Файл: Лабораторная работа обработка результатов прямых и косвенных измерений цель работы.pdf

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с простейшими измерительными сред- ствами.
2. Овладеть различными методами измерений, техникой эксперимента.
РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ
При выполнении лабораторной работы студенты должны решить следующие задачи:
1. Освоить приемы применения универсальных средств для измерения размеров деталей цилиндрической формы.
2. Ознакомиться с методикой обработки результатов фи- зического эксперимента.
СРЕДСТВА ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ
3.1. Измерительный инструмент – штангенциркуль.
3.2. Деталь цилиндрической формы.
3.3. Методические указания.
3.4. Бланк для оформления отчета.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Изучить общие сведения об измерениях и погрешностях
измерения.
Любому материальному объекту присущи определенные свойства, большинство из которых характеризуется численными величинами. Например, для куска медного провода можно определить следующие величины: диаметр, длину, электропро- водность, электрическое сопротивление, температурный коэф- фициент расширения и др.

3
Для определения численной характеристики какого-либо свойства выбранного объекта необходимо знать, во сколько раз искомая характеристика больше или меньше, чем у другого объ- екта, принятого за эталон.
Операция сравнения определяемой величины для иссле- дуемого объекта с соответствующей величиной эталона называ- ется измерением. Например, за единицу длины принят метр.
При измерении длины некоторого образца устанавливают, сколько метров в нем содержится. Точно так же при измерении массы некоторого тела определяют, во сколько раз измеряемая масса превосходит массу эталонного образца в один килограмм.
Разумеется, очень редко сравнивают измеряемые величины с величинами эталонов, хранящихся в государственных метроло- гических учреждениях. В основном используют различные устройства и приборы, тем или иным способом сверенные с эта- лонами.
Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений. Совокупность правил и приемов использования средств измерений для реше- ния измерительной задачи называют методом измерения.
Классификация видов измерений по различным признакам показана на рис.1.
Рис.1. Классификация измерений

4
Прямое измерение – измерение, при котором искомое зна- чение величины находят непосредственно из опытных данных.
Измерение длины рулеткой либо штангенциркулем, измерение промежутков времени секундомером и т.п. – все это примеры прямых измерений, когда измеряемая величина отсчитывается непосредственно по шкале прибора.
Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимо- сти между этой величиной и величинами, подвергаемыми пря- мым измерениям. К косвенным измерениям относятся, напри- мер, определение площади прямоугольника по измеренным двум его сторонам, определение сопротивления участка цепи по силе тока и напряжению и т.п.
Абсолютное измерение – измерение, основанное на пря- мых измерениях одной или нескольких основных величин или на использовании физических констант. Например, измерение угла угломером, диаметра – штангенциркулем.
Относительное измерение – измерение, при котором ис- комую величину сравнивают с одноименной величиной, игра- ющей роль единицы или принятой за исходную. Например, из- мерение диаметров отверстий с помощью индикаторных нутро- меров.
Равноточные измерения проводятся в одинаковых усло- виях, определяющих общую точность измерений (тип, класс прибора, число измерений, внешние условия, квалификация оператора и т.д.). При этом в ряду результатов измерений нельзя отдать предпочтение какому-либо одному или нескольким зна- чениям. Неравноточные измерения не отвечают указанным вы- ше условиям.
Независимо от способа измерений определение той или иной физической величины сопровождается погрешностью, по- казывающей, насколько искомая величина отличается от ее ис- тинного значения.

5
В качестве истинного значения измеряемой величины обычно принимают среднее арифметическое измеренных значе- ний:
n
х
n
х
х
х
х
n
i
i
n







1 2
1
,
(1) где
,
1
х
n
х
х ,...,
2
– значения измеряемой величины;
n – число измерений.
Различают следующие виды погрешностей:
Абсолютная погрешность измерения – это разность меж- ду результатом измерения х искомой величины и ее истинным значением
х
, выраженная в единицах измерения:
х
х
х



