Файл: Методические рекомендации по выполнению работы, линейка, карандаш. Указание.docx
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 44
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Основы электростатики. Теорема Гаусса
Цели работы: закрепить умения и навыки решения задач с использованием основного закона электростатики.
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы, линейка, карандаш.
Указание: Практическая работа состоит из двух частей – теоритической и практической.
После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из двух и более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения.
На выполнение практической работы отводится два академических часа.
1. Ознакомьтесь и повторите теоритические сведения, изученные на лекциях
а так же материал, размещённый в ЭОС по ссылкам:
https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301748
https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301864
https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301867
1. Теория. Основные понятия и формулы
3.1 Электростатика
По закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r между ними, определяется формулой
,
где q1 и q2 – электрические заряды тел, - относительная диэлектрическая проницаемость среды, = 8, 85 10 -12 Ф/м – электрическая постоянная.
Напряженность электрического поля определяется формулой
,
Где F – сила, действующая на заряд q.
Напряженность поля точечного заряда
Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например, поле диполя) находится по правилу векторного сложения.
По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность
,
где - алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности.
При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического поля, образованного различными заряженными телами:
А) напряженность поля, образованного бесконечно длинной нитью
,
где τ – линейная плотность заряда на нити, r – расстояние от нити.
Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии r от неё
,
где α - угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.
Б) напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной плоскостью
,
где - поверхностная плотность заряда на плоскости.
В) напряженность поля, образованного разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостями (поле плоского конденсатора)
.
Г) напряженность поля, образованного заряженным шаром
где q- заряд шара радиусом R, г – расстояние от центра шара до точки.
Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единичный положительный заряд перенести из одной точки в другую:
.
Потенциал поля точечного заряда
,
где r – расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением
В случае однородного поля плоского конденсатора напряженность
,
где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора, d – расстояние между ними.
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением
,
где С – емкость уединенного проводника.
Емкость плоского конденсатора
,
где S – площадь каждой пластины конденсатора.
Емкость сферического конденсатора
,
где r и R – радиусы внутренней и внешней сферы.
В частном случае, когда R = ∞,
- емкость уединенного шара.
Емкость цилиндрического конденсатора
,
где L – высота коаксиальных цилиндров, r и R – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:
- при параллельном соединении конденсаторов
C = С1 + С2 + С3 + …
- при последовательном соединении
Энергия заряженного конденсатора может быть найдена по одной из следующих формул:
В случае плоского конденсатора энергия
,
где S – площадь каждой пластины конденсатора, - поверхностная плотность заряда на пластинах, U – разность потенциалов между пластинами, d – расстояние между ними.
Объемная плотность энергии электростатического поля:
,
где D – электрическое смещение (D = ).
Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора:
.
2 Примеры решения задач
Задача на теорему Гаусса №1: напряженность поля плоскости
Условие
Определите напряженность поля бесконечной заряженной плоскости. Поверхностная плотность заряда сигма.
Решение
Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены в обе стороны от неё. Выберем в качестве гауссовой поверхности цилиндр с основанием, параллельным плоскости:
По теореме Гаусса:
Поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь боковую поверхность цилиндра и потокам сквозь оба его основания. Поток сквозь боковую поверхность равен нулю, так как линии напряженности параллельны ей:
Согласно теореме Гаусса:
Отсюда:
Ответ:
Задача на теорему Гаусса №3: напряженность электрического поля бесконечной нити
Условие
Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда лямбда.
-
Ознакомьтесь с разбором и ходом решения задач. Решите подобную задачу для своего варианта.
Пример 1. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью δ = 0,2 нКл/см2. Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.
Р е ш е н и е. Значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в электрическом поле, определяется по формуле
F =qЕ, (1)
где Е - напряженность поля.
Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра
(2)
где τ – линейная плотность заряда.
Выразим линейную платность τ через поверхностную плотность δ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами: q = δS = δ2πRl. Приравняв правые части этих формул и сократив полученное равенство на l, найдем τ = 2πRδ. С учетом этого (2) примет вид Е=Rδ/(εо r). Подставив выражение Е в (1), получим F = qδR/εо r.
Произведем вычисления:
Сила F сонаправлена с напряженностью Е, которая в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) перпендикулярна поверхности цилиндра.
Таблица 1 – Варианты заданий для решения Пример№1
Вариант | q = нКл | R = 1 см | δ = нКл/см2 | r = 10 см. |
1 | 20 | = | 0,25 | = |
2 | 30 | = | 0,4 | = |
3 | 30 | = | 0,2 | = |
4 | 22 | = | 0,22 | = |
5 | 20 | = | 0,24 | = |
6 | 25 | = | 0,2 | = |
7 | 20 | = | 0,4 | = |
8 | 20 | = | 0,25 | = |
9 | 30 | = | 0,4 | = |
10 | 30 | = | 0,2 | = |
11 | 22 | = | 0,22 | = |
12 | 20 | = | 0,24 | = |
13 | 25 | = | 0,2 | = |
14 | 20 | = | 0,4 | = |
Пример 2. По тонкому кольцу размещён равномерно заряд q =40 нКл с линейной плотностью τ = 50нКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей да оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.
Р е ш е н и е. Совместим координатную. плоскость х0у с плоскостью кольца, а ось 0z - с осью кольца (рис. 4).
Н а кольце выделим малый участок длиной dl. Так как заряд dq = τdl, находящейся на этом участке, можно считать точечным, то напряженность dE электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде
где к - радиус-вектор, направленный от элемента dl к т. А.
Рис. 4
Разложим вектор dE на две составляющие: dЕ1 , перпендикулярную плоскости кольца (сонаправленную с осью 0z), и Е2 , параллельную плоскости кольца (плоскости х0у), т.е. dE = dE1 + dE2.
Напряженность электрического поля в т. А найдем интегрированием.
где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dq и dq’(dq = dq’), расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы dE2 и dE2’ в точке А равны по и противоположны по направлений: dE2= - dE2’. Поэтому векторная (интеграл) Составляющие dE1 для всех элементов кольца сонаправлены с осью 0z (единичным вектором k), т. е, dE = kdE1. Тогда Е =
Так как , и то
Таким образом,
Из соотношения q=2πRτ определим радиус кольца: R = q/ (2πτ). Тогда
Модуль напряженности |E| = 4 πτ2 / εо q.
Проворим, дает ли правая часть полученного равенства единицу напряженности (В/м):