Файл: Лабораторная работа 1 Программа для умножения матриц. Оценка числа операций.pdf

Лабораторная работа №1
Программа для умножения матриц. Оценка числа операций.

Действия над матрицами

Умножение матрицы на число

Сложение матриц

Умножение матриц
Действия над матрицами
Умножение матрицы на число
При умножении матрицы на число, все элементы матрицы умножаются на это число:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6')
>>> C = 3 * A
>>> print(C)
[[ 3 6 9]
[12 15 18]]
Рассмотрим свойства операции умножения матрицы на число.
Свойство 1. Произведение единицы и любой заданной матрицы равно заданной матрице:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> L = 1 * A
>>> R = A
>>> print(L)
[[1 2]
[3 4]]
>>> print(R)
[[1 2]
[3 4]]

Свойство 2. Произведение нуля и любой матрицы равно нулевой матрице, размерность которой равна исходной матрицы:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')
>>> L = 0 * A
>>> R = Z
>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]
>>> print(R)
[[0 0]
[0 0]]
Свойство 3. Произведение матрицы на сумму чисел равно сумме произведений матрицы на каждое из этих чисел:
➣ Численный пример


1 2
1 2
1 2
2 3 2
3 3
4 3
4 3
4 2
4 3
6 2
10
;
6 8
9 12 15 20 1
2 5
10 5
3 4
15 20






 
 















 
 





 
 


 
 


 




 


 

➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> p = 2
>>> q = 3
>>> L = (p + q) * A
>>> R = p * A + q * A
>>> print(L)
[[ 5 10]
[15 20]]
>>> print(R)
[[ 5 10]
[15 20]]
Свойство 4. Произведение матрицы на произведение двух чисел равно произведению второго числа и заданной матрицы, умноженному на первое число:
➣ Численный пример
➤
Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> p = 2
>>> q = 3
>>> L = (p * q) * A
>>> R = p * (q * A)
>>> print(L)
[[ 6 12]
[18 24]]
>>> print(R)

[[ 6 12]
[18 24]]
Свойство 5. Произведение суммы матриц на число равно сумме произведений этих матриц на заданное число:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> k = 3
>>> L = k * (A + B)
>>> R = k * A + k * B
>>> print(L)
[[18 24]
[30 36]]
>>> print(R)
[[18 24]
[30 36]]
Сложение матриц
Складывать можно только матрицы одинаковой размерности — то есть матрицы, у которых совпадает количество столбцов и строк.
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 6 3; 8 2 7')
>>> B = np.matrix('8 1 5; 6 9 12')
>>> C = A + B
>>> print(C)
[[ 9 7 8]
[14 11 19]]
Рассмотрим свойства сложения матриц.
Свойство 1. Коммутативность сложения. От перестановки матриц их сумма не изменяется:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> L = A + B
>>> R = B + A

>>> print(L)
[[ 6 8]
[10 12]]
>>> print(R)
[[ 6 8]
[10 12]]
Свойство 2. Ассоциативность сложения. Результат сложения трех и более матриц не зависит от порядка, в котором эта операция будет выполняться:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('1 7; 9 3')
>>> L = A + (B + C)
>>> R = (A + B) + C
>>> print(L)
[[ 7 15]
[19 15]]
>>> print(R)
[[ 7 15]
[19 15]]
Свойство 3. Для любой матрицы существует противоположная ей , такая, что их сумма является нулевой матрицей :
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')
>>> L = A + (-1)*A
>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]
>>> print(Z)
[[0 0]
[0 0]]
Умножение матриц
Умножение матриц это уже более сложная операция, по сравнению с рассмотренными выше. Умножать можно только матрицы, отвечающие следующему требованию: количество столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк
второй матрицы.
Для простоты запоминания этого правила можно использовать диаграмму умножения, представленную на рисунке 1.

