1. 
   Цель работы
   

Освоить программную реализацию имитационной модели нелинейной динамической системы.

2. 
   Исходные данные
   

Модель – система уравнений 5-ого порядка представлена на рисунке 1. Исходные данные – на рисунке 2.



Рисунок 1 - Модель нелинейной динамической системы



Рисунок 2 – Исходные данные

3. 
   Задачи работы
   

В соответствии с индивидуальным вариантом задания разработать и отладить программное приложение, обеспечивающее:

1. Решение системы дифференциальных уравнений на интервале [0; T] для T = 12 c с любым шагом, задаваемым пользователем в пределах (0; T). Для демонстрации результатов обеспечить вывод графиков x_i(t), i=1, 2, …, n; значения указанной в задании переменной состояния в конце интервала интегрирования x_k(T) и значения относительной погрешности его определения .

2. Анализ зависимости точности и трудоемкости решения задачи от шага интегрирования. Вывод графиков зависимостей относительной погрешности  и оценки трудоемкости от величины шага h.

3. Автоматический выбор величины шага интегрирования для достижения относительной погрешности не более 1% с выводом итоговых результатов, перечисленных в п. 1, для найденного шага.

4. 
   Теоретические сведения
   

Модель нелинейной динамической системы рассматривается в форме системы нелинейных нестационарных уравнений первого порядка представленной на рисунке 3.



Рисунок 3 – Система нелинейных нестационарных уравнений в общем виде

При заданных начальных значениях переменных состояния x_i⁽⁰⁾=x_i(0), i=1, 2, …, n, путем интегрирования системы (1) могут быть определены законы их изменения во времени на любом требуемом интервале [0; T].

Системы нелинейных нестационарных уравнений, как правило, не поддаются аналитическому решению. Для их решения применяются приближенные (численные) методы. Спектр таких методов и реализующих их

---

программных средств достаточно широк, но для изучения принципов и особенностей их применения в рамках данной лабораторной работы достаточно ограничиться методом Рунге–Кутта 1-го порядка (также именуемого методом Эйлера или методом прямоугольников). При этом программная реализация метода должна быть выполнена самостоятельно.

Метод предусматривает решение уравнений в дискретном времени на основе преобразования модели (1) в рекуррентные соотношения (рисунок 4):



Рисунок 4 – Рекуррентные соотношения

Точность решения, получаемого приближенными численными методами, повышается с уменьшением шага интегрирования, но при этом очевидно возрастает вычислительная трудоемкость решения задачи – количество шагов вычислений J и требуемое машинное время, а возможно, и объем используемой памяти компьютера при необходимости сохранения всего получаемого решения. Для моделей высокого порядка необоснованное уменьшение шага h может приводить к чрезмерному или недопустимому завышению требуемых ресурсов ЭВМ. Поэтому при реализации таких моделей вопрос выбора шага интегрирования для каждой модели требует отдельного решения с учетом необходимой точности получения результата и располагаемых вычислительных ресурсов. Выбор и обоснование величины шага интегрирования обычно возлагают на лицо, проводящее моделирование. Известны два основных подхода к контролю точности решения систем дифференциальных уравнений путем пошагового численного интегрирования. Первый предусматривает контроль точности в процессе интегрирования с уточнением величины каждого шага (контроль погрешности на шаге), второй – использование постоянной величины шага для всего интервала интегрирования и оценку погрешности по значениям переменных состояния только на правой границе интервала интегрирования t=T. В случае недопустимой величины погрешности процесс интегрирования повторяется с уменьшением величины шага.

В рамках данной лабораторной работы предусматривается использование второго подхода с контролем точности по конечному значению одной из переменных состояния модели y=x_k(T), указанной в индивидуальном варианте задания.

---

Для оценки погрешности вычисления y с некоторым шагом h интегрирование повторяется с шагом h/2. Полученное с уменьшенным шагом значение y* принимается за эталонное. Тогда абсолютная погрешность вычисления y определяется как , относительная погрешность

(4)

Для автоматизации выбора шага интегрирования в рамках данной лабораторной работы предусматривается использование следующего алгоритма:

1. Задается исходное значение шага интегрирования h.

2. Проводится решение системы дифференциальных уравнений на интервале [0; T] с шагом h.

