Файл: Уравнения и неравенства с параметрами Линейные уравнения с параметрами.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.11.2023
Просмотров: 145
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Уравнения и неравенства с параметрамиЛинейные уравнения с параметрамиЛинейным уравнением с параметром называется уравнение вида ax = b, где aи b – выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестное.Схема исследования: при a 0 уравнение имеет единственный корень x = ; при , 0∙x = 0 (истина) x = (; ), бесконечное множество решений; при , 0∙x = b (ложь) нет корней.Выбор параметра без ограничений на решение1) Решить уравнение ax – 2 = 6x + a▼ После преобразования: (a - 6)x = a + 2При a 6 x = При a = 6 уравнение примет вид 0∙x = 8 (ложь) нет корней.Отв. при a 6, x = ; при a = 6 корней нет.2) Решить уравнение b2x – 7 = 49x + b▼ После преобразования: (b + 7)(b - 7)x = b + 7Рассмотрим два случая:а) (b + 7)(b - 7) 0, b 7 x = б) (b + 7)(b - 7) = 0при b = 7, 0∙x = 14 (ложь) нет корнейпри b = -7, 0∙x = 0 (ист) x = (; )Отв. при b 7, x = ; при b = 7 нет корней; при b = -7, x = (; )3) Решить уравнение ▼ ОДЗ уравнения: a 0.При a 0 после преобразования (5 - a)(5 + a)x = (a - 5)(a + 1)Рассмотрим два случая:а) (5 - a)(5 + a) 0, a 5 x = -б) (5 - a)(5 + a) = 0при a = 5, 0∙x = 0 (ист) x = (; ) при a = -5, 0∙x = 40 (ложь) нет корнейОтв. при a 5, x =- ; при a = 0; -5 нет корней; при а = 5, x = (; )Выбор параметра с учетом ограничений на решение
1) При каком значении параметра а уравнение ах = 1 - х не имеет решения.▼ После преобразования: (а + 1)х = 1При а + 1= 0, а = - 1, 0∙x = 1(ложь) нет корней. Отв. при а = - 1 нет решения.2) При каком значении параметра а уравнение (а2 – 4)х = а2+ a– 6 а) имеет бесконечно много решений; б) не имеет решения.▼ а) имеет бесконечно много решений, если , , а = 2а) не имеет решения, если , , а = -2Отв. при а = 2, x = (; ); при а = -2 нет решения3) При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение▼ ОДЗ уравнения: a 0.При a 0 после преобразования: (а - 2)х = 4 При а – 2 0, a 0 уравнение имеет единственное решение.Отв. при всех а, кроме а = 0; 24) Решить уравнение ▼ ОДЗ уравнения: 3a - х 0, х 3aПреобразуем уравнение: (а + 2)х = 6аПри а + 2 0, а -2 х = .Подставим х = 3a в уравнение (а + 2)х = 6а, тем самым найдем а, при котором решение хОДЗ(а + 2)3а = 6а а = 0Отв. при a 0; -2, х = ; при a 0; -2 нет решений5) Решить уравнение при всех значений параметра а▼ ОДЗ уравнения: 5а – 6 0, a При a после преобразования При a = 2, 0∙x = 0 (ист) x = (; ) При a = 3, 0∙x = 1(ложь) нет корнейОтв. при a = ; 3 нет корней; при а = 2, x = (; )6) При каких значениях параметра а уравнение 10x – 15a= 13 – 5ax + 2a имеет корень больше 2.▼ После преобразования: 5(
а + 2)х = 17а + 13При а + 2 0, a -2 x = . По условию х > 2, или > 2, (a- 1)(a + 2) > 0 x < -2, x > 1Отв. (-;-2)(1;)7) При каких значениях n уравнение (n2 - 16)х + n2 – 3n – 4 = 0 имеет корень больше 1.▼ После преобразования: (n – 4)(n + 4)х = -(n + 1)(n - 4)При (n – 4)(n + 4), n 4 x = - . По условию х > 1, или- > 1, (2n+ 5)(n + 4) < 0 n(-4; -2,5)При n= 4, 0∙x = 0 (ист) x = (; ), в том числе х > 1Отв.n(-4; -2,5)48) При каких целых значениях параметра а корень уравнения (а - 5)х + а = 3 лежит в промежутке 0; 5.▼ После преобразования: (а - 5)х = 3 – аПри а – 5 0, a 5 x = . По условию 0 х 5, или0 5 , , , 3 a На этом отрезке находятся только два целых числа 3; 4- решениеОтв. 3; 4 9) При каких значениях параметра а уравнение имеет положительные решения.▼ ОДЗ уравнения: , В ОДЗ уравнение равносильно 2ax = 3a2 – a – 2При a = 0, 0∙x = -2(ложь) нет решенияПри а 0; 2 x = .Подставим х = а в уравнение 2ax = 3a2 – a – 2, тем самым найдем а, при котором решение xОДЗa2 – a – 2 = 0, a =-1; 2Таким образом, при a =-1; 0; 2 исходное уравнение не имеет решения.При a -1; 0; 2 уравнение имеет единственное решение