Рисунок 1 — Диаграмма матричного умножения
Рассмотрим умножение матриц на примере.
➣ Численный пример
Каждый элемент c
ij
новой матрицы является суммой произведений элементов i-ой строки первой матрицы и j-го столбца второй матрицы. Математически это записывается так:
➤
Пример на Python
Решим задачу умножения матриц на языке Python. Для этого будем использовать функцию dot() из библиотеки Numpy:
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6')
>>> B = np.matrix('7 8; 9 1; 2 3')
>>> C = A.dot(B)
>>> print(C)
[[31 19]
[85 55]]
Ниже представлены свойства произведения матриц. Примеры свойств будут показаны для квадратной матрицы.
Свойство 1. Ассоциативность умножения. Результат умножения матриц не зависит от порядка, в котором будет выполняться эта операция:
➣ Численный пример

➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('2 4; 7 8')
>>> L = A.dot(B.dot(C))
>>> R = (A.dot(B)).dot(C)
>>> print(L)
[[192 252]
[436 572]]
>>> print(R)
[[192 252]
[436 572]]
Свойство 2. Дистрибутивность умножения. Произведение матрицы на сумму матриц равно сумме произведений матриц:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('2 4; 7 8')
>>> L = A.dot(B + C)
>>> R = A.dot(B) + A.dot(C)
>>> print(L)
[[35 42]
[77 94]]
>>> print(R)
[[35 42]
[77 94]]
Свойство 3. Умножение матриц в общем виде не коммутативно. Это означает, что для матриц не выполняется правило независимости произведения от перестановки множителей:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> L = A.dot(B)
>>> R = B.dot(A)
>>> print(L)
[[19 22]
[43 50]]
>>> print(R)
[[23 34]
[31 46]]
Свойство 4. Произведение заданной матрицы на единичную равно исходной матрице:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> E = np.matrix('1 0; 0 1')

>>> L = E.dot(A)
>>> R = A.dot(E)
>>> print(L)
[[1 2]
[3 4]]
>>> print(R)
[[1 2]
[3 4]]
>>> print(A)
[[1 2]
[3 4]]
Свойство 5. Произведение заданной матрицы на нулевую матрицу равно нулевой матрице:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')
>>> L = Z.dot(A)
>>> R = A.dot(Z)
>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]
>>> print(R)
[[0 0]
[0 0]]
>>> print(Z)
[[0 0]
[0 0]]

Выполнить действия над матрицами.
(3
)(2
)
A B
A B


где
1 2
1 2
1 3
0 2
3 ,
1 0 1 1
1 2
1 3 1
A
B


























2 4
2 2
1 3
2 0
4 6
1 0 1 2
2 4
1 3 1 0
3 5
1 4
7 3
5 3
A B


 


 

 
 


 


 




 






 








1 2
1 2
1 3
3 3 0 2
3 1
0 1 1
1 2
1 3 1 3
6 3
2 1
3 5
7 0
0 6
9 1
0 1 1
6 8
3 3
6 1 3 1 2
0 7
A
B


 


 

 
 


 


 




 



 
 


 
 


 



 
 


 
 




 
 

(3
)(2
)
5 7
0 0
3 5
7 43 74 1
6 8
1 4
7 30 67 71 2
0 7
3 5
3 21 29 11
A B
A B







 
 


 
 


  
  


 
 


 
 




 
 

1.
(2
)(2
)
A B
B
A


где
2 3
1 1
0 5
4 5
2 ,
0 1
3 1 0 7
2 2
4
A
B


























16.
2
(
)(
),
AB
A B A B



где
4 2
0 0
2 6
1 1
2 ,
2 4
3 7
2 0
0 3
4
A
B


























2.
3
(
2 )
A
A
B B


где
4 5
2 2
1 1
3 1
0 ,
0 1
3 4
2 7
5 7
3
A
B

























17.
2 3 (
2 ),
A
B AB
A


где
1 1
0 5
3 1
2 0
1 ,
1 2 0
1 1
1 3 0 0
A
B











 













3.
2 2(
)(
),
A B A
B


где
5 1
7 2
4 1
10 2
1 ,
3 1
0 0
1 2
7 2
1
A
B








 














18
(
)(
) 2
,
A B A B
AB



где
3 4
5 0
1 2
1 0
2 ,
1 1
2 2
1 0 3
1 0
A
B









 
 















