Файл: Учебное пособие для студентовзаочников. Компьютерная версия. 2е изд., перер и доп. Челябинск юурГУ, 2006. 89 с. З. И. Поляков и др., 1986. Издво Челябинского политехнического инсти тута имени Ленинского комсомола.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.11.2023
Просмотров: 175
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
69
двигаться с различными скоростями и зачастую в разных направлениях. Такое движение осуществляется за счет деформации тела. В теле распространяются волны деформаций. В этом случае нельзя рассматривать движение тела как движение его центра тяжести, поскольку при этом центр тяжести вообще может остаться неподвижным.
В твердом теле существует несколько типов волн. Возможна продольная волна, при которой направление смещения частиц совпадает с направлением распространения волны, поперечная волна, когда направление смещение частиц перпендикулярно направлению распространения волны. Для стержневых сис- тем, часто используемых в ультразвуковой технике, скорость С распростране- ния продольной волны
ρ
=
E
C
, (4.25) где ρ — плотность, Е — модуль Юнга.
Скорость С
S
распространения поперечной волны
ρ
=
G
C
S
, (4.26) где G — модуль сдвига.
Рассмотрим продольные колебания в однородном стержне. Однородным называется стержень из однородного материала с постоянным поперечным се- чением. Направим ось Х по оси стержня и выделим в стержне элемент длиной
∆Х с координатами границ элемента Х и (Х+∆Х ) (рис.4.5). x d
( x
) d
( x
+
D x
) x
+
D x x
Рис.4.5. Схема однородного стержня
На границах элемента действуют напряжения
σ(х) и σ(х + ∆х). Уравнение движения элемента имеет вид:
)]
X
(
)
X
X
(
[
S
t
U
m
2 2
σ
−
∆
+
σ
⋅
=
∂
∂
=
, (4.27) где m — масса элемента; S — площадь его поперечного сечения.
Имеем m=ρ
⋅|S|⋅∆X. Подставляя последнее выражение в уравнение движе- ния, получаем
X
)
X
(
)
X
X
(
t
U
2 2
∆
σ
−
∆
+
σ
=
∂
∂
ρ
, (4.28) и, переходя к пределу при
0
X
→
∆
, имеем
X
t
U
2 2
∂
σ
∂
=
∂
∂
ρ
. (4.29)
70
Из закона Гука
σ=ε⋅Е, где ε — относительная деформация.
При подвижных границах элемента
X
)
X
(
U
)
X
X
(
U
∆
−
∆
+
=
ε
. (4.30)
Перейдем к пределу при
0
X
→
∆
X
U
∂
∂
=
ε
(4.31)
Подставив его в выражение (4.29), получим
2 2
2 2
X
U
E
t
U
∂
∂
=
∂
∂
=
ρ
. (4.32) и, используя отношение (4.25), имеем
2 2
2 2
2
X
U
С
t
U
∂
∂
=
∂
∂
. (4.33)
Уравнение (4.33) носит название одномерного волнового уравнения и описывает поведение частиц стержня при любом характере возмущающей си- лы. В случае, когда действует гармоническая сила
.t cos
P
P
m
ω
⋅
=
(4.34) волновое уравнение решается так:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
ω
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
ω
⋅
=
C
X
t sin
A
C
X
t sin
A
U
2 1
. (4.35)
Решение (4.35) представляет собой сумму двух колебаний.
Рассмотрим первое из них:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
ω
⋅
=
C
X
t sin
A
U
1
. (4.36)
Выражение (4.36) описывает бегущую волну (рис. 4.6), распространяю- щуюся в сторону увеличения координаты х.
1 l
A
1 t
=
0 t
>
0 0 x
Рис.4.6. Бегущая волна в стержне
71
В бегущей волне нет неподвижных точек. Максимальное смещение каж- дой точки равно амплитуде А
1
. Рассмотрим две точки с координатами X и X+
λ.
Для фиксированного момента времени t=b
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
+
−
ω
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
ω
⋅
C
X
b sin
A
C
X
b sin
A
1 1
, (4.37) откуда
2
C
;
2
C
X
b
C
X
b
π
=
λ
⋅
ω
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
+
−
⋅
ω
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
ω
(4.38)
Обозначим
α
=
ω
С
, (4.39) тогда
λ
π
=
α
2
. (4.40)
Второе слагаемое в формуле (4.35) представляет собой бегущую волну с амплитудой А
1
, распространяющуюся в направлении уменьшения координаты
Х, т.е. в направлении, противоположном распространению первого слагаемого.