x = .Это решение будет положительным (x > 0), если > 0 (3a2 – a – 2)a > 0, (a + 2/3)a(a - 1) > 0Из найденного множества значений параметра а исключаем a = 2Отв. (-2/3; 0)(1; 2)(2; )Линейные неравенства с параметрамиПри решении неравенств учитываем, что при делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении на отрицательное – меняется но противоположный.1) Решить неравенство ax < b▼ Рассмотрим случаи a = 0, a > 0, a < 0. Значение параметра b является существенным только при a = 0При , 0∙х < b (ист), x = (; )При , 0∙х < b (ложь), нет решенийПри a > 0, х < , при a < 0, х > .Отв. при a = 0, b> 0, x = (; ); при a = 0, b 0 решений нет; при a > 0, х < ; при a < 0, х > .2) Решить неравенство ax b▼ Рассмотрим случаи a = 0, a > 0, a < 0. Значение параметра b является существенным только при a = 0При , 0∙х b(ложь), нет решений При , 0∙х b (ист), x = (; )При a > 0, х , при a < 0, х .Отв. при a = 0, b> 0 решений нет; при a = 0, b 0, x = (; ); при a > 0, х ; при a < 0, х .3) Решить неравенство ax – 2x > 4▼ Преобразованное неравенство: (a – 2)x > 4При a – 2 = 0, a = 0, 0∙х > 4(ложь), нет решений
При a – 2 > 0, a > 2, х >При a – 2 < 0, a < 2, х <Отв. при a = 2 нет решений; при a > 2, х > ; при a < 2, х <4) Решить неравенство 3a(a– 3)x > a - 3▼ Нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент 3a(a– 3) при х равен нулю, положителен и отрицателенПри a = 0, 0∙х > -3 (ист), x = (; )При a = 3, 0∙х > 0 (ложь) нет решенийПри a < 0, a > 3, x > При a(0; 3), x < Отв. при a = 0, x = (; ); a = 3 нет решений; при a < 0, a > 3, x > ; при a(0; 3), x < 5) При каких значениях параметра а неравенство 2a(a – 2)x > a – 2 а) не имеет решения; б) выполняется при любых значениях х▼ а) неравенство не имеет решения, когда , , а = 2б) неравенство выполняется при любых значениях х, когда , , а = 0Отв. а) 2; б) 06) При каком значении параметра а неравенство a2x < a + xа) не имеет решения; б) выполняется при любых значениях х▼ Преобразованное неравенство (a2 – 1)x < aа) неравенство не имеет решения, когда , , а =-1б) неравенство выполняется при любых значениях х, когда , , а =1Отв. а) -1; б) 17) Решить неравенство
1) При каком значении параметра а уравнение ах = 1 - х не имеет решения.▼ После преобразования: (а + 1)х = 1При а + 1= 0, а = - 1, 0∙x = 1(ложь) нет корней. Отв. при а = - 1 нет решения.2) При каком значении параметра а уравнение (а2 – 4)х = а2+ a– 6 а) имеет бесконечно много решений; б) не имеет решения.▼ а) имеет бесконечно много решений, если , , а = 2а) не имеет решения, если , , а = -2Отв. при а = 2, x = (; ); при а = -2 нет решения3) При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение▼ ОДЗ уравнения: a 0.При a 0 после преобразования: (а - 2)х = 4 При а – 2 0, a 0 уравнение имеет единственное решение.Отв. при всех а, кроме а = 0; 24) Решить уравнение ▼ ОДЗ уравнения: 3a - х 0, х 3aПреобразуем уравнение: (а + 2)х = 6аПри а + 2 0, а -2 х = .Подставим х = 3a в уравнение (а + 2)х = 6а, тем самым найдем а, при котором решение хОДЗ(а + 2)3а = 6а а = 0Отв. при a 0; -2, х = ; при a 0; -2 нет решений5) Решить уравнение при всех значений параметра а▼ ОДЗ уравнения: 5а – 6 0, a При a после преобразования При a = 2, 0∙x = 0 (ист) x = (; ) При a = 3, 0∙x = 1(ложь) нет корнейОтв. при a = ; 3 нет корней; при а = 2, x = (; )6) При каких значениях параметра а уравнение 10x – 15a= 13 – 5ax + 2a имеет корень больше 2.▼ После преобразования: 5(
