Файл: Лабораторная работа 11 Измерение параметров электромагнитного контура Методические указания к лабораторной работе.doc

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Санкт-Петербургский горный университет»


Кафедра общей и технической физики

общая физика

Лабораторная работа № 11

Измерение параметров электромагнитного контура

Методические указания к лабораторной работе

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2023

Цель работы: Экспериментальное определение индуктивности и добротности электромагнитного контура.

Теоретические основы лабораторной работы

В
технике колебательные процессы выполняют либо определенные функциональные обязанности (колесо, маятник, колебательный контур, генератор колебаний и т.д.), либо возникают как неизбежное проявление физических свойств (вибрации машин и сооружений, неустойчивости и вихревые потоки при движении тел в газах и жидкостях, сейсмо- и радиоволны, и т.д.). Особое значение колебательные процессы имеют в электротехнике, например, прием радиосигналов осуществляется LC-контуром. Любые реальные затухающие колебательные процессы можно представить в аналоговом виде, например, вывести их через аналого-цифровые преобразователи на экран осциллографа либо компьютера. В данной работе рассматриваются явление электромагнитной индукции, явление самоиндукции, затухающие электромагнитные колебания в колебательном контуре. Изучение закономерностей протекания этих процессов позволит обобщить приобретенные знания и успешно использовать их как в лабораторных условиях, так и в производстве.

Электрический колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью С, катушки индуктивности L₁ и активного сопротивления

---

R проводов (рис.1). При помощи функционального генератора (FG) напряжение прямоугольных импульсов низкой частоты ( f_о ≈ 500 Гц) подается на катушку возбуждения L. Резкое изменение магнитного поля вызывает появление напряжения в катушке L₁и создает за счёт активного сопротивления затухающие свободные колебания в колебательном L₁C–контуре, частота ƒ (период Т) и амплитуда напряжений которых измеряется с помощью осциллографа (аналоговый вход CH1). Для контура L₁C имеются катушки различных длин l, диаметров 2rи числа витков N(соответствующие значения для номера каждой катушки представлены в таблице 2), емкость считается известной и установлена в разъёмник.

Таким образом, благодаря импульсному характеру наведенного внешнего магнитного поля с катушки L на катушку L₁, в последней возникает индукционный ток, впоследствии чего конденсатор С начинает заряжаться, а потом разряжаться. Такие периодические изменения зарядов, напряжений и токов в контуре носят название электромагнитных колебаний. При этом происходит непрерывный переход энергии электрического поля в конденсаторе в энергию магнитного поля в катушке и обратно. В некоторый момент времени полная энергия колебаний:

,

где U и i – мгновенные значения разности потенциалов и тока. В те моменты времени, когда конденсатор полностью разряжен (U= 0), ток достигает максимального значения I_m, и полная энергия контура равна энергии магнитного поля:

.

Полная энергия колебаний постепенно уменьшается, так как электрическая энергия благодаря сопротивлению проводов R непрерывно превращается в тепловую и рассеивается в окружающее пространство.

Составим дифференциальное уравнение колебаний в контуре. Пусть q – мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора и U – разность потенциалов между обкладками в тот же момент времени. Тогда полное напряжение в цепи равно сумме действующих ЭДС. Так как в цепи действует только ЭДС самоиндукции:

,

---

.

Подставив в это равенство значения , получим:

, (11.1)

Разделим обе части уравнения (1) на L₁ и введём обозначения:

, (11.2)

, (11.3)

где величина  называется коэффициентом затухания; ₀ – собственная частота колебаний контура. Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

(11.4)

Уравнение (11.4) – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и постоянными коэффициентами. Решения этого уравнения имеют различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентами. Положим, что ₀   , тогда:

, (11.5)

где q₀ – максимальное значение заряда на обкладках конденсатора;  – начальная фаза колебаний;  – частота затухающих электрических колебаний:

. (11.6)

При R = 0 и  = 0 ,

а период этих колебаний (рис.2, кривая 1) составляет:

. (11.7)

В случае затухающих колебаний R  0 (рис.2, кривая 2) и период:


. (11.7’)
Решение уравнения (11.5) является аналитическим выражением затухающих колебаний. Большему значению коэффициента  соответствует кривая 3 (рис.2). Хотя затухающие колебания не являются периодическим процессом в строгом смысле этого слова, они обладают определённой повторяемостью в том смысле, что максимальные и минимальные значения заряда, а также тока и напряжения достигаются через одинаковый промежуток времени. Этот промежуток времени и называется периодом Т затухающих колебаний.

---

Для выяснения физического смысла коэффициента рассмотрим тепловые потери W_R на сопротивлении R за полупериод:
,

где Р – среднее за период значение тепловой мощности, выделившейся на сопротивлении R. Для синусоидального тока:

.

Полный запас энергии колебательного контура:

.

Отношение энергии, израсходованной в контуре за полупериод на нагревание W_R (тепловые потери), к энергии колебаний W_L:

.

Используя обозначения (11.2),получим:

,

где  называется логарифмическим декрементом, который вместе с коэффициентом затухания характеризует потери энергии в контуре.

Как следует из (11.6), при   ₀ частота  оказывается мнимой, т.е. колебаний в контуре не будет. Разряд конденсатора будет апериодическим (рис.2 кривая 4 и 5). Логарифмический декремент может быть определён и другим путём. Пусть q_n и q_n+1 – амплитуды заряда конденсатора в момент времени t_n и t_n+1, причём t_n+1 = t + T. Тогда ; и, следовательно,

.

Как видно из полученного соотношения, отношения последующих амплитудных значений заряда не зависит от номера максимумов и является постоянной величиной для данного контура.

Прологарифмируем предыдущее соотношение и получим , откуда следует, что по данным эксперимента коэффициент затухания можно определить так:

. (11.8)

Таким образом, логарифмический декремент контура можно определить, как натуральный логарифм отношения последующих амплитуд заряда конденсатора. В радиотехнической практике чаще пользуются величиной, обратно пропорциональной логарифмическому декременту  и называемой добротностью

---

Q:

или . (11.9)

Добротность контура может быть представлена и так:

,

где N – полное число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Следовательно, чем выше добротность, тем медленнее рассеивается запас энергии контура.

Если ток силой проходит через катушку L₁ (соленоид) длиной , поперечным сечением и количеством витков , в катушке возникает магнитное поле. При l >> r магнитное поле однородно, а его напряженность рассчитывается по формуле:

. (11.10)

Магнитный поток через катушку равен:

, (11.11)

где μ_ο – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды.

При изменении магнитного потока возникает напряжение на концах катушки,

,

, (11.12)

,

где

(11.13)

является индуктивностью катушки (коэффициентом самоиндукции).

Выражение (11.13) справедливо только в случае однородного магнитного поля при l >> r.

На практике значение индуктивности катушек при l > r можно рассчитать по формуле:

, при (11.14)

В ходе выполнения эксперимента можно рассчитать индуктивность катушек с различными характеристиками, исходя из измерений периода колебательного контура:

---