Используя выражения (4.36) и (4.39), получаем
)
X
t sin(
A
U
1 1
α
−
ω
⋅
=
. (4.41)
Скорость смещения частиц
).
X
t cos(
A
t
U
v
1 1
α
−
ω
⋅
⋅
ω
=
∂
∂
=
(4.42)
Сила, действующая в стержне:
).
X
t cos(
A
S
E
X
U
ES
S
P
1
α
−
ω
⋅
⋅
α
⋅
⋅
−
=
∂
∂
⋅
=
⋅
σ
=
(4.43)
Модуль сопротивления
C
S
E
z
⋅
=
(4.44)
Используем уравнение (4.25):
S
С
z
⋅
⋅
ρ
=
(4.45)
Сопротивление стержневой системы зависит только от материала стерж- ня и от площади поперечного сечения. Длина стержня на его сопротивление не влияет. Рассмотрим модель стержня без потерь (рис. 4.7, см. с. 72).
Каждому элементу присуща масса М
1
и упругость D
1
. Движению i-го элемента препятствует только i+1 элемент, поскольку все последующие эле- менты еще неподвижны. До них еще возмущение не дошло.
72
Колебательная мощность
2
m m
m
1
v
S
C
2 1
v
P
2 1
N
⋅
⋅
⋅
ρ
⋅
=
⋅
⋅
=
, (4.46) т.е. колебательная мощность пропорциональна квадрату амплитуды колеба- тельной скорости.
М
1
D
1
Рис.4.7. Модель стержневой системы без потерь
Интенсивность или сила звука (Вт/см²):
2
m v
C
2 1
S
N
I
⋅
⋅
ρ
⋅
=
=
. (4.47)
Рассмотрим явления, происходящие в случае, когда волна дойдет до кон- ца стержня (см. рис.4.7). Пусть стержень перемещен в вакуум, тогда последний элемент стержня окажется нагруженным на сопротивление, равное 0, и получит смещение, значительно большее, чем все остальные элементы. Это воздействие соответствует случаю, когда к последнему элементу стержня приложили до- полнительную силу. Но от действия этой силы в стержне возникает новая вол- на, которая называется отраженной. Соотношение между амплитудными значе- ниями смещений и скоростей падающей и отраженной волны определяется при помощи коэффициента отражения пад m
отр m
пад отр v
v
А
А
К
=
=
, (4.48) где А
отр и v m_отр
— амплитудные значения смещения и скорости в отраженной волне, а А
пад и v m_пад
— в падающей.
Когда волна распространяется из среды с сопротивлением z
1
в среду с сопротивлением z
2
и падает нормально к поверхности раздела двух сред, коэф- фициент отражения
2 1
1 2
z z
z z
К
+
−
=
. (4.49)
Рассмотрим несколько частных случаев. Система нагружена на бесконеч- но большое сопротивление z
2
= ,
∞ К=1, т.е. отразится волна той же амплитуды и того же знака. Нагрузка на конце системы отсутствует: Z=0, К= –1, т.е. отразит- ся волна противоположного знака и той же амплитуды. Если падающая волна была волной сжатия, то отраженная волна будет волной растяжения.
Условие передачи колебания без отражения (К=0) имеет вид z
1
=z
Неравенство сопротивлений обязательно вызывает отражение колебаний.
Из выражения (4.46) следует, что коэффициент отражения по мощности
73 2
2 1
1 2
z z
z z
К
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
(4.50)
Удельное сопротивление стали равно 476, воды — 15, воздуха 0,043 г/см
2
Поэтому при передаче колебаний из стали в воду от границы раздела отражает- ся 88% всей энергии, а при передаче из стали в воздух — 99,96%. Таким обра- зом, для возбуждения колебаний в воздухе нельзя использовать стальные излу- чающие поверхности.
Если продольная волна падает нормально к поверхности раздела двух сред, то она расщепляется на продольную волну L и поперечную волну S
(рис.4.8).
Существует соотношение
2
S
2 1
C
sin
C
sin
C
sin
β
=
γ
=
α
, в котором С — скорость распространения соответствующей составляющей, определяе- мая из равенств (4.25), (4.26).
Поскольку Е>σ, то С>Cs и всегда
γ>β.
