Файл: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо "Воронежский государственный технический университет ".doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.11.2023
Просмотров: 254
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
= hc/ =m0c2,
то
λ=h /m0 c , P= h / = m0 c.
В соответствии с формулой Комптона для данного случая
’ - = k (1 – cos180) = 2k ,
откуда длина волны рассеянного фотона равна
’= 2k + = 2h/ (m0 c) + h/ (m0 c) = 3h /(m0 c).
Величина его импульса
P’= h/ ’ = m0 c/ 3.
Для нахождения импульса электрона отдачи построим векторную диаграмму импульсов.
По закону сохранения импульса , или P = -P’ + mυ
Из полученного уравнения найдем
mυ= P + P’ = 4/3m0c.
Подставив числовые значения, получим
mυ= 3,6410-22 кг м/с.
Пример 7. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Фе= 0,6 Вт. Определить:
1) силу давления Fе, испытываемую этой поверхностью;
2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.
Решение
-
Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления p на площадь S поверхности:
F = p·S. (1)
Световое давление может быть найдено по формуле
р = Е0(ρ + 1)/ c, (2)
где, Е0 – энергетическая освещённость; с – скорость света в вакууме; ρ - коэффициент отражения.
Подставляя правую часть уравнения (2) в формулу (1), получаем
F = Е0 S(ρ + 1)/ c. (3)
Так как Е0 S представляет собой поток излучения Фе, то
F = Фе (ρ + 1)/ c. (4)
Проведём вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности ρ=1:
.
-
Произведение энергии ε одного фотона на число фотонов n1, ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т.е.потоку излучения: Фе= εn1, а так как ε = hс/λ, то
Фе = hс n1 / λ,
откуда
n1= Фе λ / hс . (5)
Произведя вычисления, получим
n1=2·1018 с-1.
7. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И
ФИЗИКИ АТОМА
7.1. Корпускулярно-волновой дуализм.
Формула де Бройля
В явлениях интерференции, дифракции, поляризации, дисперсии и других, свет проявляет волновые свойства, т.е. это электромагнитная волна с = с/ и = 2.
В явлениях теплового излучения, фотоэффекте, эффекте Комптона свет представляет поток фотонов с E = h и p = E /c = h/.
Таким образом, свет может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства, т.е. имеет двойственную природу (корпускулярно - волновой дуализм). В 1924 г. Французский физик Луи де Бройль предположил, что двойственная природа свойственна любым движущимся частицам, а не только фотонам. Частице с энергией Е и импульсом p соответствует волна с длиной волны и частотой , определяемых выражениями
= h/p; = E/h. (7.1)
Эти формулы называются соотношениями де Бройля. Волны де Бройля имеют вероятностное, статистическое толкование и не имеют аналогов в классической физике. В 1927 г. гипотеза получила экспериментальное подтверждение – К. Дэвидсон и Л. Джермер наблюдали дифракцию электро- нов на пластинахNi. В дальнейшем волновые свойства были обнаружены у протонов, нейтронов и других микрочастиц. Опытами Фабриканта и других было показано, что волновые свойства характерны не только для ансамбля частиц, но и для отдельной частицы.
Таким образом, корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц - объективная реальность.
7.2. Соотношение неопределенностей
Состояние классической частицы полностью определяется ее координатами и импульсом. Зная начальное положение частицы и действующие силы, можно записать и решить уравнение движения (2-ой закон Ньютона) и тем самым определить координаты и импульс частицы для любого момента времени.
Для микрочастицы, вследствие наличия у нее волновых свойств, ситуация другая.
Пусть частица движется вдоль оси Х. Если точно определена координата частицы, то ничего нельзя сказать о ее импульсе, т.к. в соответствии с формулой де Бройля он определяет длину соответствующей волны, но понятие длины волны в данной точке не имеет смысла. Если же точно задан импульс частицы
, то получаем монохроматическую волну, имеющую бесконечную протяженность, т.е. не определена координата частицы. Таким образом, координата и импульс частицы не могут быть одновременно определены точно, всегда будет погрешность. Можно показать, что это справедливо не только для координат и соответствующего импульса, но и для энергии и времени. Степень точности задается соотношениями неопределенности (соотношениями Гейзенберга):
x. pxh,
y . py h, (7.2)
z . pz h,
t . E h.
В силу малой величины h эти соотношения существенны только в микромире и не проявляются в опытах с макроскопическими телами.
Из этих соотношений следует несколько выводов:
-
микрочастица не может находиться в покое; -
нельзя разделять полную энергию микрочастицы на кинетическую и потенциальную; -
принципиально невозможно точно определить одновременно координату и импульс частицы.
7.3. Уравнение Шредингера
Наличие волновых свойств у микрочастиц не позволяет описывать их с помощью классического уравнения динамики, дающего возможность по заданным силам и начальным условиям найти для любого момента времени координаты частицы и её скорость (импульс). Возникла необходимость получения основного уравнения квантовой механики, которое позволило бы решить аналогичные задачи, но с учётом волновых свойств частиц. Такое уравнение было получено в 1929г. Шредингером. Оно как и уравнения Ньютона, не выводится, а постулируется как основной закон природы. Единственным доказательством его справедливости может быть лишь экспериментальная проверка выводимых из него следствий. Такую проверку уравнение Шредингера выдержало.
