
max(3•x2+3) ≈ 6
Значение λ = 1/(6) ≈ 0.1667
Таким образом, решаем следующее уравнение:
x-0.1667*(x3+3*x-1) = 0
F(0)=-1; F(1)=3
Поскольку F(0)*F(1)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0;1].
Остальные расчеты сведем в таблицу.
| N | x | F(x) |
| 1 | 0 | -1 |
| 2 | 0.1667 | -0.4953 |
| 3 | 0.2493 | -0.2367 |
| 4 | 0.2887 | -0.1098 |
| 5 | 0.307 | -0.05 |
| 6 | 0.3154 | -0.02257 |
| 7 | 0.3191 | -0.01015 |
| 8 | 0.3208 | -0.00455 |
Ответ: x = 0.32080977288594; F(x) = -0.00455
Сходимость:
Найдем корни уравнения:
x3+3·x-1=0
ε = 0.001
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Решение.
Число шагов, необходимых для достижения заданной точности определяется неравенством:
F(-10)=-1031; F(10)=1029
Поскольку F(-10)*F(10)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-10;10].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-10 + 10)/2 = 0
F(x) = -1
F(c) = -1031
Поскольку F(c)*F(b) < 0, то a=0
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (0 + 10)/2 = 5
F(x) = 139
F(c) = -1
Поскольку F(c)*F(a) < 0, то b=5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (0 + 5)/2 = 2.5
F(x) = 22.125
F(c) = 139
Поскольку F(c)*F(a) < 0, то b=2.5
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (0 + 2.5)/2 = 1.25
F(x) = 4.703
F(c) = 22.125
Поскольку F(c)*F(a) < 0, то b=1.25
Остальные расчеты сведем в таблицу.
| N | c | a | b | f(c) | f(x) | ε |
| 1 | 0 | 0 | 10 | -1031 | -1 | 10 |
| 2 | 5 | 5 | 10 | -1 | 139 | 5 |
| 3 | 2.5 | 2.5 | 5 | 139 | 22.125 | 2.5 |
| 4 | 1.25 | 1.25 | 2.5 | 22.125 | 4.7031 | 1.25 |
| 5 | 0.625 | 0.625 | 1.25 | 4.7031 | 1.1191 | 0.625 |
| 6 | 0.3125 | 0.3125 | 0.625 | 1.1191 | -0.03198 | 0.3125 |
| 7 | 0.4688 | 0.4688 | 0.625 | -0.03198 | 0.5092 | 0.1563 |
| 8 | 0.3906 | 0.3906 | 0.4688 | 0.5092 | 0.2315 | 0.07813 |
| 9 | 0.3516 | 0.3516 | 0.3906 | 0.2315 | 0.09814 | 0.03906 |
| 10 | 0.332 | 0.332 | 0.3516 | 0.09814 | 0.0327 | 0.01953 |
| 11 | 0.3223 | 0.3223 | 0.332 | 0.0327 | 0.000266 | 0.00977 |
Таким образом, в качестве корня можно принять:
x=(0.3125+0.3223)/2 = 0.3174
Ответ:x = 0.3174; F(x) = 0.000266
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.
Сходимость метода дихотомии линейная с коэффициентом α = 0.5.
Найдем корни уравнения:
x3+3·x-1=0
ε = 0.001
Используем для этого Метод Ньютона.
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:
xn = xn-1 + hn-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:
f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0
Отсюда следует:
Подставим hn-1 в формулу, получим:
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Находим первую производную:
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 6•x
Решение.
F(-10)=-1031; F(10)=1029
Поскольку F(-10)*F(10)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-10;10].
Вычисляем значения функций в точке a = -10
f(-10) = -1031
f''(-10) = -60
Критерий остановки итераций.
|f(xk)| < εm1
или
где M2 = max|f "(x)|, m1 = min|f'(x)|.
Поскольку f(a)*f''(a) > 0, то x0 = a = -10
Остальные расчеты сведем в таблицу.
| N | x | F(x) | dF(x) | h = f(x) / f'(x) |
| 1 | -10 | -1031 | 303 | -3.4026 |
| 2 | -6.5974 | -307.9432 | 133.5755 | -2.3054 |
| 3 | -4.292 | -92.9385 | 58.2631 | -1.5952 |
| 4 | -2.6968 | -28.704 | 24.8185 | -1.1566 |
| 5 | -1.5403 | -9.2749 | 10.1172 | -0.9167 |
| 6 | -0.6235 | -3.113 | 4.1663 | -0.7472 |
| 7 | 0.1237 | -0.6271 | 3.0459 | -0.2059 |
| 8 | 0.3296 | 0.02446 | 3.3258 | 0.00735 |
| 9 | 0.3222 | 5.3E-5 | 3.3114 | 1.6E-5 |
Ответ: x = 0.3222 - 5.3E-5 / 3.3114 = 0.32218535470104; F(x) = 0
Параметр сходимости.
Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная с коэффициентом
α = M2/2m1, где M2 = max|f "(x)|, m1 = min|f'(x)|.0>0>0>