При увеличении угла
α наступает мо- мент полного внутреннего отражения, когда в среде 2 нет продольных волн. При этом волна пойдет по границе раздела двух сред.
Угол
α, при котором наступает это явление, называется первым критическим углом:
2 1
1
кр
С
С
sin
=
α
. (4.51)
Если продолжать увеличивать
α, то при α=α
кр2
в среде 2 не будет и попе- речных волн:
2
S
1 2
кр
С
С
sin
=
α
. (4.52)
Таким образом, разница сопротивления у двух сред может быть не столь существенной, но при больших углах падения передать колебание оказывается невозможным.
Рассмотрим распространение продольных волн в стержне в случае, когда коэффициент отражения равен 1, т.е. А
1
=А
2
. Выражение (4.35) приобретает вид:
X
cos t
sin
A
2
)]
X
t sin(
)
X
t
[sin(
A
U
1 1
α
⋅
ω
⋅
=
α
+
ω
+
α
−
ω
⋅
=
. (4.53)
Обозначив А=2
⋅А
1
, имеем
X
cos t
sin
A
U
α
⋅
ω
⋅
=
(4.54)
L
1
S
1
S
2 1
Г р а н и ц а р а з д е л а
П
а д а ю
щ а я п р о д о л ь н а я в о л н а a a
9
0
Å b g
2
Рис.4.8. Отражение и преломление колебаний
74
На рис. 4.9 представлены колебания, описываемые отношением (4.54).
При t=0 U=0, т.е. во всем стерж- не смещения отсутствуют.
При
4
T
t
=
X
cos
A
U
α
⋅
=
При
2
T
t
=
U=0.
При
3
T
t
=
X
cos
A
U
α
⋅
−
=
В точках с координатами
(
)
n
2 1
4
X
+
α
=
, где n — целое число (n=0,1,2,3), вели- чина
(
)
1
n
2 2
X
+
⋅
π
=
⋅
α
и U=0, т.е. эти точки неподвижны. Эти точки называются узлами смещения. Максимальная амплитуда колебаний наблюдается при
1
X
cos
=
α
, т.е. в точках с координатой n
2
X
⋅
α
=
. Эти точки называются пучностями смещения. Распределение скоро- стей по стержню
X
cos t
cos
A
t
U
v
α
⋅
ω
⋅
⋅
ω
=
∂
∂
=
(4.55)
Поэтому координаты пучностей смещения совпадают с координатами пучностей скоростей, а узлы смещений расположены там же, где узлы скоро- стей. Волна, описываемая выражением (4.54), называется стоячей волной. Рас- смотрим распределение напряжений в такой волне (см. рис.4.9):
X
sin t
sin
A
E
X
U
E
α
⋅
ω
⋅
⋅
⋅
α
−
=
∂
∂
⋅
=
σ
. (4.56)
В стоячей волне существуют узлы напряжений, координаты которых оп- ределяются из формулы:
2
n
X
λ
⋅
=
, (4.57) и существуют пучности напряжений, координаты которых
)
1
n
2
(
4
X
+
⋅
λ
=
. (4.58)
Сопротивление системы в режиме стоячей волны зависит от длины стержня. Если длина стержня
2
n
λ
⋅
=
l
, то сопротивление равно нулю, поскольку в точках
2
n
X
λ
=
расположены узлы напряжений, т.е. амплитуда силы
0
Р
т
= .
0 x
0 l
/
2 l
/
2 l
/
2 t
=
T
/
4 t
=
3
T
/
4 t
=
3
T
/
4 t
=
T
/
4 x d
U
Рис.4.9. Стоячая волна в стержне
75
Приведенные выше рассуждения имеют большое значение при проекти- ровании колебательных систем. Для увеличения амплитуды применяются резо- нансные колебательные системы. С этой целью длина системы выбирается кратной половине длины волн. Крепление колебательной системы к корпусу установки производится в узле смещения. В противном случае место крепления будет демпфировать колебания, а в корпусе установки, в свою очередь, возник- нут нежелательные колебания. Присоединять к колебательной системе инстру- мент или какой-то сменный волновод следует в узле напряжения или вблизи него, иначе знакопеременные напряжения вызовут усталостное разрушение места крепления. Поэтому присоединяемая часть колебательной системы должна быть или очень короткой или иметь длину, кратную
λ/2.