В нерелятивистской квантовой механике уравнение имеет вид:
, (7.3)
где , m – масса частицы, U(x,y,z,t) – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется, - дифференциальный оператор Лапласа, (x,y,z,t) – волновая функция частицы.
Это уравнение является волновым уравнением, решение которого позволяет найти волновую функцию (пси-функцию), однозначно описывающую состояние микро- частицы в любых условиях. Физический смысл имеет не сама волновая функция
, а квадрат ее модуля, определяющий плотность вероятности пребывания частицы в данной точке пространства
(7.4)
где *- величина, комплексно сопряженная с , а dp/dV – плотность вероятности (вероятность, отнесенная к единице объема) пребывания частицы в данной точке пространства. Вероятность нахождения частицы в объеме V определяется формулой
. (7.5)
Связь волновой функции и вероятности приводит к следующим ограничениям на волновую функцию: она должна быть непрерывной, конечной, однозначной, иметь непрерыв- ные производные, удовлетворять условию нормировки
, (7.6)
(наличие частицы в какой либо точке бесконечного пространства - достоверное событие, его вероятность равна 1).
Если потенциальная энергия U(x,y,z) не зависит от времени, то в уравнении волны волновую функцию можно разделить на временную и пространственную части и представить его в виде
, (7.7)
где E – полная энергия частицы, = E/ ħ. Подставляя эту формулу в общее уравнение, для пространственной части волновой функции получаем:
. (7.8)
Это уравнение называется стационарным уравнением Шредингера или уравнением для стационарных состояний, т.к. плотность вероятности не зависит от времени. Функции , удовлетворяющие уравнению, называются собственными функциями, а значения Е, при которых существуют решения – собственными значениями энергии.
Рассмотрим несколько примеров решения этого уравнения.
7.4. Движение свободной частицы
При движении свободной частицы (U = 0) ее полная энергия совпадает с кинетической. Для частицы, движущейся вдоль оси Х, стационарное уравнение Шредингера принимает вид
(7.9)
Решением его является функция
, (7.10)
где k =(1/ħ) = Px/ ħ, Px – импульс частицы,A =const. Тогда полную волновую функцию можно записать в виде
, (7.11)
что представляет собой плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся вдоль оси Х. Учитывая, что k =2/, для длины волны получаем =h/P, что совпадает с формулой де Бройля. Таким образом, решение уравнения Шредингера для свободной частицы представляет собой волну де Бройля. Волны де Бройля по физическому смыслу совпадают с волновой функцией и имеют статистическую интерпретацию: их интенсивность пропорциональна плотности вероятности обнаружения частицы.
Энергия свободной частицы E = ħ2k2/(2m) может принимать любые значения, т.е. энергетический спектр её является непрерывным. Вероятность обнаружения частицы не
зависит от времени и одинакова в любой точке пространства .
7.5. Частица в потенциальной яме
Рассмотрим движение микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме длиной lс бесконечно высокими стенками (рис.7.1). Тогда для потенциальной энергии имеем:U = 0 при 0 x l и U = ∞ при x < 0 и x > l. Внутри ямы уравнение Шредингера имеет вид
,
или , (7.12)
где k2 = 2mE/ ħ2.
Решение уравнения записы- вается в виде
Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx), (7.13)
где A и B – постоянные, которые определяются из граничных условий.
Вероятность нахождения частицы вне ямы равна нулю, следовательно, волновая функция вне ямы и на ее границах (в силу непрерывности) также равна 0:
Ψ(0)=Ψ(l)=0.
Из первого условия Ψ(0)= Bполучаем B= 0, из второго
Ψ(l)= Asin(kl)= 0
следует, что kl = n или k = n / l, где n = 1, 2, 3 … (n = 0 соответствуетΨ = 0, т.е. отсутствию частицы в яме).
Тогда для собственных значений энергии получаем выражение
, (n = 1, 2, 3 …). (7.14)
Таким образом, энергия и импульс частицы в потенциальной яме могут принимать лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуются (рис.7.1). Минимальное значение энергии равно E = 2ħ2/(2ml2), т.е. частица в яме не может покоиться, что находится в соответствии с соотношениями неопределенности.
Интервал энергии между соседними уровнями составляет
.
Рассмотрим несколько примеров. Для молекул идеального газа (m = 10-26кг, l = 0,1м) En = 10-20nэВ, для свободных электронов в металле (m10-30кг, l=0,1м) En=10 -16nэВ, т.е. в этих случаях можно считать, что энергия меняется непрерывно. Для электрона в атоме (m10-30кг, l=10-10м) En=102nэВ. Следовательно, здесь квантование существенно и можно говорить лишь о дискретном спектре энергии.
Относительное расстояние между уровнями En/En 2/n уменьшается с увеличением квантового числа n, уровни располагаются ближе и спектр энергии становится квазинепрерывным.
В этом выражается принцип соответствия Бора: при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.
Для определения постоянной A в волновой функции используем условие нормировки:
,
откуда .
Таким образом, собственные функции выражаются формулой
, n = 1, 2, 3… (7.15)
Графики собственных функций и соответствующие плотности вероятности приведены на рис.7.2.
