Файл: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо "Воронежский государственный технический университет ".doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 234

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 2.1. Законы электромагнитной индукцииВ 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении магнитного потока, охватываемого контуром проводника. Возникающий ток назвали индукционным.Правило, определяющее направление индукционного тока, было сформулировано Ленцем: индукционный ток всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызвав- шего этот ток.Появление индукционного тока в проводящем контуре свидетельствует о том, что при изменениях магнитного потока Ф в контуре возникает электродвижущая сила индукции. Фарадей установил, что величина ЭДС не зависит от способа, которым осуществляется изменение магнитного потока и определяется лишь скоростью его изменения:(2.1)Если контур состоит из N витков, то (2.2)где Ψ – полный магнитный поток, или потокосцепление. Выясним причину возникновения электромагнитной индукции. Для этого рассмотрим два случая, в каждом из которых физический механизм явления существенно разный.1. Подвижный контур в стационарном магнитном поле.Обратимся к контуру с подвижной перемычкой длиной l, находящемся в однородном магнитном поле, перпендикуляр- ном плоскости контура ( рис.2.1). Рис.2.1Приведем перемычку в движение со скоростью υ. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и носители тока в перемычке – электроны. На каждый электрон при этом будет действовать сила Лоренца, равная . (2.3)Электроны начнут перемещаться и создадут электриче- ское поле, которое возбудит ток и в остальных участках контура. Если силу F разделить на величину заряда, получим напряженность стороннего поля:. (2.4) По определению электродвижущей силы, она равна интегралу от напряженности стороннего электрического поля по замкнутому контуру, т. е. циркуляции вектора E:, учитывая, что , а , получимгде dФ – “заметаемый” проводником за времяdt магнитный поток.2. Неподвижный контур в переменном магнитном полеРассмотрим теперь неподвижный замкнутый проводник, находящийся в переменном магнитном поле. Поскольку сила Лоренца в этом случае отсутствует, а других сил, действую- щих на заряды, кроме электрической, нет, то остается предположить, что при изменениях магнитного поля индукционный ток обусловлен возникающим в проводнике электрическим полем Е. Согласно Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению в пространстве вихревого электрического поля независимо от наличия контура. Контур лишь позволяет обнаружить по току существование электрического поля. Циркуляция вектора Е по контуру определяет ЭДС электромагнитной индукции(2.5)Так как а контур и поверхность неподвижны, то(2.6)В заключении отметим, что несмотря на различие механизмов возникновения ЭДС, закон электромагнитной индукции (2.1) выполняется в обоих случаях. 2.2. Явление самоиндукции. Индуктивность соленоидаЭлектромагнитная индукция наблюдается во всех случаях, когда изменяется магнитный поток сквозь контур. Если в некотором контуре течет изменяющийся ток, то магнитное поле тока также будет изменяться. Это повлечет изменение магнитного потока через контур и, следовательно, появление ЭДС индукции. Данное явление называется самоиндукцией. Если в пространстве, где находится контур с током, нет ферромагнетиков, то в соответствии с законом Био-Савара величина магнитной индукции B и полный магнитный поток  будут пропорциональны силе тока. Это позволяет написать. ( 2.7)Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Единица индуктивности в СИ называется Генри:Индуктивность L зависит от геометрии контура и магнитных свойств окружающей среды.Вычислим индуктивность соленоида. При протекании по соленоиду тока внутри него возбуждается магнитное поле, индукция которого равна, (2.8) где n = N/l – плотность витков. Полный магнитный поток при этом будет , (2.9)где l – длина соленоида, S – площадь поперечного сечения, а V- его объем. Таким образом, индуктивность соленоида. (2.10)При изменениях силы тока Iв контуре возникает ЭДС самоиндукции, равнаяЕсли L = const, то (2.11)Знак минус показывает, что ЭДС самоиндукции всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока в соответствии с правилом Ленца.Характерные проявления самоиндукции – экстратоки, возникающие при замыкании и размыкании электрических цепей с индуктивностью.2.3. Расчёт токов при замыкании и размыкании цепейс индуктивностью1. Исчезновение тока при размыкании цепиПусть цепь состоит из катушки с индуктивностью L, резистора сопротивлением R, источника ЭДС и ключа К (рис.2.2). Когда ключ К находится в позиции 1, в цепи течет ток I = ξ /R (r<<R). В момент t = 0 ключ перебрасывается в позицию 2.