4.
2 2
(
)(
),
A
B
A B


где
7 2
0 0
2 3
7 2
1 ,
1 0
2 1
1 1
3 1
1
A
B








 















19.
2
(
)
,
A AB B
A
B



где
3 2
1 0
3 1
0 1
2 ,
2 1
2 5
7 1
3 1
4
A
B



























5.
2
(
)(2
),
A B
A B


где
5 2
0 3
6 1
10 4
1 ,
1 2
0 7
3 2
2 1
3
A
B










 













20 2
(
)(
3 ),
A
A B A
B



где
4 5
6 0
1 2
1 0 3 ,
1 0
2 1 2 1
3 1
2
A
B









 
















6.
(
)
2 ,
A B A
B


где
5 1
3 3
7 2
0 2
1 ,
1 1
2 2
1 0
0 1
3
A
B




























21
(
2 ) 3
,
B A
B
AB


где
7 3 0 4
2 1 1
1 0 ,
1 0 1 2
0 3
3 2 1
A
B


























7.
2(
0. )
,
A
B
AB


где
5 3
1 1
4 16 2
0 4 ,
3 2
0 3
5 1
5 7
2
A
B










 














22.
3(
) (
) ,
A B
A B A



где
1 2
3 4
2 1
0 2 3 ,
1 2 0
1 3
1 2
3 1
A
B










 













8.
(
)
3 ,
A B A
B


где
3 2
5 1
2 4
4 2
0 ,
0 3
2 1
1 2
1 3
4
A
B


























23
(
) 2 (
),
A A B
B A B



где
1 2
2 0
3 5 1
1 2 ,
4 1 0
1 1
1 1 1 2
A
B



























9.
2 2
(
) ,
A
A
B B


где
1 4
2 4
6 2
2 1
2 ,
4 10 1
0 1
1 2
4 5
A
B


























24
(2
)
0.5 ,
A B B
A


где
1 1
2 1 0 2
3 0
2 ,
2 1
1 2
1 1
2 0
1
A
B




























10.
2 2
3(
) 2
,
A
B
AB


где
4 2
1 2
0 2
3 2
0 ,
5 7
2 0
1 2 1
0 1
A
B



























25 2(
) ,
AB
A B A


где
2 1
1 2
1 0
1 0
1 ,
0 2
1 3
1 2
1 3
1
A
B


























11.
(2
)(3
) 2
,
A B
A B
AB



где
5 2
0 3
6 1
10 4
1 ,
1 2
0 7
3 2
2 1
3
A
B










 













26
(
2 )(3
),
A
B
A B


где
1 2
3 2
3 1
4 2
1 ,
2 0
1 0
1 1
1 0
1
A
B











 














12.
2
(
) 2(
) ,
A A
B
B
A B



где
2 3
1 2
7 13 1 2 4 ,
1 0
5 5
3 0
5 13 21
A
B








 
 












27 2
(
),
AB
A B
A


где
1 2
1 1
2 1
2 3
0 ,
2 1
0 0
2 1
1 2
1
A
B


























13.
(
)
(2 3 ),
A B A B
A
B



где
1 2
3 4 11 3
2 3
5 ,
1 6
1 1
4 1
2 2
16
A
B
























28
(3 0.5 )(2
),
A
B
B
A


где
1 2
3 1
0 2
1 0 2 ,
2 3
1 1
2 1
3 1
0
A
B








 













14.
(2
)
(
),
A A B
B A B



где
2 3
1 9
8 7
4 1 0 ,
2 7
3 0
1 2
4 3
5
A
B























29 2 (
) 3
,
A A B
AB


где
2 3
4 2
0 2
1 2
0 ,
1 1
0 0
1 2
1 1
1
A
B

























15.
3(
)(
2 ),
A B AB
A


где
3 2
1 0
3 1
0 1
2 ,
2 1
2 5
7 1
3 1
4
A
B



























30 3
(
)(
2 ),
A
A B A
B



где
2 5
1 1
2 0
0 2
1 ,
1 0
2 1
0 1
0 0
3
A
B

























Лабораторная работа №2
Методы приближенного интегрирования. Выбор шага
для обеспечения необходимой точности.