Из рисунка видно, что в разных квантовых состояниях есть точки, в которых плотность вероятности обнаружения частицы равна нулю. Такое поведение частицы несовместимо с классическими представлениями о траектории движения и равновероятности всех положений частицы.
a) в)
Рис.7.2
Из формулы 7.15 и рис. 7.2 следует, что существуют лишь такие состояния частицы в потенциальной яме, при которых на ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. Здесь можно провести аналогию с механическими волнами. Для колеблющейся струны или закрытого акустического резонатора возникающие стоячие волны удовлетворяют такому же условию, все остальные волны существовать не могут, они затухают.
7.6. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер
Пусть микрочастица движется вдоль оси X на которой находится прямоугольной формы потенциальный барьер шириной l и высотой U (рис.7.3).
При данных условиях классическая частица либо беспрепятственно пройдёт над барьером при Е>U, либо отразится от него при E<U, и будет двигаться в противоположную сторону.
Для микрочастицы даже при энергии El, т.е. проникнет сквозь барьер. Это явление получило название туннельного эффекта.
Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих.
, (7.16)
где А1 и А3 амплитуды падающей и прошедшей волн де Бройля.
Для прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности определяется из выражения
, (7.17)
где D0 – постоянный множитель, который можно принять равным единице.
Коэффициент прозрачности D сильно зависит от массы частицы m, ширины барьера l и от ; чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него барьера.
Туннельный эффект - это специфическое квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике. С классической точки зрения частица, находящаяся внутри потенциального барьера при Е < U, должна иметь отрицательную кинетическую энергию. С точки зрения квантовой механики деление энергии на кинетическую и потенциальную бессмысленно, поэтому ничего парадоксального в этом нет.
Туннельный эффект объясняет многие физические явления, такие, как холодная эмиссия электронов из металлов, альфа – распад, спонтанное деление ядер и другие.
7.7. Атом водорода в квантовой механике
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром атома водорода определяется выражением
(7.18)
где r – расстояние между электроном и ядром, e – элементарный заряд.
Графически функция U(r) изображается кривой, представляющей собой гиперболическую потенциальную яму (рис.7.4).
Рассмотрим основные результаты, вытекающие из реше- ния уравнения Шредингера для электрона в атоме водорода.
1. Энергия электрона принимает ряд дискретных значе- ний, т.е. квантуется
(7.19)
где n = 1, 2, 3… - главное квантовое число.
Самый нижний энергети- ческий уровень электрона в атоме водорода называется основным, все остальные – возбужденными (рис.7.4). При этом каждому En (кроме E1) соответствует несколько волно- вых функций, отличающихся величиной и ориентацией момента импульса электрона. Различные состояния с одинако- вой энергией называются вырожденными, а их число – кратностью вырождения.
2. Момент импульса (орбитальный механический момент) электрона и его проекция на направление внешнего магнитного поля квантуется по законам
L = ħ , (7.20)
Lz = ħ m, (7.21)
где l = 0, 1, 2,…,(n-1) – орбитальное квантовое число; m = 0, 1, 2, …, l – магнитное квантовое число.
При данном значении главного квантового числа n орбитальное квантовое число l принимает n значений, а при данном l магнитное квантовое число m принимает (2l+1) значение.
Квантование проекции вектора L, получившее назва- ние пространственного квантования, обусловлено дискрет- ностью ориентации момента импульса во внешнем поле. Графически оно представляется в виде векторных диаграмм (рис.7.5).
Рис.7.5
Дополнительно к этому, было установлено, что электрон, помимо орбитального, обладает и собственным механическим моментом импульса, получившим название – спин. Значение спина электрона равно
ħ, (7.22)
а его проекция на направление внешнего поля квантуется
Lsz = ħ ms, (7.23)
где ms = 1/2 – спиновое квантовое число.
Наряду с механическими орбитальным и спиновым моментами импульса электрон обладает магнитными орбитальным и спиновым моментами. Величина орбитального магнитного момента и его проекция на направление внешнего
магнитного поля квантуется по тем же законам, что и орбитальный механический момент
pm = gL = B, (7.24)
pm = - Bm, (7.25)
где g = e/2m – гиромагнитное отношение, B = е ħ/2m – магнетон Бора.
Собственный магнитный момент электрона ориентиру- ется по полю или против поля, при этом
pmsz = B . (7.26)
Следовательно, магнетон Бора является как бы естественной единицей магнитного момента электрона.
Состояния электрона в атоме принято обозначать следующим образом:
l = 0 s– состояние,
l = 1 p– состояние,
l = 2 d– состояние,
l = 3 f– состояние.
Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением числа l. Например, электрон в состоя- нии с n = 2 и l = 1 обозначается 2 p, с n = 3 и l = 0 – 3 s и т.д.
В квантовой механике нельзя говорить о траектории движения электрона в атоме. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. При этом, боровские стационарные орбиты представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.
7.8. Спектр атома водорода
Спектр атома водорода является линейчатым. Спектральные линии объединяются в отдельные серии. Линию c наибольшей длиной волны среди других линий этой серии называют головной линией, а линию, около которой сгущаются другие линии серии, называют коротковолновой границей.
Все серии атома водорода можно описать обобщенной формулой Бальмера
(7.27)
где R = 1.09 .107 м-1 – постоянная Ридберга, m имеет постоян- ное для каждой серии значение (m = 1, 2, 3…), а n принимает ряд целых значений, начинающихся с (m +1).