3. Решение повторяется с шагом h/2.

4. Проводится оценка погрешности по соотношению (4).

5. Если погрешность  не превышает допустимого значения, шаг h, считается достаточным для обеспечения требуемой точности.

В противном случае в качестве нового проверяемого значения шага h принимается h/2 и производится переход к п. 3.

Таким образом обеспечивается последовательное уменьшение шага интегрирования в 2^m (m=1, 2, …) раз до достижения требуемой точности решения.

5. 
   Ход выполнения работы
   

Разработанное решение представляет собой десктопной приложение на языке C# с применением технологии Windows Forms. Решение основной задачи представлено в файле Euler.cs (листинг 1), реализующем касс Euler. Связь с пользовательским интерфейсом описана в файле Forms1.cs (листинг 2).

Решение системы дифференциальных уравнений на интервале [0; 12] с шагом h=0.01 представлено на рисунках 5-9.



Рисунок 5 – Значения x1 при шаге h = 0.01



Рисунок 6 – Значения x2 при шаге h = 0.01


Рисунок 7 – Значения x3 при шаге h = 0.01



Рисунок 8 – Значения x4 при шаге h = 0.01



Рисунок 9 – Значения x5 при шаге h = 0.01

Анализ зависимости точности и трудоемкости решения задачи от шага интегрирования продемонстрирован на рисунках 10 и 11 соответственно.

---

Рисунок 10 – Зависимость точности от шага на диапазоне h от 0.01 до 1



Рисунок 11 – Зависимость трудоёмкости от шага на диапазоне h от 0.01 до 1

Решение системы дифференциальных уравнений на интервале [0; 12] с автоматическим выбором шага и начальным значением шага h=0.01 представлено на рисунках 12-16.



Рисунок 12 – Значения x1 при шаге h = 7,8125E-05



Рисунок 13 – Значения x2 при шаге h = 7,8125E-05



Рисунок 14 – Значения x3 при шаге h = 7,8125E-05



Рисунок 15 – Значения x4 при шаге h = 7,8125E-05



Рисунок 16 – Значения x5 при шаге h = 7,8125E-05

Листинг__1_–_Ф_айл__Euler.cs'>Листинг 1 – Файл Euler.cs

using System;

using System.Collections.Generic;
namespace Method_Euler

{

class Euler

{

double[] xLast = { 1, 1, 0, 0, 0 };
// Метод Эйлера

private double[] Eul(double[] xLast, double[] x, double h)

{

double[] res = new double[xLast.Length];

for (int i = 0; i < xLast.Length; i++)

{

res[i] = xLast[i] + x[i] * h;

}

return res;

}
// Решение систему дифференциальных уравнений с возвратом матрицы всех промежуточных решений

public Dictionary getResult(double h, int k = 1, int l = 8, int m = 1, int n = 8, int kt = 100, int b = 22000, int i1 = 20,int i2 = 2, int s = 100, int V = 500, int T = 12,double deltaMax = 0.5d, double deltaLast = 0.0d)

{

double[] xNext = new double[5];

double teta, x4;

Dictionary result = new Dictionary();
for (double t = 0; t < T; t += h)

{

result.Add(t, xLast); // Добавление нового значения в новый момент времени в словарь результатов

x4 = (Math.Abs(deltaLast) <= deltaMax) ? deltaLast : deltaMax * Math.Sign(deltaLast);

teta = (10000 - xLast[4]) / (b - V * t);

deltaLast = xLast[3];
xNext[0] = k * xLast[1] - k * xLast[0];

xNext[1] = xLast[2];

xNext[2] = l * xLast[0] - l * xLast[1] - m * xLast[2] + n * x4;

xNext[3] = -kt * x4 - i1 * xLast[1] - i2 * xLast[2] + s * (teta - xLast[1]);

xNext[4] = V * Math.Sin(xLast[0]);
xLast = Eul(xLast, xNext, h);

}

result.Add(T, xLast);
return result;

}
// Решение систему дифференциальных уравнений с возвратом конечного значения x5

public double getOnlyResult(double h, int k = 1, int l = 8, int m = 1, int n = 8, int kt = 100, int b = 22000, int i1 = 20, int i2 = 2, int s = 100, int V = 500, int T = 12, double deltaMax = 0.5d, double deltaLast = 0.0d)

