Файл: Методические рекомендации по выполнению работы, линейка, карандаш. Указание.docx

ВУЗ: Не указан

Категория: Методичка

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.11.2023

Просмотров: 44

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Основы электростатики. Теорема Гаусса

Цели работы: закрепить умения и навыки решения задач с использованием основного закона электростатики.

Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы, линейка, карандаш.

Указание: Практическая работа состоит из двух частей – теоритической и практической.

После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из двух и более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения.

На выполнение практической работы отводится два академических часа.

1. Ознакомьтесь и повторите теоритические сведения, изученные на лекциях
а так же материал, размещённый в ЭОС по ссылкам:

https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301748

https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301864

https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301867

1. Теория. Основные понятия и формулы

3.1 Электростатика
По закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r между ними, определяется формулой

,

где q1 и q2 – электрические заряды тел, - относительная диэлектрическая проницаемость среды, = 8, 85 10 -12 Ф/м – электрическая постоянная.
Напряженность электрического поля определяется формулой

,

Где F – сила, действующая на заряд q.

Напряженность поля точечного заряда




Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например, поле диполя) находится по правилу векторного сложения.

По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность

,

где - алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического поля, образованного различными заряженными телами:

А) напряженность поля, образованного бесконечно длинной нитью

,

где τ – линейная плотность заряда на нити, r – расстояние от нити.

Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии r от неё

,

где α - угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.

Б) напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной плоскостью

,

где - поверхностная плотность заряда на плоскости.

В) напряженность поля, образованного разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостями (поле плоского конденсатора)

.

Г) напряженность поля, образованного заряженным шаром



где q- заряд шара радиусом R, г – расстояние от центра шара до точки.
Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единичный положительный заряд перенести из одной точки в другую:

.

Потенциал поля точечного заряда

,

где r – расстояние от заряда.

Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением



В случае однородного поля плоского конденсатора напряженность

,

где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора, d – расстояние между ними.

Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением

,

где С – емкость уединенного проводника.

Емкость плоского конденсатора

,

где S – площадь каждой пластины конденсатора.

Емкость сферического конденсатора

,

где r и R – радиусы внутренней и внешней сферы.
В частном случае, когда R = ∞,



- емкость уединенного шара.

Емкость цилиндрического конденсатора

,

где L – высота коаксиальных цилиндров, r и R – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.

Емкость системы конденсаторов:

- при параллельном соединении конденсаторов

C = С1 + С2 + С3 + …

- при последовательном соединении



Энергия заряженного конденсатора может быть найдена по одной из следующих формул:


В случае плоского конденсатора энергия

,
где S – площадь каждой пластины конденсатора, - поверхностная плотность заряда на пластинах, U – разность потенциалов между пластинами, d – расстояние между ними.

Объемная плотность энергии электростатического поля:

,

где D – электрическое смещение (D = ).

Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора:

.


2 Примеры решения задач

Задача на теорему Гаусса №1: напряженность поля плоскости

Условие


Определите напряженность поля бесконечной заряженной плоскости. Поверхностная плотность заряда сигма.

Решение


Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены в обе стороны от неё. Выберем в качестве гауссовой поверхности цилиндр с основанием, параллельным плоскости:



По теореме Гаусса:



Поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь боковую поверхность цилиндра и потокам сквозь оба его основания. Поток сквозь боковую поверхность равен нулю, так как линии напряженности параллельны ей:


Согласно теореме Гаусса:


Отсюда:



Ответ:



Задача на теорему Гаусса №3: напряженность электрического поля бесконечной нити
Условие
Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда лямбда.





  1. Ознакомьтесь с разбором и ходом решения задач. Решите подобную задачу для своего варианта.


Пример 1. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью δ = 0,2 нКл/см2. Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.

Р е ш е н и е. Значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в электрическом поле, определяется по формуле

F =qЕ, (1)

где Е - напряженность поля.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

(2)

где τ – линейная плотность заряда.

Выразим линейную платность τ через поверхностную плотность δ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами: q = δS = δ2πRl. Приравняв правые части этих формул и сократив полученное равенство на l, найдем τ = 2πRδ. С учетом этого (2) примет вид Е=Rδ/(εо r). Подставив выражение Е в (1), получим F = qδR/εо r.

Произведем вычисления:



Сила F сонаправлена с напряженностью Е, которая в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) перпендикулярна поверхности цилиндра.

Таблица 1 – Варианты заданий для решения Пример№1


Вариант

q = нКл

R = 1 см

δ = нКл/см2

r = 10 см.


1

20

=

0,25

=

2

30

=

0,4

=

3

30

=

0,2

=

4

22

=

0,22

=

5

20

=

0,24

=

6

25

=

0,2

=

7

20

=

0,4

=

8

20

=

0,25

=

9

30

=

0,4

=

10

30

=

0,2

=

11

22

=

0,22

=

12

20

=

0,24

=

13

25

=

0,2

=

14

20

=

0,4

=


Пример 2. По тонкому кольцу размещён равномерно заряд q =40 нКл с линейной плотностью τ = 50нКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей да оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Р е ш е н и е. Совместим координатную. плоскость х0у с плоскостью кольца, а ось 0z - с осью кольца (рис. 4).

Н а кольце выделим малый участок длиной dl. Так как заряд dq = τdl, находящейся на этом участке, можно считать точечным, то напряженность dE электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде



где к - радиус-вектор, направленный от элемента dl к т. А.

Рис. 4

Разложим вектор dE на две составляющие: dЕ1 , перпендикулярную плоскости кольца (сонаправленную с осью 0z), и Е2 , параллельную плоскости кольца (плоскости х0у), т.е. dE = dE1 + dE2.

Напряженность электрического поля в т. А найдем интегрированием.



где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dq и dq’(dq = dq’), расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы dE2 и dE2’ в точке А равны по и противоположны по направлений: dE2= - dE2’. Поэтому векторная (интеграл) Составляющие dE1 для всех элементов кольца сонаправлены с осью 0z (единичным вектором k), т. е, dE = kdE1. Тогда Е =

Так как , и то



Таким образом,



Из соотношения q=2πRτ определим радиус кольца: R = q/ (2πτ). Тогда



Модуль напряженности |E| = 4 πτ2 / εо q.

Проворим, дает ли правая часть полученного равенства единицу напряженности (В/м):