В ультрафиолетовой части спектра находится серия Лаймана (m = 1), в видимой – серия Бальмера (m = 2), в инфракрасной области спектра лежат серии Пашена (m = 3), Брекета (m = 4), Пфунда (m= 5). Спектральные закономер- ности атома водорода получают простое объяснение на основе энергетической схемы (рис.7.6).
Рис.7.6
Испускание и поглощение света происходит при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой. При этом возможны только такие переходы, при которых изменения орбитального и магнитного квантовых чисел удовлетворяют условиям
l = 1, (7.28)
m = 0, 1. (7.29)
Эти условия получили название правил отбора.
7.9. Многоэлектронные атомы. Рентгеновские спектры
Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:
главным – n = 1, 2, 3…,
орбитальным – l = 0, 1, 2,…, n-1,
магнитным – m = 0, 1, 2,…, l,
спиновым – ms = 1/2.
Распределение электронов в многоэлектронном атоме по состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в любом атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел, т.е.
z(n,l,m,ms) = 0 или 1.
Пользуясь принципом Паули можно легко найти максимальное число электронов в атоме с заданным значением квантовых чисел по формулам
z(n,l,m) = 2, (7.30)
z(n,l) = 2(2l + 1), (7.31)
z(n) = 2 n2. (7.32)
Совокупность электронов в атоме, имеющих одно и то же квантовое число n, образует электронную оболочку. В каждой оболочке электроны подразделяются по под- оболочкам, соответствующим заданному значению l. Если все состояния в электронной подоболочке заняты, то она называется замкнутой. Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлено в таблице.
Номер оболочки
n
Число электронов в подоболочке
Количество электронов
в оболочке
s
l=0
p
l =1
d
l=2
f
l=3
g
l =4
1
2
-
-
-
-
2
2
2
6
-
-
-
8
3
2
6
10
-
-
18
4
2
6
10
14
-
32
5
2
6
10
14
18
50
В исследовании свойств электронных оболочек атомов большую роль сыграло рентгеновское излучение. Для получения рентгеновского излучения используют рентгенов- ские трубки, в которых ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют антикатод (рис.7.7).
Рентгеновское излучение представляет собой электро- магнитные волны с длиной = (10-12 10-8) м.
Существует два типа рентгеновского излучения. При энергиях электронов, не превышающих некоторой критиче- ской величины, зависящей от материала антикатода, возникает излучение со сплошным спектром (рис.7.8), характеризую- щимся коротковолновой границей min. С увеличением
ускоряющего напряжения между катодом и антикатодом, интенсивность излучения возрастает, а длина min уменьшается.
Сплошной спектр обусловлен торможением быстрых электронов в материале антикатода и рентгеновское излучение называется тормозным. В соответствии с классической электродинамикой при торможении электронов должны возникать волны всех длин. Наличие коротковолновой границы спектра можно объяснить лишь на основе квантовых представлений. Очевидно, что максимальная энергия рентгеновского кванта, возникшего за счет энергии электрона, не может превышать этой энергии. Отсюда
hmax = eU
min = c/max = ch/eU, (7.33)
где U – ускоряющая разность потенциалов.
Вторым типом рентгеновского излучения является характеристическое излучение. Оно возбуждается при достаточно большой скорости электронов и имеет линейчатый спектр, характеризующий вещество антикатода рис.7.9. Атомы каждого элемента, независимо от того, в каких химических соединениях они находятся, обладают своим, вполне определенным линейчатым спектром. Как и оптические спектры, рентгеновские линейчатые спектры состоят из линий, объединенных в серии. У разных элементов наблюдаются однотипные серии линий.
Тот факт, что характеристические спектры не изменяются при химических реакциях атомов, указывает на то, что их возникновение связано с процессами, происходящими во внутренних электронных оболочках. Механизм возникнове-
ния рентгеновских серий схематически показан на рис.7.10.
При выбивании электрона, например с К-оболочки, на его место может перейти электрон с L-, M-, N-оболочки. Такие переходы приводят к возникновению К-серии. Частоты линий возрастают в ряду К К К , тогда как их интенсивность убывает. Аналогично возникают и другие серии.
Рис.7.9 Рис.7.10
При исследовании зависимости частоты ν характеристи- ческого излучения от атомного номера Zэлемента антикатода, Мозли установил следующий закон
, (7.34)
где - постоянная экранирования, с – константа, имеющая свои значения для каждой линии.
Данное соотношение можно представить в виде, напоминающем обобщенную формулу Бальмера
где R’= Rc = 3.29 .1015 с-1 – постоянная Ридберга, m = 1, 2, 3… определяет уровень, на который переходит электрон, n принимает целочисленные значения от (m +1) и определяет уровень, с которого переходит электрон. Постоянная экранирования для К - серии - = 1, для L- серии - = 7,5.
7.10. Понятие о квантовых генераторах.
С точки зрения квантовой механики основное, не возбужденное состояние атома должно сохраняться как угодно долго, если нет внешних причин, вызывающих изменение энергии атома. Под действием внешнего излучения атом осуществляет переход в возбужденное состояние, что приводит к поглощению излучения (рис. 7.11,а). Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии по экспериментальным оценкам составляет
10-8с. Из этого состояния он сам собой переходит в основное состояние, излучая свет с частотой (рис.7.11,6). Такое излучение, называется самопроизвольным или спонтанным. Поскольку спонтанные переходы атомов взаимно не связаны, то такое излучение является некогерентным. Помимо процес- сов поглощения и спонтанного излучения существует еще один процесс, получивший название индуцированного излучения.
