Файл: Методические рекомендации по выполнению работы, линейка, карандаш. Указание.docx
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 132
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Основы электростатики. Теорема ГауссаЦели работы: закрепить умения и навыки решения задач с использованием основного закона электростатики. Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы, линейка, карандаш.Указание: Практическая работа состоит из двух частей – теоритической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из двух и более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения.На выполнение практической работы отводится два академических часа.1. Ознакомьтесь и повторите теоритические сведения, изученные на лекциях
а так же материал, размещённый в ЭОС по ссылкам: https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301748https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301864https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301867 1. Теория. Основные понятия и формулы3.1 ЭлектростатикаПо закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r между ними, определяется формулой,где q1 и q2 – электрические заряды тел,
- относительная диэлектрическая проницаемость среды, 
= 8, 85 
10 -12 Ф/м – электрическая постоянная.Напряженность электрического поля определяется формулой,Где F – сила, действующая на заряд q.Напряженность поля точечного заряда
Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например, поле диполя) находится по правилу векторного сложения.По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность,где
- алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности.При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического поля, образованного различными заряженными телами:А) напряженность поля, образованного бесконечно длинной нитью,где τ – линейная плотность заряда на нити, r – расстояние от нити.Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии r от неё,где α - угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити. Б) напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной плоскостью,где 
- поверхностная плотность заряда на плоскости. В) напряженность поля, образованного разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостями (поле плоского конденсатора). Г) напряженность поля, образованного заряженным шаромгде q- заряд шара радиусом R, г – расстояние от центра шара до точки.Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единичный положительный заряд перенести из одной точки в другую:
.
Потенциал поля точечного заряда
,
где r – расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением
В случае однородного поля плоского конденсатора напряженность
,
где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора, d – расстояние между ними.
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением
,
где С – емкость уединенного проводника.
Емкость плоского конденсатора
,
где S – площадь каждой пластины конденсатора.
Емкость сферического конденсатора
,
где r и R – радиусы внутренней и внешней сферы.
В частном случае, когда R = ∞,
- емкость уединенного шара.
Емкость цилиндрического конденсатора
,
где L – высота коаксиальных цилиндров, r и R – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:
- при параллельном соединении конденсаторов
C = С1 + С2 + С3 + …
- при последовательном соединении
Энергия заряженного конденсатора может быть найдена по одной из следующих формул:
В случае плоского конденсатора энергия
,
где S – площадь каждой пластины конденсатора, - поверхностная плотность заряда на пластинах, U – разность потенциалов между пластинами, d – расстояние между ними.
Объемная плотность энергии электростатического поля:
,
где D – электрическое смещение (D =
).
Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора:
.
2 Примеры решения задачЗадачанатеоремуГаусса№1:напряженностьполяплоскости
Пример 1. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью δ = 0,2 нКл/см2. Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.Р е ш е н и е. Значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в электрическом поле, определяется по формулеF =qЕ, (1)где Е - напряженность поля.Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра (2)где τ – линейная плотность заряда.Выразим линейную платность τ через поверхностную плотность δ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами: q = δS = δ2πRl. Приравняв правые части этих формул и сократив полученное равенство на l, найдем τ = 2πRδ. С учетом этого (2) примет вид Е=Rδ/(εо r). Подставив выражение Е в (1), получим F = qδR/εо r.Произведем вычисления:Сила F сонаправлена с напряженностью Е, которая в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) перпендикулярна поверхности цилиндра.Таблица 1 – Варианты заданий для решения Пример№1
Пример 2. По тонкому кольцу размещён равномерно заряд q =40 нКл с линейной плотностью τ = 50нКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей да оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.Р е ш е н и е. Совместим координатную. плоскость х0у с плоскостью кольца, а ось 0z - с осью кольца (рис. 4). Н а кольце выделим малый участок длиной dl. Так как заряд dq = τdl, находящейся на этом участке, можно считать точечным, то напряженность dE электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде где к - радиус-вектор, направленный от элемента dl к т. А.Рис. 4Разложим вектор dE на две составляющие: dЕ1 , перпендикулярную плоскости кольца (сонаправленную с осью 0z), и Е2 , параллельную плоскости кольца (плоскости х0у), т.е. dE = dE1 + dE2.Напряженность электрического поля в т. А найдем интегрированием.где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dq и dq’(dq = dq’), расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы dE2 и dE2’ в точке А равны по и противоположны по направлений: dE2= - dE2’. Поэтому векторная (интеграл) Составляющие dE1 для всех элементов кольца сонаправлены с осью 0z (единичным вектором k), т. е, dE= kdE1. Тогда Е = Так как , и тоТаким образом,Из соотношения q=2πRτ определим радиус кольца: R = q/ (2πτ). ТогдаМодуль напряженности |E| = 4 πτ2 / εо q.Проворим, дает ли правая часть полученного равенства единицу напряженности (В/м):
а так же материал, размещённый в ЭОС по ссылкам: https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301748https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301864https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301867 1. Теория. Основные понятия и формулы3.1 ЭлектростатикаПо закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r между ними, определяется формулой,где q1 и q2 – электрические заряды тел,
- относительная диэлектрическая проницаемость среды, = 8, 85 10 -12 Ф/м – электрическая постоянная.Напряженность электрического поля определяется формулой,Где F – сила, действующая на заряд q.Напряженность поля точечного заряда
Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например, поле диполя) находится по правилу векторного сложения.По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность,где
- алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности.При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического поля, образованного различными заряженными телами:А) напряженность поля, образованного бесконечно длинной нитью,где τ – линейная плотность заряда на нити, r – расстояние от нити.Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии r от неё,где α - угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити. Б) напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной плоскостью,где - поверхностная плотность заряда на плоскости. В) напряженность поля, образованного разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостями (поле плоского конденсатора). Г) напряженность поля, образованного заряженным шаромгде q- заряд шара радиусом R, г – расстояние от центра шара до точки.Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единичный положительный заряд перенести из одной точки в другую: .Потенциал поля точечного заряда
,где r – расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением
В случае однородного поля плоского конденсатора напряженность
,где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора, d – расстояние между ними.