а + 2)х = 17а + 13При а + 2 0, a -2 x = . По условию х > 2, или > 2, (a- 1)(a + 2) > 0 x < -2, x > 1Отв. (-;-2)(1;)7) При каких значениях n уравнение (n2 - 16)х + n2 – 3n – 4 = 0 имеет корень больше 1.▼ После преобразования: (n – 4)(n + 4)х = -(n + 1)(n - 4)При (n – 4)(n + 4), n 4 x = - . По условию х > 1, или- > 1, (2n+ 5)(n + 4) < 0 n(-4; -2,5)При n= 4, 0∙x = 0 (ист) x = (; ), в том числе х > 1Отв.n(-4; -2,5)48) При каких целых значениях параметра а корень уравнения (а - 5)х + а = 3 лежит в промежутке 0; 5.▼ После преобразования: (а - 5)х = 3 – аПри а – 5 0, a 5 x = . По условию 0 х 5, или0 5 , , , 3 a На этом отрезке находятся только два целых числа 3; 4- решениеОтв. 3; 4 9) При каких значениях параметра а уравнение имеет положительные решения.▼ ОДЗ уравнения: , В ОДЗ уравнение равносильно 2ax = 3a2 – a – 2При a = 0, 0∙x = -2(ложь) нет решенияПри а 0; 2 x = .Подставим х = а в уравнение 2ax = 3a2 – a – 2, тем самым найдем а, при котором решение xОДЗa2 – a – 2 = 0, a =-1; 2Таким образом, при a =-1; 0; 2 исходное уравнение не имеет решения.При a -1; 0; 2 уравнение имеет единственное решение
x = .Это решение будет положительным (x > 0), если > 0 (3a2 – a – 2)a > 0, (a + 2/3)a(a - 1) > 0Из найденного множества значений параметра а исключаем a = 2Отв. (-2/3; 0)(1; 2)(2; )Линейные неравенства с параметрамиПри решении неравенств учитываем, что при делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении на отрицательное – меняется но противоположный.1) Решить неравенство ax < b▼ Рассмотрим случаи a = 0, a > 0, a < 0. Значение параметра b является существенным только при a = 0При , 0∙х < b (ист), x = (; )При , 0∙х < b (ложь), нет решенийПри a > 0, х < , при a < 0, х > .Отв. при a = 0, b> 0, x = (; ); при a = 0, b 0 решений нет; при a > 0, х < ; при a < 0, х > .2) Решить неравенство ax b▼ Рассмотрим случаи a = 0, a > 0, a < 0. Значение параметра b является существенным только при a = 0При , 0∙х b(ложь), нет решений При , 0∙х b (ист), x = (; )При a > 0, х , при a < 0, х .Отв. при a = 0, b> 0 решений нет; при a = 0, b 0, x = (; ); при a > 0, х ; при a < 0, х .3) Решить неравенство ax – 2x > 4▼ Преобразованное неравенство: (a – 2)x > 4При a – 2 = 0, a = 0, 0∙х > 4(ложь), нет решений
При a – 2 > 0, a > 2, х >При a – 2 < 0, a < 2, х <Отв. при a = 2 нет решений; при a > 2, х > ; при a < 2, х <4) Решить неравенство 3a(a– 3)x > a - 3▼ Нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент 3a(a– 3) при х равен нулю, положителен и отрицателенПри a = 0, 0∙х > -3 (ист), x = (; )При a = 3, 0∙х > 0 (ложь) нет решенийПри a < 0, a > 3, x > При a(0; 3), x < Отв. при a = 0, x = (; ); a = 3 нет решений; при a < 0, a > 3, x > ; при a(0; 3), x < 5) При каких значениях параметра а неравенство 2a(a – 2)x > a – 2 а) не имеет решения; б) выполняется при любых значениях х▼ а) неравенство не имеет решения, когда , , а = 2б) неравенство выполняется при любых значениях х, когда , , а = 0Отв. а) 2; б) 06) При каком значении параметра а неравенство a2x < a + xа) не имеет решения; б) выполняется при любых значениях х▼ Преобразованное неравенство (a2 – 1)x < aа) неравенство не имеет решения, когда , , а =-1б) неравенство выполняется при любых значениях х, когда , , а =1Отв. а) -1; б) 17) Решить неравенство