Файл: Отчет по лабораторной работе 4 По дисциплине "Математические методы обработки результатов экспериментов".docx
Добавлен: 24.11.2023
Просмотров: 78
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство науки и высшего образования Российской ФедерацииФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Уфимский государственный нефтяной технический университет"Кафедра "Математика"Отчет по лабораторной работе №4По дисциплине "Математические методы обработки результатов экспериментов""Однофакторный дисперсионный анализ"Вариант №??Выполнил: студент гр. ???- ??-01 ?????????Проверил: доцент Лазарев В.А.Уфа 2023Дано:Для четырех уровней фактора F экспериментально получены значения исследуемой величины Х.
Проверить гипотезу о влиянии фактора F на значения Х. Задача:
F, имеющийр=4 дискретных уровней и на каждом уровне проведено одинаковое число опытов q=5. Теоретическое обоснование:1) Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое групповых средних:На разброс групповых средних относительно общей средней влияют как изменения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы. Для того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной , а вторая – остаточной . 2)С целью учета этих составляющих вначале рассчитывается общая сумма квадратов отклонений вариант от общей средней:и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая и характеризует влияние данного фактора: Последнее выражение получено путем замены каждой варианты в выражении групповой средней для данного фактора. Остаточная сумма квадратов отклонений получается, как разность: 3)Для определения общей выборочной дисперсии необходимо разделить на число измерений pq: а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на : Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии: ,где - число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии.
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина: Так как отношение двух выборочных дисперсий и распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение сравнивают со значением функции распределения в критической точке , соответствующей выбранному уровню значимости α. Если , то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь. Для расчета и могут быть использованы также формулы: Решение:Находим групповые средние:
Обозначим р - количество уровней фактора (р=4). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=5. В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора. Общая средняя вычисляется по формуле: Для расчета по формуле составляем таблицу квадратов вариант:
Sобщ = 15358 + 13575 + 8086 + 9511 - 5 • 4 • 46.42 = 3470.8Находим по формуле: Sф = 5(54.82 + 51.82 + 39.22 + 39.82 - 4 • 46.42) = 975.6Получаем :Определяем факторную дисперсию: и остаточную дисперсию: Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно.
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований. Оценка факторной дисперсии меньше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки. Иначе говоря, в данном примере фактор F не оказывает существенного влияния на случайную величину. Проверим нулевую гипотезу: H0: «средние значения Х равны для всех значений фактора». Находим . Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 3 и 16 находим из таблицы распределения Фишера-Снедекора. .В связи с тем, что , нулевую гипотезу о равенстве групповых средних принимаем. Другими словами, групповые средние в целом различаются не значимо, гипотезу о существенном влиянии фактора F на результаты экспериментов отклоняем.
| | F1 | F2 | F3 | F4 |
| 1 | 45 | 47 | 56 | 30 |
| 2 | 68 | 52 | 29 | 45 |
| 3 | 47 | 45 | 37 | 40 |
| 4 | 56 | 54 | 36 | 69 |
| 5 | 58 | 61 | 38 | 15 |
-
Вычислить групповые средние и общую среднюю. -
Вычислить общую, факторную и остаточную суммы квадратов отклонений от общей средней. -
Вычислить общую, факторную и остаточную дисперсии. -
Проверить гипотезу о равенстве групповых средних.
F, имеющийр=4 дискретных уровней и на каждом уровне проведено одинаковое число опытов q=5. Теоретическое обоснование:1) Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое групповых средних:На разброс групповых средних относительно общей средней влияют как изменения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы. Для того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной , а вторая – остаточной . 2)С целью учета этих составляющих вначале рассчитывается общая сумма квадратов отклонений вариант от общей средней:и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая и характеризует влияние данного фактора: Последнее выражение получено путем замены каждой варианты в выражении групповой средней для данного фактора. Остаточная сумма квадратов отклонений получается, как разность: 3)Для определения общей выборочной дисперсии необходимо разделить на число измерений pq: а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на : Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии: ,где - число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии.
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина: Так как отношение двух выборочных дисперсий и распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение сравнивают со значением функции распределения в критической точке , соответствующей выбранному уровню значимости α. Если , то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь. Для расчета и могут быть использованы также формулы: Решение:Находим групповые средние:
| N | П1 | П2 | П3 | П4 |
| 1 | 45 | 47 | 56 | 30 |
| 2 | 68 | 52 | 29 | 45 |
| 3 | 47 | 45 | 37 | 40 |
| 4 | 56 | 54 | 36 | 69 |
| 5 | 58 | 61 | 38 | 15 |
| ∑ | 274 | 259 | 196 | 199 |
| xср | 54.8 | 51.8 | 39.2 | 39.8 |
Обозначим р - количество уровней фактора (р=4). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=5. В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора. Общая средняя вычисляется по формуле: Для расчета по формуле составляем таблицу квадратов вариант:
| N | П21 | П22 | П23 | П24 |
| 1 | 2025 | 2209 | 3136 | 900 |
| 2 | 4624 | 2704 | 841 | 2025 |
| 3 | 2209 | 2025 | 1369 | 1600 |
| 4 | 3136 | 2916 | 1296 | 4761 |
| 5 | 3364 | 3721 | 1444 | 225 |
| ∑ | 15358 | 13575 | 8086 | 9511 |
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований. Оценка факторной дисперсии меньше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки. Иначе говоря, в данном примере фактор F не оказывает существенного влияния на случайную величину. Проверим нулевую гипотезу: H0: «средние значения Х равны для всех значений фактора». Находим . Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 3 и 16 находим из таблицы распределения Фишера-Снедекора. .В связи с тем, что , нулевую гипотезу о равенстве групповых средних принимаем. Другими словами, групповые средние в целом различаются не значимо, гипотезу о существенном влиянии фактора F на результаты экспериментов отклоняем.