Р
ис.7.11.
Е сли на атом, находящийся в возбужденном состоянии Е2, действует внешнее излучение с частотой ω, удовлетворя- ющее условию =E2-E1, то существует вероятность перехода атома в основное состояние, с излучением фотона той же энергии (рис.7.11,в). Важно отметить, что вторичный фотон, испущенный атомом, тождественен первичному. Он имеет такую же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, как и первичный. Таким образом, индуциро- ванное излучение строго когерентно с вынуждающим излуче- нием. Фотоны, появившиеся в результате индуцированного излучения, будут усиливать свет, проходящий через среду.
При прохождении излучения через вещество акты вынужденного испускания фотонов будут преобладать над актами поглощения, если число атомов в возбуждённом состоянии больше, чем в основном ( ). Такие состояния называют инверсными (обращёнными), а среды в которых за счёт вынужденных переходов происходит усиление света,- активными. Перевод среды в инверсное состояние называют накачкой. Способы достижения и поддержания инверсии в активной среде зависят от её структуры. В твёрдых телах и жидкостях используется главным образом оптическая накачка, в газовых средах используется более эффективные методы: электрический разряд, газодинамическое истечение, химиче- ские реакции и другие, обеспечивающие высокие мощности. Возбуждение полупроводниковых сред может производится постоянным током, пучком электронов, оптической накачкой.
Первый квантовый генератор был разработан в 1954 г. советскими физиками А.М. Прохоровым, Н.Г. Басовым и американским физиком Таунсом.
В настоящее время широкое распространение получили газовые и полупроводниковые лазеры, лазеры на сложных органических соединениях, ионные лазеры и др.
Основными компонентами любого лазера являются:
1) активная среда, в которой осуществляются вынужден- ные переходы;
2) система накачки, обеспечивающая инверсную населен- ность;
3) оптический резонатор, формирующий лазерный луч.
В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух вогнутых параллельных зеркал (1,2), расположенных на общей оптической оси с активной средой (рис.7.12). Одно из зеркал (1) полупрозрачно. Любой фотон возникший в активной среде за счёт спонтанного испускания атомов среды является ”затравкой” процесса генерации света. Фотон, который движется параллельно оси резонатора, рождает лавину фотонов, летящих в том же направлении (рис.7.12а). Часть этой лавины частично пройдёт через полупрозрачное зеркало, а часть отразится и будет нарастать в активной среде (рис.7.12.б). Те из фотонов, которые движутся вдоль оси, испытывают многократное отражение, в результате чего поток фотонов, параллельный оси резонатора, будет лавинообразно нарастать. Когда лазерный луч становится достаточно интенсивным, часть его выходит через полупрозрачное зеркало (рис.7.12.в).
2 3 1
а)
б)
в)
Рис.7.12.
Таким образом, с помощью зеркал в оптическом квантовом генераторе реализуется положительная обратная связь, необходимая для того, чтобы был обеспечен режим генерации, и формируется лазерное излучение с высокими когерентными свойствами.
Основные свойства лазерного излучения:
- временная и пространственная когерентность (lк
10-5 м);
- строгая монохроматичность (Δλ<10-11 м);
- большая мощность излучения (
10
7.4. Движение свободной частицы
При движении свободной частицы (U = 0) ее полная энергия совпадает с кинетической. Для частицы, движущейся вдоль оси Х, стационарное уравнение Шредингера принимает вид
(7.9)
Решением его является функция
, (7.10)
где k =(1/ħ) = Px/ ħ, Px – импульс частицы,A =const. Тогда полную волновую функцию можно записать в виде
, (7.11)
что представляет собой плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся вдоль оси Х. Учитывая, что k =2/, для длины волны получаем =h/P, что совпадает с формулой де Бройля. Таким образом, решение уравнения Шредингера для свободной частицы представляет собой волну де Бройля. Волны де Бройля по физическому смыслу совпадают с волновой функцией и имеют статистическую интерпретацию: их интенсивность пропорциональна плотности вероятности обнаружения частицы.
Энергия свободной частицы E = ħ2k2/(2m) может принимать любые значения, т.е. энергетический спектр её является непрерывным. Вероятность обнаружения частицы не
зависит от времени и одинакова в любой точке пространства .
7.5. Частица в потенциальной яме
Рассмотрим движение микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме длиной lс бесконечно высокими стенками (рис.7.1). Тогда для потенциальной энергии имеем:U = 0 при 0 x l и U = ∞ при x < 0 и x > l. Внутри ямы уравнение Шредингера имеет вид
,
или , (7.12)
где k2 = 2mE/ ħ2.
Решение уравнения записы- вается в виде
Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx), (7.13)
где A и B – постоянные, которые определяются из граничных условий.
Вероятность нахождения частицы вне ямы равна нулю, следовательно, волновая функция вне ямы и на ее границах (в силу непрерывности) также равна 0:
Ψ(0)=Ψ(l)=0.