Ток в цепи начнет убывать и возникнет ЭДС самоиндукции, противодействующая убыванию тока. По закону Ома (2.12) При интегрировании уравне- ния по току от I0 до I и по времени от 0 до t, получим. (2.13)где  = L/R – постоянная времени, называемая временем релаксации. Зависимость I(t) представлена кривой 1 на рис.2.3.2. Установление тока при замыкании цепиВ момент t= 0 ключ К повернем в позицию 1 и тем самым к индуктивности подключим источник ЭДС. Ток в цепи начнет нарастать и снова возникнет ЭДС самоиндукции. По закону Ома(2.14)Интегрируя по t уравнение (2.14), получим(2.15)где I0 - установившийся ток (при ). График зависимости I(t) представлен кривой 2 на рис. 2.3. 2.4. Взаимная индукцияВзаимной индукцией называется возникновение ЭДС индукции в одном контуре при изменении тока в другом, если они расположены в непосредственной близости друг от друга (рис.2.4).Рис.2.4Очевидно, что магнитный поток, создаваемый в контуре 1 током, текущим в контуре 2, пропорционален току в контуре 2:. (2.16)Аналогично, ток I1 создаёт через контур 2 магнитный поток (2.17)Коэффициенты пропорциональности называются коэффициентами взаимной индукции. Они зависят от геометрии обоих контуров и их взаимного расположения, а также от магнитной проницаемости среды. Можно доказать, что при отсутствии ферромагнетиков L12 = L21 .Рассчитаем взаимную индукцию двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник. Если по первой катушке идёт ток I1, то то магнитная индукция поля и магнитный поток этого тока в сердечнике тороида можно найти по формулам, (2.18), (2.19)где l – длина средней линии тороида, N1 – число витков первой катушки, S – площадь сердечника. Полный магнитный поток через вторичную обмотку, содержа- щую N2 витков . (2.20)Согласно (2.17) . (2.21)Если µ не зависит от силы тока, то . (2.22)На явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов, служащих для повышения или понижения напряжения переменного тока. Концы первичной обмотки трансформатора присоединяются к источнику переменного напряжения с ЭДС ξ1. Возникающий переменный ток создаёт в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимной индукции, а в первичной ЭДС самоиндукции. По закону Ома для первичной обмотки. (2.23)Пренебрегая падением напряжения на сопротивлении R1, приближённо имеем. (2.24)ЭДС взаимной индукции во вторичной обмотке. (2.25)Из сопоставления выражений (2.24) и (2.25), получим, (2.26)где знак минус показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе. Отношение , называется коэффициентом трансформации. Если κ >1, то трансформатор называется повышающим, если κ<1 – понижающий. 2.5. Энергия магнитного поля Рассмотрим цепь, изображенную на рис.2.2. В положе- нии 1 ключа К в катушке установится ток, который обусловит магнитное поле. Если перебросить ключ в положение 2, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в катушке ЭДС самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна (2.27)Если индуктивность соленоида L=const, тои . (2.28)Интегрируя (2.28) от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время,. (2.29)Данная работа совершается за счет убыли энергии магнитного поля, следовательно, энергия поля соленоида, через который течет ток I, равна(2.30)Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. Так каки ,получим (2.31)Магнитное поле, а следовательно и его энергия, локализованы внутри соленоида. Отсюда для плотности энергии магнитного поля будем иметь(2.32)Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно путём интегрирования найти энергию поля, заключённого в любом объёме(2.33)2.6. Примеры решения задач по законам электромагнитной индукцииПример 1. В однородном магнитном поле (В = 0,2Тл) равномерно с частотой ν = 600 мин-1 вращается рамка, содержащая N= 1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке. Решение Согласно закону электромагнитной индукциигде Ф = NBScosα – полный магнитный поток, пронизывающий рамку. Рис.1.1 Рис.1.2 Рис.1.5 Рис.2.7 Рис.1.7 Рис.3.1 Рис.1.9 Рис.2.8 Рис.1.10 Рис.1.13 Рис.1.14 Рис. 1.15 Рис.1.16 Рис.1.17 I Рис.1.12 ν Рис.1.3 Рис.1.4 В=0 Рис.2.2 Рис.1.6 I2,,I4,,I5>0I1,I3<0 dS=ldxx Bост При вращении рамки угол , образованный нормалью n к плоскости рамки и линиями индукции В, изменятся по законуПодставив в закон электромагнит- ной индукции выражение магнит- ного потока и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции: Максимальное значение ЭДС определится при условии, что sin2πνt =1. таким образом, .Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В): Произведем вычисление:.Пример 2. Соленоид содержит N =1200 витков прово- да, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 A магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию магнитного поля соленоида.Решение Индуктивность Lсвязана с потокосцеплением Ψ = LI.Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N:Ψ = NФ.На основании этих формул индуктивность соленоида.Энергия магнитного поля соленоидаПодставим в формулы для L и W значения физических величин и произведем вычисления:.Пример 3. Определить индукцию В и напряжённость Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N= 200 витков, идёт ток I =5 А. Внеш- ний диаметр d1 тороида равен 30 см, внутренний d2 = 20 см.РешениеДля определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора вдоль линий магнитной индукции поля: .Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряжённости одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряжённость Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2πr, где r-радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т.е.. (1)С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:. (2)Приравняв правые части равенств (1) и (2) получим . (3) Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2πrН =NI, откуда. (4)Для средней линии тороида r= (R1+ R2)/2= (d1+ d2)/4. Подставив выражение в формулу (4), найдём. (5) Магнитная индукция В0 в вакууме связана с напряжённостью поля соотношением В0=μ0Н. Следовательно, . (6)Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим: Н =1,37 кА/м, В0 =1,6 мТл.Пример 4. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l0 = 5мм. Длина l средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I= 4А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл. Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.РешениеПренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем: IN= Hl + H0l0. По графику (см. приложение 5) находим что при B = 0,5 Тл, напряжённость Н магнитного поля в чугуне равна 1,6 кА/м. Так как для воздуха μ = 1, то напря- жённость поля в воздушном зазоре 0,4 МА/м. Искомое число витков N = (Hl+H0l0) / I= 900.3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯОбобщив основные экспериментальные законы электри- чества и магнетизма, Максвелл создал единую теорию электромагнитного поля. В электродинамике теория Максвел- ла играет ту же роль, что и законы Ньютона в классической механике. Она позволила не только объяснить с единых позиций уже известные факты, но и предсказать существо- вание электромагнитных волн.Принципиально новой идеей, выдвинутой Максвеллом, была идея о взаимных превращениях электрических и магнитных полей. Обобщая закон Фарадея для электро- магнитной индукции, Максвелл предположил, что изменяю- щееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, циркуляция вектора напряженности которого определяется уравнением. (3.1)В свою очередь, следует ожидать, что изменяющееся во времени электрическое поле, должно создавать переменное магнитное поле. Для установления количествен- ной связи между изменяющимся электрическим и вызванным им магнитным полями, Максвелл ввел понятие тока смещения. Рассматривая конденсатор в цепи переменного тока, он предположил, что ток проводимости замыкается в конденсаторе током смещения. Ток смещения представляет собой изменяющееся электрическое поле и не сопровожда- ется движением электрических зарядов, но он способен создавать магнитное поле, как и ток проводимости. Плотность тока смещения равна, (3.2)где  вектор электрического смещения.Сумму тока проводимости и тока смещения называют полным током, его плотность равна. (3.3)Введение полного тока позволяет обобщить теорему о циркуляции напряженности магнитного поля, представив ее в виде(3.4)Из данного уравнения следует, что магнитное поле может возбуждаться не только движущимися зарядами, но и изменениями электрического поля, подобно тому, как электрическое поле может возбуждаться не только электри- ческими зарядами, но и изменениями магнитного поля.К рассмотренным уравнениям (3.1 и 3.4) Максвелл добавил еще два уравнения, выражающие теорему Гауcса для векторов и электромагнитного поля(3.5). (3.6)Полученная система четырех интегральных уравнений выражает в наиболее компактной форме все основные законы электромагнитного поля. Из этих уравнений, подчеркнем это еще раз, следует, что источником электрического поля являются как заряды, так и изменяющееся со временем магнитное поле. В свою очередь, магнитное поле возбуждается либо движущимися зарядами (ток проводимости), либо переменным электрическим полем (ток смещения). 4. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ4.1. Механические колебания и волны4.1.1. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний Колебаниями называют процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени. Простейшими из них являются гармонические колебания, при которых колеблющиеся величины изменяются со временем по закону синуса или косинуса. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид, (4.1) где х- смещение системы от своего положения равновесия; A - амплитуда колебаний; - фаза колебаний; -начальная фаза ; -собственная циклическая частота.График гармонических колебаний представлен на рис. 4.1. Продифференцировав дважды уравнение (4.1) по времени найдём скорость и ускорение колеблющейся точки, (4.2) . (4.3) Рис. 4.1 Из (4.3), следует дифференциальное уравнение гармони- ческих колебаний . (4.4)Решением этого уравнения является выражение (4.1).4.1.2. Энергия гармонического колебанияС учётом уравнения (4.3), сила действующая на материальную массой m, равна , (4.5) где - коэффициент упругости.Упругая сила является консервативной, поэтому полная энергия механических колебаний остаётся постоянной: Е = T+П= const.