(2)
Абсолютная погрешность указывает два значения измеряемой величины, между которыми заключено ее истинное значение.
Например, в результате измерений и последующих вычислений диаметра проволоки получили

d
2,4 мм;



d
0,1 мм.
Это означает, что истинное значение диаметра проволоки нахо- дится в интервале между 2,3 и 2,5 мм.
Относительная погрешность – это отношение абсолют- ной погрешности к истинному значению измеряемой величины; обычно выражается в процентах:
%
100




х
х

(3)
Приведенная погрешность относится не к конкретному значению измеряемой величины, а к ее максимально возможно- му значению

6
%
100
max




х
х

(4)
Случайная погрешность – это погрешность, которая в от- дельных измерениях может принимать случайные, заранее кон- кретно неизвестные значения, Обычно известны только число- вые характеристики закона распределения случайной погрешно- сти измерения. Можно назвать многочисленные объективные и субъективные причины случайных погрешностей: изменения напряжения в сети при электрических измерениях, неоднород- ность вещества при определении плотности, изменение условий окружающей среды (температуры, давления), возбужденное со- стояние производящего измерения и др. Подобные причины приводят к тому, что несколько измерений одной и той же вели- чины дают различные результаты.
Систематическая погрешность обуславливается факто- рами, действующими одинаково при многократном повторении измерений. Они чаще всего возникают при неисправности изме- рительных приборов, неточности метода измерения. Например, если стрелка амперметра изогнута или смещен «нуль» прибора, то при измерении таким прибором всегда получается ошибочная величина. Если систематическая погрешность определена, то ее учитывают при отсчете каждого результата и в этом случае называют поправкой.
Грубая погрешность вызывается просчетом оператора, неисправностью средств измерения и т.д. Они приводят к явно- му искажению результатов, поэтому при обработке их надо ис- ключать.
2. Ознакомиться с правилами округления
2.1. Абсолютную погрешность измерения указывают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной – если первая есть 3 и более.
Примеры:
8,27

9 0,0862

0,09 857,3

900 0,237

0,24

7 0,00036 ≈ 0,0004 43,5 ≈ 44 2.2. Результаты измерения округляют с точностью «до по- грешности», т.е. последняя значащая цифра в результате должна находиться в том же разряде, что и в погрешности.
Примеры:
243,871±0,036≈243,87±0,04;
243,871±3,6≈244±4;
1053±47≈1050±50.
2.3. Округление результата измерения достигают простым отбрасыванием цифр, если первая из них меньше 5.
Примеры:
8,337 (округлить до десятых) ≈ 8,3;
833,438 (округлить до целых) ≈ 833;
0,27375 (округлить до сотых) ≈ 0,27.
2.4. Если первая из отбрасываемых цифр больше или рав- на 5, (а за ней одна или несколько цифр отличны от нуля), то последняя из остающихся цифр увеличивается на единицу.
Примеры:
8,3351 (округлить дл сотых) ≈ 8,34;
0,2510 (округлить до десятых) ≈ 0,3;
271,515 (округлить до целых) ≈ 272.
2.5. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет зна- чащих цифр (или стоят одни нули), то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, когда она нечетная, и оставля- ют неизменной, когда она четная.
Примеры:
0,875 (округлить до сотых) ≈ 0,88;
0,5450 (округлить до сотых) ≈ 0,54;
275,500 (округлить до целых) ≈ 276;
276,500 (округлить до целых) ≈ 276.
Изложенные правила применяются только при округлении окончательных результатов. Все промежуточные результаты целесообразно представлять тем числом разрядов, которые уда- ется получить.

8
Примечание.

Значащими называют верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, 0,00807 – в этом числе имеется три значащих цифры: 8, ноль между 8 и 7 и 7; пер- вые три нуля незначащие. 8,12·10 3
– в этом числе 3 знача- щих цифры.

Записи 15,2 и 15,200 различны. Запись 15,200 означает, что верны сотые и тысячные доли. В записи 15,2 – верны целые и десятые доли.