Из первого условия Ψ(0)= Bполучаем B= 0, из второго
Ψ(l)= Asin(kl)= 0
следует, что kl = n или k = n / l, где n = 1, 2, 3 … (n = 0 соответствуетΨ = 0, т.е. отсутствию частицы в яме).
Тогда для собственных значений энергии получаем выражение
, (n = 1, 2, 3 …). (7.14)
Таким образом, энергия и импульс частицы в потенциальной яме могут принимать лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуются (рис.7.1). Минимальное значение энергии равно E = 2ħ2/(2ml2), т.е. частица в яме не может покоиться, что находится в соответствии с соотношениями неопределенности.
Интервал энергии между соседними уровнями составляет
.
Рассмотрим несколько примеров. Для молекул идеального газа (m = 10-26кг, l = 0,1м) En = 10-20nэВ, для свободных электронов в металле (m10-30кг, l=0,1м) En=10 -16nэВ, т.е. в этих случаях можно считать, что энергия меняется непрерывно. Для электрона в атоме (m10-30кг, l=10-10м) En=102nэВ. Следовательно, здесь квантование существенно и можно говорить лишь о дискретном спектре энергии.
Относительное расстояние между уровнями En/En 2/n уменьшается с увеличением квантового числа n, уровни располагаются ближе и спектр энергии становится квазинепрерывным.
В этом выражается принцип соответствия Бора: при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.
Для определения постоянной A в волновой функции используем условие нормировки:
,
откуда .
Таким образом, собственные функции выражаются формулой
, n = 1, 2, 3… (7.15)
Графики собственных функций и соответствующие плотности вероятности приведены на рис.7.2.
Из рисунка видно, что в разных квантовых состояниях есть точки, в которых плотность вероятности обнаружения частицы равна нулю. Такое поведение частицы несовместимо с классическими представлениями о траектории движения и равновероятности всех положений частицы.
a) в)
Рис.7.2
Из формулы 7.15 и рис. 7.2 следует, что существуют лишь такие состояния частицы в потенциальной яме, при которых на ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. Здесь можно провести аналогию с механическими волнами. Для колеблющейся струны или закрытого акустического резонатора возникающие стоячие волны удовлетворяют такому же условию, все остальные волны существовать не могут, они затухают.
7.6. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер
Пусть микрочастица движется вдоль оси X на которой находится прямоугольной формы потенциальный барьер шириной l и высотой U (рис.7.3).
При данных условиях классическая частица либо беспрепятственно пройдёт над барьером при Е>U, либо отразится от него при E<U, и будет двигаться в противоположную сторону.
Для микрочастицы даже при энергии El, т.е. проникнет сквозь барьер. Это явление получило название туннельного эффекта.
Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих.
, (7.16)
где А1 и А3 амплитуды падающей и прошедшей волн де Бройля.
Для прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности определяется из выражения
, (7.17)
где D0 – постоянный множитель, который можно принять равным единице.
Коэффициент прозрачности D сильно зависит от массы частицы m, ширины барьера l и от ; чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него барьера.
Туннельный эффект - это специфическое квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике. С классической точки зрения частица, находящаяся внутри потенциального барьера при Е < U, должна иметь отрицательную кинетическую энергию. С точки зрения квантовой механики деление энергии на кинетическую и потенциальную бессмысленно, поэтому ничего парадоксального в этом нет.
Туннельный эффект объясняет многие физические явления, такие, как холодная эмиссия электронов из металлов, альфа – распад, спонтанное деление ядер и другие.
7.7. Атом водорода в квантовой механике
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром атома водорода определяется выражением
(7.18)
где r – расстояние между электроном и ядром, e – элементарный заряд.
Графически функция U(r) изображается кривой, представляющей собой гиперболическую потенциальную яму (рис.7.4).
Рассмотрим основные результаты, вытекающие из реше- ния уравнения Шредингера для электрона в атоме водорода.
1. Энергия электрона принимает ряд дискретных значе- ний, т.е. квантуется
(7.19)
где n = 1, 2, 3… - главное квантовое число.
Самый нижний энергети- ческий уровень электрона в атоме водорода называется основным, все остальные – возбужденными (рис.7.4). При этом каждому En (кроме E1) соответствует несколько волно- вых функций, отличающихся величиной и ориентацией момента импульса электрона. Различные состояния с одинако- вой энергией называются вырожденными, а их число – кратностью вырождения.
2. Момент импульса (орбитальный механический момент) электрона и его проекция на направление внешнего магнитного поля квантуется по законам
L = ħ , (7.20)
Lz = ħ m, (7.21)
где l = 0, 1, 2,…,(n-1) – орбитальное квантовое число; m = 0, 1, 2, …, l – магнитное квантовое число.
При данном значении главного квантового числа n орбитальное квантовое число l принимает n значений, а при данном l магнитное квантовое число m принимает (2l+1) значение.
Квантование проекции вектора L, получившее назва- ние пространственного квантования, обусловлено дискрет- ностью ориентации момента импульса во внешнем поле. Графически оно представляется в виде векторных диаграмм (рис.7.5).
Рис.7.5
Дополнительно к этому, было установлено, что электрон, помимо орбитального, обладает и собственным механическим моментом импульса, получившим название – спин. Значение спина электрона равно
ħ, (7.22)
а его проекция на направление внешнего поля квантуется
Lsz = ħ ms, (7.23)
где ms = 1/2 – спиновое квантовое число.
