Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать не справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.
Иначе говоря, в данном примере фактор Ф оказывает существенное влияния на случайную величину.
Проверим нулевую гипотезу H₀: равенство средних значений х.
Находим f_набл

Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 3 и 12 находим f_кр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.
f_кр(0.05; 3; 12) = 3.49
В связи с тем, что f_набл > f_кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов принимаем.

2. 
   ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ.
   

Расширенный дисперсионный анализ с одной выборкой для каждой группы данных.

При определении влияния независимую переменную нескольких факторов можно использовать многофакторный дисперсионный анализ. Главное преимущество этого метода в том, что он позволяет исследователю изучать взаимодействие факторов. Взаимодействия имеют место, когда эффекты одного фактора на зависимую переменную зависят от уровня других факторов.

Процедура многофакторного дисперсионного анализа аналогична процедуре однофакторного дисперсионного анализа. Статистики, соответствующие многофакторному дисперсионному анализу, также определяются аналогично определению статистик в однофакторном дисперсионном анализе.

Условия применения двухмерного дисперсионного анализа:

1. 
   Генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, должны быть нормально распределены.
   
2. 
   Выборки должны быть независимыми.
   
3. 
   Дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлекались выборки, должны быть равными.
   
4. 
   Группы должны иметь одинаковый объем выборки.
   

Пример. Дана информация о среднем потреблении топлива на 100 километров в литрах в зависимости от объёма двигателя и вида топлива.

		Бензин со свинцом
1001-1500 см³		9,3
1501-2000 см³		9,4
Более 2000 см³		12,6
Среднее		10,42
Бензин без свинца	Дизельное топливо		Среднее
8,9	6,5		8,23
9,1	7,1		8,53
9,8	8,0		10,13
9,27	7,2

---

Требуется проверить, зависит ли потребление топлива от объёма двигателя и вида топлива.

Решение. Для фактора A число классов градации a = 3, для фактора B число классов градации b = 3.

Вычисляем суммы квадратов отклонений:

,

,

,

.

Соответствующие дисперсии:

,

,

.

Фактическое отношение Фишера для фактора A  , критическое значение отношения Фишера:  . Так как фактическое отношение Фишера меньше критического, с вероятностью 95% принимаем гипотезу о том, что объём двигателя не влияет на потребление топлива. Однако, если мы выбираем уровень значимости α = 0,1, то фактическое значение отношения Фишера   и тогда с вероятностью 95% можем принять, что объём двигателя влияет на потребление топлива.

Фактическое отношение Фишера для фактора B  , критическое значение отношения Фишера:  . Так как фактическое отношение Фишера больше критического значения отношения Фишера, с вероятностью 95% принимаем, что вид топлива влияет на его потребление.

3. 
   МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
   

Задача многофакторного дисперсионного анализа возникает тогда, когда нужно определить влияние двух или большего количества условий на определенную случайную величину. Исследование предусматривает наличие одной зависимой случайной величины, измеренной в шкале разницы или отношений, и нескольких независимых величин, каждая из которых выражена в шкале наименований или в ранговой. Дисперсионный анализ данных является достаточно

---

развитым разделом математической статистики, который имеет массу вариантов. Концепция исследования общая как для однофакторного, так и для многофакторного. Сущность ее состоит в том, что общую дисперсию разбивают на составляющие, что соответствует определенной группировке данных. Каждой группировке данных соответствует своя модель. Здесь мы рассмотрим только основные положения, нужные для понимания и практического использования наиболее применяемых его вариантов.

Дисперсионный анализ факторов требует достаточно внимательного отношения к сбору и подаче входных даноных, а особенно к интерпретации результатов. В отличие от однофакторного, результаты которого можно условно разместить в определенной последовательности, результаты двухфакторного требуют более сложного представления. Еще сложнее ситуация возникает, когда есть три, четыре или больше обстоятельств. Из-за этого в модель достаточно редко включают больше трех (четырех) условий. Примером может быть возникновение резонанса при определенной величине емкости и индуктивности электрического круга; проявление химической реакции при определенной совокупности элементов, из которых построена система; возникновение аномальных эффектов в сложных системах при определенном совпадении обстоятельств. Наличие взаимодействия может в корне изменить модель системы и иногда привести к переосмыслению природы явлений, с которыми имеет дело экспериментатор.