Результаты физических экспериментов записывают только значащими цифрами. Запятую ставят сразу после отличной от нуля цифры, а число умножают на десять в соответству- ющей степени. Нули, стоящие в начале или конце числа, как правило, не записывают. Например, числа 0,00435 и 234000 записывают так: 4,35·10
-3
и 2,34·10 5
. Подобная запись упро- щает вычисления, особенно в случае формул, удобных для логарифмирования.
3. Изучить методику обработки результатов прямых из-
мерений.
Методику обработки результатов прямых измерений устанавливает ГОСТ 8.207-76.
При прямых измерениях определяемая величина (х) изме- ряется с помощью измерительного прибора (например: весов, линейки, часов и т.д.). Последовательность обработки результа- тов прямых измерений сводится к следующему:
*определяют среднее арифметическое значение
х
резуль- татов измерений по формуле (1);
*находят абсолютные погрешности
i
x

отдельных изме- рений по формуле (2);
*определяют выборочное среднее квадратическое откло- нение результата измерений

9


1 1
1 2
1 2










n
х
n
x
х
S
n
i
i
n
i
i
X
(5) и выборочное среднее квадратическое отклонение среднего арифметического






1 1
1 2
1 2











n
n
х
n
n
x
х
n
S
S
n
i
i
n
i
i
X
X
;
(6)
*исключают промахи или грубые погрешности и повто- ряют вычисления;
*проверяют нормальность распределения результатов из- мерений (как правило, при
15

n
);
*задавая определенные значения доверительной вероятно- сти (Р), находят границы доверительного интервала, т.е. абсо- лютную погрешность серии измерений
X
n
P
S
t
х




)
(
;
(7) где
)
(n
P
t
- коэффициент Стьюдента, определяют по табл.1 в за- висимости от числа произведенных измерений (n) и доверитель- ной погрешности (Р).
Таблица 1 n
P
0,90 0,95 0,99 3
2,9 4,3 9,9 4
2,4 3,2 5,8 5
2,1 2,8 4,6 6
2,0 2,6 4,0 7
1,9 2,4 3,7

10
*cравнивают погрешность
х

с аппаратурной погрешно- стью, и если она превосходит последнюю, то окончательный результат записывают в виде
х
х
х



при вероятности Р=…%.
Если абсолютная погрешность
х

меньше или соизмери- ма с приборной погрешностью
СИ

, определяемой классом точности прибора, то границы доверительного интервала вы- числяют по формуле
 
2 2
3 96
,
1













СИ
х
,
(8) а окончательный результат записывают в виде:




х
х
при вероятности Р=…%;
*определяют относительную погрешность результатов из- мерений по формуле (3).
4. Изучить методику обработки результатов косвенных
измерений.
При косвенных измерениях исследуемая величина у не из- меряется непосредственно с помощью прибора, а рассчитывает- ся по известной зависимости


n
х
х
x
f
у
,...
,
2 1

, где
n
х
х
х
,...,
,
2 1
– подлежащие прямым измерениям аргументы функции у.
Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных.
Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Единого мнения от- носительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений не существует. Однако, если исходить из определе- ния систематической ошибки как максимально возможной, то целесообразно находить систематическую ошибку по форму- лам

11





















n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
у
2 2
1 1
(9) или





















n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
у
у
ln ln ln
2 2
1 1
, (10) где
n
x
f
x
f
x
f






,...,
,
2 1
–
частные производные функции


n
х
х
x
f
у
,...
,
2 1

по аргументу
n
x
x
x
,...,
,
2 1
, найденные в пред- положении, что все остальные аргументы, кроме того, по кото- рому находится производная, постоянные, вычисляют при
n
n
x
x
x
x
x
x



...,
,
,
2 2
1 1
;
n
x
x
x



,...,
,
2 1
– систематические ошибки аргументов.
Формулой (9) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (10) применять целесообразно, если функция имеет вид произведе- ния или частного аргументов.
Для нахождения случайной ошибки косвенных измере- ний следует использовать формулы:
2 2
2 2
2 1
1

































n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
у
(11) или
2 2
2 2
2 1
1
ln ln ln

































n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
у
у
,(12) где
n
x
x
x



,...,
,
2 1
– доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях для аргументов
n
x
x
x
,...,
,
2 1
. Сле- дует иметь в виду, что доверительные интервалы