Наряду с механическими орбитальным и спиновым моментами импульса электрон обладает магнитными орбитальным и спиновым моментами. Величина орбитального магнитного момента и его проекция на направление внешнего
магнитного поля квантуется по тем же законам, что и орбитальный механический момент
pm = gL = B, (7.24)
pm = - Bm, (7.25)
где g = e/2m – гиромагнитное отношение, B = е ħ/2m – магнетон Бора.
Собственный магнитный момент электрона ориентиру- ется по полю или против поля, при этом
pmsz = B . (7.26)
Следовательно, магнетон Бора является как бы естественной единицей магнитного момента электрона.
Состояния электрона в атоме принято обозначать следующим образом:
l = 0 s– состояние,
l = 1 p– состояние,
l = 2 d– состояние,
l = 3 f– состояние.
Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением числа l. Например, электрон в состоя- нии с n = 2 и l = 1 обозначается 2 p, с n = 3 и l = 0 – 3 s и т.д.
В квантовой механике нельзя говорить о траектории движения электрона в атоме. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. При этом, боровские стационарные орбиты представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.
7.8. Спектр атома водорода
Спектр атома водорода является линейчатым. Спектральные линии объединяются в отдельные серии. Линию c наибольшей длиной волны среди других линий этой серии называют головной линией, а линию, около которой сгущаются другие линии серии, называют коротковолновой границей.
Все серии атома водорода можно описать обобщенной формулой Бальмера
(7.27)
где R = 1.09 .107 м-1 – постоянная Ридберга, m имеет постоян- ное для каждой серии значение (m = 1, 2, 3…), а n принимает ряд целых значений, начинающихся с (m +1).
В ультрафиолетовой части спектра находится серия Лаймана (m = 1), в видимой – серия Бальмера (m = 2), в инфракрасной области спектра лежат серии Пашена (m = 3), Брекета (m = 4), Пфунда (m= 5). Спектральные закономер- ности атома водорода получают простое объяснение на основе энергетической схемы (рис.7.6).
Рис.7.6
Испускание и поглощение света происходит при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой. При этом возможны только такие переходы, при которых изменения орбитального и магнитного квантовых чисел удовлетворяют условиям
l = 1, (7.28)
m = 0, 1. (7.29)
Эти условия получили название правил отбора.
7.9. Многоэлектронные атомы. Рентгеновские спектры
Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:
главным – n = 1, 2, 3…,
орбитальным – l = 0, 1, 2,…, n-1,
магнитным – m = 0, 1, 2,…, l,
спиновым – ms = 1/2.
Распределение электронов в многоэлектронном атоме по состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в любом атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел, т.е.
z(n,l,m,ms) = 0 или 1.
Пользуясь принципом Паули можно легко найти максимальное число электронов в атоме с заданным значением квантовых чисел по формулам
z(n,l,m) = 2, (7.30)
z(n,l) = 2(2l + 1), (7.31)
z(n) = 2 n2. (7.32)
Совокупность электронов в атоме, имеющих одно и то же квантовое число n, образует электронную оболочку. В каждой оболочке электроны подразделяются по под- оболочкам, соответствующим заданному значению l. Если все состояния в электронной подоболочке заняты, то она называется замкнутой. Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлено в таблице.
Номер оболочки
n
Число электронов в подоболочке
Количество электронов
в оболочке
s
l=0
p
l =1
d
l=2
f
l=3
g
l =4
1
2
-
-
-
-
2
2
2
6
-
-
-
8
3
2
6
10
-
-
18
4
2
6
10
14
-
32
5
2
6
10
14
18
50
В исследовании свойств электронных оболочек атомов большую роль сыграло рентгеновское излучение. Для получения рентгеновского излучения используют рентгенов- ские трубки, в которых ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют антикатод (рис.7.7).
Рентгеновское излучение представляет собой электро- магнитные волны с длиной = (10-12 10-8) м.
Существует два типа рентгеновского излучения. При энергиях электронов, не превышающих некоторой критиче- ской величины, зависящей от материала антикатода, возникает излучение со сплошным спектром (рис.7.8), характеризую- щимся коротковолновой границей min. С увеличением
ускоряющего напряжения между катодом и антикатодом, интенсивность излучения возрастает, а длина min уменьшается.
Сплошной спектр обусловлен торможением быстрых электронов в материале антикатода и рентгеновское излучение называется тормозным. В соответствии с классической электродинамикой при торможении электронов должны возникать волны всех длин. Наличие коротковолновой границы спектра можно объяснить лишь на основе квантовых представлений. Очевидно, что максимальная энергия рентгеновского кванта, возникшего за счет энергии электрона, не может превышать этой энергии. Отсюда
hmax = eU
min = c/max = ch/eU, (7.33)
где U – ускоряющая разность потенциалов.
Вторым типом рентгеновского излучения является характеристическое излучение. Оно возбуждается при достаточно большой скорости электронов и имеет линейчатый спектр, характеризующий вещество антикатода рис.7.9. Атомы каждого элемента, независимо от того, в каких химических соединениях они находятся, обладают своим, вполне определенным линейчатым спектром. Как и оптические спектры, рентгеновские линейчатые спектры состоят из линий, объединенных в серии. У разных элементов наблюдаются однотипные серии линий.