{

double[] xNext = new double[5];

double teta, x4;
for (double t = 0; t < T; t += h)

{

x4 = (Math.Abs(deltaLast) <= deltaMax) ? deltaLast : deltaMax * Math.Sign(deltaLast);

teta = (10000 - xLast[4]) / (b - V * t);

deltaLast = xLast[3];
xNext[0] = k * xLast[1] - k * xLast[0];

xNext[1] = xLast[2];

xNext[2] = l * xLast[0] - l * xLast[1] - m * xLast[2] + n * x4;

xNext[3] = -kt * x4 - i1 * xLast[1] - i2 * xLast[2] + s * (teta - xLast[1]);

xNext[4] = V * Math.Sin(xLast[0]);
xLast = Eul(xLast, xNext, h);

}
return xLast[4];

}

}

}

Листинг 2 – Файл Form1.cs

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Windows.Forms;
namespace Method_Euler

{

public partial class Form1 : Form

{

double T = 12; // Рассматриваемый временной период

public Form1()

{

InitializeComponent();
}
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)

{

// Список объектов графиков

var charts = new List() { chart1, chart2, chart3, chart4, chart5 };

// Предварительная очистка холстов графиков

foreach (var chart in charts)

{

chart.Series[0].Points.Clear();

}
double h = double.Parse(textBox1.Text.Replace('.', ',')); // Шаг
Euler euler = new Euler();

Dictionary show = euler.getResult(h);
// Вывод графиков

foreach (var point in show)

{

for (int i = 0; i < charts.Count; i++)

{

charts[i].Series[0].Points.AddXY(point.Key, point.Value[i]);

}

}
var y1 = show[T][4];

var forError = euler.getResult(h / 2);

var y2 = forError[T][4];

var error = Math.Abs((y2 - y1) / y2) * 100; // Погрешность

label3.Text = y1.ToString();

label5.Text = error.ToString();

}
private void button2_Click(object sender, EventArgs e)

{

// Предварительная очистка холстов графиков

chart6.Series[0].Points.Clear();

chart7.Series[0].Points.Clear();
Euler euler = new Euler();
for (double h = 0.001; h <= 1; h *= 2)

{

var y1 = euler.getOnlyResult(h);

var y2 = euler.getOnlyResult(h / 2);

var error = Math.Abs((y2 - y1) / y2) * 100; // Погрешность
chart6.Series[0].Points.AddXY(h, error);

chart7.Series[0].Points.AddXY(h, T / h);

}
}
private void button3_Click(object sender, EventArgs e)

{

// Список объектов графиков

var charts = new List() { chart8, chart9, chart10, chart11, chart12 };
// Предварительная очистка холстов графиков

foreach (var chart in charts)

{

chart.Series[0].Points.Clear();

}
double h = double.Parse(textBox2.Text.Replace('.', ',')); // Начальный шаг
Euler euler = new Euler();

double error;
do

{

var y1 = euler.getOnlyResult(h);

var y2 = euler.getOnlyResult(h / 2);

error = Math.Abs((y2 - y1) / y2) * 100;

h /= 2;

} while (error > 1);
Dictionary show = euler.getResult(h);
// Вывод графиков

int counter = 0;

foreach (var point in show)

{

counter++;

if (counter % 50 != 0) // Вывод каждой 50-той точки для ускорения рендеринга графиков

{

continue;

}

for (int i = 0; i < charts.Count; i++)

{

charts[i].Series[0].Points.AddXY(point.Key, point.Value[i]);

}

}
label8.Text = show[T][4].ToString();

label10.Text = error.ToString();

label12.Text = h.ToString();

}

}

}

6. 
   Выводы
   

В ходе выполнения лабораторной работы была разработана программная имитационная модели нелинейной динамической системы.

---

Смотрите также файлы

• электротехническое и конструкционное материаловедение.docx

• Юридические науки.pdf

• Улицы хранят их имена Выпуск.docx

• 1. Гипотеза о новой парадигме управления а изменение взглядов на управление персоналом.docx

• Литература по менеджменту организаций, информация, собранная и проанализированная в процессе обсуждения с различными заинтересованными сторонами.pdf