Пример. модель трехфакторного дисперсионного анализа. Пусть на случайную величину X воздействует факторы A, B, C, имеющие a, b и c уровней соответственно. Обозначим через y_ijkt результат t-го измерения, проведенного на уровне i фактора A, уровне j фактора B и уровне k фактора C. Модель будет иметь следующий вид :

Y_ijkt = µ + α_i + β_j + γ_k + (αβ)_ij + (αγ)_ik + (βγ)_jk + (αβγ)_ijk + ε_ijkt

где:

µ - глобальное среднее значение признака y;

µ_ijk - среднее значение наблюдений на пересечении уровней i, j и k факторов A, B и C соответственно;

α_i = µ_i.. − µ - эффект уровня i фактора A, где µ_i.. - среднее значение признака y на i-м уровне фактора A;

β_j и γ_k - эффекты уровня j фактора B и уровня k фактора C соответственно;

---

(αβ)_ij = µ_ij.−(µ+α_i+β_j ) - эффект взаимодействия для комбинации уровня

i фактора A и уровня j фактора B, где µ_ij. - среднее значение признака y на пересечении i-го уровня фактора A и j-го уровня фактора B;

Аналогично определяются (βγ)_jk и (αγ)_ik;

(αβγ)_ijk = µ_ijk − (µ + (αβ)_ij + (βγ)_jk + (αγ)_ik + α_i + β_j + γ_k) - эффект взаимодействия для комбинации уровня i фактора A, уровня j фактора B и уровня k фактора C;

εijkt - случайная ошибка t-го измерения на пересечении уровней i, j и k факторов A, B и C соответственно;

Нулевые гипотезы можно записать следующим образом:

H_0A : α_i = 0, ∀_i

H_0B : β_j = 0, ∀_j

H_0C : γ_k = 0, ∀_k

Каждая из сформулированных гипотез эквивалента гипотезе о равенстве средних уровней фактора, сформулированной в предыдущем параграфе. Так как на зависимую переменную действует больше, чем один фактор, добавляются нулевые гипотезы о наличие эффекта взаимодействия факторов:

H_0AB : (αβ)_ij = 0, ∀_{i, j}

H_0BC : (βγ)_jk = 0, ∀_{j, k}

H_0AC : (αγ)_ik = 0, ∀_i, _k

H_0ABC : (αβγ)_ijk = 0, ∀_{i ,j, k}

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Тихонов, В.А. Научные исследования. Концептуальные, теоретические и практические аспекты [Текст]/ В. А. Тихонов, В. А. Ворона. – М.: Горячая Линия - Телеком, 2009. – 296 с.
   
2. 
   Анисимов, Г. М. Основы научных исследований лесных машин [Текст]/ Г. М. Анисимов, А. М. Кочнев. – М.: Лань, 2010. – 528 с.; 1000 экз.
   
3. 
   Тихомиров, Ю. А. Эффективность законодательства в экономической сфере. Научно-практическое исследование [Текст]/  Ю. А. Тихомиров. – М.: Лань, 2010. – 384 с.
   
4. 
   Пахомов, Ю. А. Основы научных исследований и испытаний тепловых двигателей [Текст]/ Ю. А. Пахомов – М.: ТрансЛит, 2009. – 432 с.
   
5. 
   Поппер Карл Логика научного исследования [Текст]/ Карл Поппер. – М.: АСТ, Астрел, 2010. – 576 с.
   
6. 
   Новиков, А. М. Методология научного исследования [Текст]/ В. А. А. М. Новиков, Д. А. Новиков – М.: Либроком, 2010. – 282 с.
   
7. 
   Шкляр, М. Ф. Основы научных исследований [Текст]/ Шкляр М. Ф. – М.: Дашков и Ко, 2009. – 244 с.
   

8. http://meu.usue.ru/lessons/chapter6.html

9. https://function-x.ru/statistics_dispersion_analysis.html

10. Шеффе Г. Дисперсионный анализ М.: Наука, 1980

11. Крамер Г. Математические методы статистики, М.: Мир, 1975

---

Смотрите также файлы

• Взаимодействие цветов и эмоций.docx

• МЖиг мт212 Кумвенда Кумбукани.docx

• Контрольные вопросы для самостоятельной подготовки по теме семинарского занятия 2 Послевоенный мир в условиях холодной войны (1946 1964 гг.).docx

• Докладов по теме Основы конституционного права рф.docx

• Теория культуры учебное пособие пенза ииц пгу 2012 3 содержание предисловие тема введение в культурологию.pdf