Тот факт, что характеристические спектры не изменяются при химических реакциях атомов, указывает на то, что их возникновение связано с процессами, происходящими во внутренних электронных оболочках. Механизм возникнове-
ния рентгеновских серий схематически показан на рис.7.10.
При выбивании электрона, например с К-оболочки, на его место может перейти электрон с L-, M-, N-оболочки. Такие переходы приводят к возникновению К-серии. Частоты линий возрастают в ряду К К К , тогда как их интенсивность убывает. Аналогично возникают и другие серии.
Рис.7.9 Рис.7.10
При исследовании зависимости частоты ν характеристи- ческого излучения от атомного номера Zэлемента антикатода, Мозли установил следующий закон
, (7.34)
где - постоянная экранирования, с – константа, имеющая свои значения для каждой линии.
Данное соотношение можно представить в виде, напоминающем обобщенную формулу Бальмера
где R’= Rc = 3.29 .1015 с-1 – постоянная Ридберга, m = 1, 2, 3… определяет уровень, на который переходит электрон, n принимает целочисленные значения от (m +1) и определяет уровень, с которого переходит электрон. Постоянная экранирования для К - серии - = 1, для L- серии - = 7,5.
7.10. Понятие о квантовых генераторах.
С точки зрения квантовой механики основное, не возбужденное состояние атома должно сохраняться как угодно долго, если нет внешних причин, вызывающих изменение энергии атома. Под действием внешнего излучения атом осуществляет переход в возбужденное состояние, что приводит к поглощению излучения (рис. 7.11,а). Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии по экспериментальным оценкам составляет
10-8с. Из этого состояния он сам собой переходит в основное состояние, излучая свет с частотой (рис.7.11,6). Такое излучение, называется самопроизвольным или спонтанным. Поскольку спонтанные переходы атомов взаимно не связаны, то такое излучение является некогерентным. Помимо процес- сов поглощения и спонтанного излучения существует еще один процесс, получивший название индуцированного излучения. Номер оболочки
n
Число электронов в подоболочке
Количество электронов
в оболочке
s
l=0
p
l =1
d
l=2
f
l=3
g
l =4
1
2
-
-
-
-
2
2
2
6
-
-
-
8
3
2
6
10
-
-
18
4
2
6
10
14
-
32
5
2
6
10
14
18
50
Р
ис.7.11.
Е сли на атом, находящийся в возбужденном состоянии Е2, действует внешнее излучение с частотой ω, удовлетворя- ющее условию =E2-E1, то существует вероятность перехода атома в основное состояние, с излучением фотона той же энергии (рис.7.11,в). Важно отметить, что вторичный фотон, испущенный атомом, тождественен первичному. Он имеет такую же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, как и первичный. Таким образом, индуциро- ванное излучение строго когерентно с вынуждающим излуче- нием. Фотоны, появившиеся в результате индуцированного излучения, будут усиливать свет, проходящий через среду.
При прохождении излучения через вещество акты вынужденного испускания фотонов будут преобладать над актами поглощения, если число атомов в возбуждённом состоянии больше, чем в основном ( ). Такие состояния называют инверсными (обращёнными), а среды в которых за счёт вынужденных переходов происходит усиление света,- активными. Перевод среды в инверсное состояние называют накачкой. Способы достижения и поддержания инверсии в активной среде зависят от её структуры. В твёрдых телах и жидкостях используется главным образом оптическая накачка, в газовых средах используется более эффективные методы: электрический разряд, газодинамическое истечение, химиче- ские реакции и другие, обеспечивающие высокие мощности. Возбуждение полупроводниковых сред может производится постоянным током, пучком электронов, оптической накачкой.
Первый квантовый генератор был разработан в 1954 г. советскими физиками А.М. Прохоровым, Н.Г. Басовым и американским физиком Таунсом.
В настоящее время широкое распространение получили газовые и полупроводниковые лазеры, лазеры на сложных органических соединениях, ионные лазеры и др.
Основными компонентами любого лазера являются:
1) активная среда, в которой осуществляются вынужден- ные переходы;
2) система накачки, обеспечивающая инверсную населен- ность;
3) оптический резонатор, формирующий лазерный луч.
В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух вогнутых параллельных зеркал (1,2), расположенных на общей оптической оси с активной средой (рис.7.12). Одно из зеркал (1) полупрозрачно. Любой фотон возникший в активной среде за счёт спонтанного испускания атомов среды является ”затравкой” процесса генерации света. Фотон, который движется параллельно оси резонатора, рождает лавину фотонов, летящих в том же направлении (рис.7.12а). Часть этой лавины частично пройдёт через полупрозрачное зеркало, а часть отразится и будет нарастать в активной среде (рис.7.12.б). Те из фотонов, которые движутся вдоль оси, испытывают многократное отражение, в результате чего поток фотонов, параллельный оси резонатора, будет лавинообразно нарастать. Когда лазерный луч становится достаточно интенсивным, часть его выходит через полупрозрачное зеркало (рис.7.12.в).
2 3 1
а)
б)
в)
Рис.7.12.
Таким образом, с помощью зеркал в оптическом квантовом генераторе реализуется положительная обратная связь, необходимая для того, чтобы был обеспечен режим генерации, и формируется лазерное излучение с высокими когерентными свойствами.
Основные свойства лазерного излучения:
- временная и пространственная когерентность (lк