Файл: Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего порядка.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.11.2023
Просмотров: 30
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
-для любого, для каждого -для любого, для каждого -для любого, для каждого
-векторное умножение, -скалярное умножение -векторное умножение, -скалярное умножение -векторное умножение, -скалярное умножение
1. Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего порядка.
Определитель- число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го порядка А=(а11) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса. Правило Сарруса: определитель 3-го порядка (3) равен алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «-».
2. Свойства определителей.
1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: А = А’ . 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то этой матрицы может быть представлен в виде суммы 2-х определителей.
3. Минор.
Минором Мijквадратной матрицы n-го порядка для элемента аij называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и j-ого столбца.
4. Алгебраическое дополнение.
Алгебраическим дополнением Аij для элемента квадратной матрицы аij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j .
5. Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя n-ого порядка.
Определителем квадратной матрицы n-ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1)r(j), где r(j)-число инверсий). Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.
6. Матрицы. Основные определения.
Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Вектор-столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n-ого порядка. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей.
7. Операции над матрицами.
1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число называется матрица В, равная А, каждый элемент которой находится по формуле: bij = x aij. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле Сij=aij+bij. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы
, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы Аm называется произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет; транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.
8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы): обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная. Матрица называется вырожденной, если её определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная. Алгоритм: 1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А (на месте каждого эл-та Ат его алгебраич.доп-я). 5) А-1= 1/А . 6) ПроверкаА-1 А=Е.
9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы rang A=r(A). Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований. Преобразования: 1)отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0; 5) транспонирование матрицы.
10.
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Матричная форма записи.
Линейным ур-ем относительно неизвестных x1,x2,…,xn называется выражение вида a1x1+a2x2+…+anxn=b, где a1,a2,…,an и b- простые числа, причём a1,a1,…,an называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным коэффициентом. Последовательность чисел k1,k2,…,kn называется решением ур-я, если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное равенство. Два линейных ур-я называются равносильными, если их решения совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число, отличное от ноля. Решить линейное ур-е –это значит найти все его решения или установить, что их нет. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий называется определённой, если она имеет одно единственное решение, и неопределённой, если решений множество. Неизвестное x1называется разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я системы неизвестное x1 не входит. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестные СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными. Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше, чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Матрица, эл-тами которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей системы. Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов, называется расширенной матрицей.
11. Правило Крамера.
Правило Крамера: пусть А-определитель матрицы системы, а j-определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца на столбец свободных коэффициентов; тогда, если А0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле Xj=
j/ A.
12. Теорема Кронекера-Капелли.
Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
13. Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса.
Метод Гаусса: каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую противоречивое ур-е. Противоречивым называется ур-е вида OX1+OX2+...+OXn=b. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестное x1 называют разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все другие ур-я системы неизвестное x1 не входит.
14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.
Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Алгоритм: 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти обратную матрицу для матрицы системы (А-1); 3) Умножить А-1 на матрицу свободных коэффициентов (В) X=A-1B.
15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.
Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A n. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с