В реальной колебательной системе вследствие потерь и вследствие пере- дачи энергии в озвучиваемую среду отраженная волна всегда несколько мень- ше падающей. В реальной системе одновременно существуют стоячая и бегу- щая волны. Однако в узлах напряжения наблюдаются минимальные напряже- ния, а в узлах смещения – минимальные колебания. Значит, все рассуждения о выборе места крепления системы остаются в силе и для реальных систем.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3. Особенности распространения колебаний в жидкостях и газах.
В жидкостях и газах возможен только один тип волн – волны расшире- ния. При прохождении волн большой интенсивности в жидкостях и газах воз- никают вторичные эффекты. Возможно появление стационарных потоков, пе- ремещающих частицы среды от излучателя (звуковой ветер). Скорость этих по- токов достигает нескольких десятков сантиметров в секунду.
При прохождении волн высокой интенсивности в жидкости могут обра- зовываться мелкие резервы из-за растягивающих усилий. Нарушение сплошно- сти жидкости происходит в слабых местах, в неоднородностях. После растяже- ния следует полупериод сжатия, и пузырек захлопывается, исчезает. Захлопы- вание сопровождается гидравлическим ударом, вследствие чего давление мо- жет достигать нескольких сотен атмосфер. Это явление называется кавитацией и используется во многих процессах. Для получения кавитации необходимо иметь достаточную интенсивность колебаний. Минимальное значение интен- сивности, при которой возникает кавитация, называется кавитационным поро- гом. Последний зависит от частоты колебаний. В воде на частоте 15 кГц кави- тационный порог равен 1–2 Вт/см². Не все кавитационные пузырьки успевают захлопнуться. Часть их живет больше одного периода (иногда несколько десят- ков периодов), совершая колебания в такт с колебаниями ультразвукового поля.
4.2 Источники ультразвуковых колебаний и основы их расчета
Источник ультразвука включает в себя генератор колебаний и систему волноводов, передающих эти колебания к озвучиваемому объекту. Генераторы колебаний бывают механическими и электромеханическими.
К механическим генераторам относятся свисток и сирена. На рис.4.10
(см. с. 76) представлена схема ультразвукового свистка.
76
Ж и д к о с т ь и л и г а з d
П л а с т и н а
С о п л о
Рис.4.10. Схема ультразвукового свистка
Жидкость или газ с большой скоростью прокачивается через сопло. У вы- хода сопла установлена пластина с заостренным краем. Струя ударяется о край пластины и возникают колебания с частотой f: d
v f
=
, (4.59) где v — скорость жидкости, а d — расстояние от торца до края пластины.
Размеры пластины выбираются таким образом, чтобы она резонировала на частоте f. Мощность свистка зависит от давления и расхода прокачиваемой жидкости:
N
≈ 0,1Q, N ≈ 0,1ρ⋅Q, (4.60) где ρ — давление в камере, атм.; Q — расход, см
3
/с.
Свистки — маломощные устройства (до 100 Вт), позволяющие получать колебания на частотах до нескольких сотен килогерц.
На рис.4.11 приведена схема сирены.
На валу двигателя насажен ротор 1, представляющий собой диск, по периферии которого имеется большое количество от- верстий. В статоре 2 тоже имеются отвер- стия. В камере под давлением нагнетается воздух. При вращении ротора его отверстия то соединяются с отверстиями в статоре и воздух проходит, то отверстия перекрыва- ются и воздух не проходит. Возникают колебания, частота которых зависит от количества отверстий и скорости вращения ротора, а мощность – от давления воздуха в камере статора. Сирены позволяют получать колебания частотой до нескольких десятков килогерц и мощностью до 30 кВт.
К электромеханическим генераторам относятся пьезоэлектрические и магнитострикционные преобразователи.
Пьезоэффект был открыт в 1880 г. французскими физиками Кюри, кото- рые установили, что при растяжении или сжатии некоторых кристаллов на их поверхности появляются электрические заряды. Существует и обратный пьезо- эффект: если кристалл поместить в электрическое поле, возникает его дефор- мация. Приближенно сущность пьезоэффекта можно рассмотреть на кварце.
Формула кварца SiO
2
. Атомы кремния и кислорода расположены в шестигран- ных ячейках. Каждый атом кремния имеет 4 единичных положительных заряда, а каждый атом кислорода 2 отрицательных. На рис. 2.12 (см. с. 76) показана схема такой ячейки.
1 2
Рис.4.11. Ультразвуковая сирена