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением
,где С – емкость уединенного проводника.
Емкость плоского конденсатора
,где S – площадь каждой пластины конденсатора.
Емкость сферического конденсатора
,где r и R – радиусы внутренней и внешней сферы.
В частном случае, когда R = ∞,
- емкость уединенного шара.
Емкость цилиндрического конденсатора
,где L – высота коаксиальных цилиндров, r и R – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:
- при параллельном соединении конденсаторов
C = С1 + С2 + С3 + …
- при последовательном соединении
Энергия заряженного конденсатора может быть найдена по одной из следующих формул:
В случае плоского конденсатора энергия
,где S – площадь каждой пластины конденсатора,
- поверхностная плотность заряда на пластинах, U – разность потенциалов между пластинами, d – расстояние между ними.Объемная плотность энергии электростатического поля:
,где D – электрическое смещение (D =
).Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора:
.2 Примеры решения задачЗадачанатеоремуГаусса№1:напряженностьполяплоскости
Условие
Определитенапряженностьполябесконечнойзаряженнойплоскости.Поверхностнаяплотностьзарядасигма.Решение
Линиинапряженностиперпендикулярнырассматриваемойплоскостиинаправленывобестороныотнеё.Выберемвкачествегауссовойповерхностицилиндрсоснованием,параллельнымплоскости:ПотеоремеГаусса:Поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь боковую поверхность цилиндра и потокам сквозь оба его основания. Поток сквозь боковую поверхность равен нулю, так как линии напряженности параллельны ей: Согласно теореме Гаусса: Отсюда: Ответ: Задача на теорему Гаусса №3: напряженность электрического поля бесконечной нитиУсловиеОпределить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда лямбда.-
Ознакомьтесь с разбором и ходом решения задач. Решите подобную задачу для своего варианта.
Пример 1. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью δ = 0,2 нКл/см2. Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.Р е ш е н и е. Значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в электрическом поле, определяется по формулеF =qЕ, (1)где Е - напряженность поля.Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра (2)где τ – линейная плотность заряда.Выразим линейную платность τ через поверхностную плотность δ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами: q = δS = δ2πRl. Приравняв правые части этих формул и сократив полученное равенство на l, найдем τ = 2πRδ. С учетом этого (2) примет вид Е=Rδ/(εо r). Подставив выражение Е в (1), получим F = qδR/εо r.Произведем вычисления:Сила F сонаправлена с напряженностью Е, которая в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) перпендикулярна поверхности цилиндра.Таблица 1 – Варианты заданий для решения Пример№1
| Вариант | q = нКл | R = 1 см | δ = нКл/см2 | r = 10 см. |
| 1 | 20 | = | 0,25 | = |
| 2 | 30 | = | 0,4 | = |
| 3 | 30 | = | 0,2 | = |
| 4 | 22 | = | 0,22 | = |
| 5 | 20 | = | 0,24 | = |
| 6 | 25 | = | 0,2 | = |
| 7 | 20 | = | 0,4 | = |
| 8 | 20 | = | 0,25 | = |
| 9 | 30 | = | 0,4 | = |
| 10 | 30 | = | 0,2 | = |
| 11 | 22 | = | 0,22 | = |
| 12 | 20 | = | 0,24 | = |
| 13 | 25 | = | 0,2 | = |
| 14 | 20 | = | 0,4 | = |
Пример 2. По тонкому кольцу размещён равномерно заряд q =40 нКл с линейной плотностью τ = 50нКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей да оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.Р е ш е н и е. Совместим координатную. плоскость х0у с плоскостью кольца, а ось 0z - с осью кольца (рис. 4). Н а кольце выделим малый участок длиной dl. Так как заряд dq = τdl, находящейся на этом участке, можно считать точечным, то напряженность dE электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде где к - радиус-вектор, направленный от элемента dl к т. А.Рис. 4Разложим вектор dE на две составляющие: dЕ1 , перпендикулярную плоскости кольца (сонаправленную с осью 0z), и Е2 , параллельную плоскости кольца (плоскости х0у), т.е. dE = dE1 + dE2.Напряженность электрического поля в т. А найдем интегрированием.где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dq и dq’(dq = dq’), расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы dE2 и dE2’ в точке А равны по и противоположны по направлений: dE2= - dE2’. Поэтому векторная (интеграл) Составляющие dE1 для всех элементов кольца сонаправлены с осью 0z (единичным вектором k), т. е, dE= kdE1. Тогда Е = Так как , и тоТаким образом,Из соотношения q=2πRτ определим радиус кольца: R = q/ (2πτ). ТогдаМодуль напряженности |E| = 4 πτ2 / εо q.Проворим, дает ли правая часть полученного равенства единицу напряженности (В/м):