Кинетическая энергия материальной точки, соверша- ющей прямолинейные гармонические колебания, с учётом уравнения 4.2, равна(4.6) или (4.7) Потенциальная энергия материальной точки, соверша- ющей гармонические колеба- ния под действием упругой силы F, с учётом уравнения 4.5, равна (4.8) или(4.9) Частота изменения кинети- ческой и потенциальной энергий в два раза превышает частоту гармонических колеба- ний (см. рис.4.2). Полная механическая энергия колеблющейся системы с учетом уравнений (4.7) и (4.9) равна.4.1.3. Математический и физический маятникиИдеализированные системы, в которых колебания возникают за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий и описыва- ются уравнением (4.4), называются гармоническими осцил- ляторами. Примерами гармонических осцилляторов являются пружинный, физический и математический маятники. Колеба- ния, возникающие в таких системах при отсутствии сил трения, называются собственными гармоническими колеба- ниями.Математическим маятником называют идеализи- рованную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (рис.4.3).Рис.4.3 Рис.4.4При отклонении от положения равновесия на некоторый угол математический маятник начинает совершать свобод- ные колебания. В случае малых колебаний , диф- ференциальное уравнение колебаний математического маятника имеет вид , (4.10)где ; – длина математического маятника; – ускорение свободного падения.Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид , (4.11) где и – постоянные, определяемые начальными условиями возбуждения колебаний. Таким образом, при малых колебаниях математический маятник колеблется по гармоническому закону. Период колебаний математического маятника равен . (4.12)Видно, что период зависит только от длины маятника , ускорения силы тяжести и не зависит от его массы. Физический маятник – любое тело, подвешенное в точке, лежащей вне его центра тяжести(рис 4.4). Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания. Обозначим через I момент инерции маятника относительно оси О, перпендикулярной плоскости чертежа (рис.4.4). Пусть точка С является центром тяжести. Силу тяжести P= mg можно разложить на две составляющие, одна из которых P2 уравновешивается реакцией опоры.Под действием другой составляющейP1 = Psin = mgsinα (4.13)маятник приходит в движение. Из основного закона динамики вращательного движения имеемI = - mglcsin , (4.14) где , (4.15) угловое ускорение, lc = СО – расстояние от точки подвеса до центра тяжести.Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению отклонения маятника, т.е. стремится вернуть его в положение равновесия. При малых отклонениях можно считать, что sin, поэтомуР1mg . (4.16) Подставив (4.15) и (4.16) в (4.14), получим. (4.17)Полученное дифференциальное уравнение является уравнением гармонического колебательного движения. Частота и период колебаний определяются из формул(4.18)Величина называется приведённой длинойфизического маятника, она численно равна длине математического маятника с периодом колебаний, равным периоду колебаний данного физического маятника.Таким образом, период и частота колебаний физического маятника определяются выражениями. (4.19) 4.1.4. Сложение гармонических колебаний одного направления. БиенияРезультирующее движение точки, одновременно участвующей в нескольких колебаниях, во многих случаях является колебательным. Таким образом, можно говорить о сложении нескольких колебаний в одно результирующее. Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами и различными фазами осущест- вляется с помощью вектора амплитуды, позволяющего свести сложение колебаний к сложению векторов. Вектор амплитуды представляет собой вектор, величина которого равна амплитуде гармонического колебания, а угол между его направлением и осью X определяется начальной фазой (рис.4.5). Если привести вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью , то его проекция на ось X будет изменяться со временем по гармоническому закону. Следовательно, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора амплитуды. Рис.4.5 Рис.4.6Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, описываемых уравнениями:, (4.20). (4.21)Представим эти колебания с помощью векторов амплитуды A1 и A2 и построим вектор A, представляющий результирующие колебания (рис.4.6 ).Результирующее колебание является гармоническим с частотой ω0 , (4.22)амплитуда которого и его начальная фаза определяются из векторной диаграммы: , (4.23). (4.24)Рассмотрим теперь два гармонических колебания, которые происходят в одном направлении, с близкими частотами ω и ω+Δω (Δω<<ω). Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы А1=А2=А, а начальные фазы колебаний α1= α2= 0.(4.25)Результирующее колебание x= x1+ x2, т.е.x = А cosωt + А cos(ω+Δω)t ==(4.26)Учитывая что Δω<< ω, получим. (4.27)Так как изменяется значительно медленней, чем cosωt, результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда которого медленно изменяется также по гармоническому закону с частотой . Такие колебания называются биениями (рис.4.7). Рис.4.7Уравнение биений имеет вид(4.28)Амплитуда колебаний равна , частота пульса- ций амплитуды (биений), равна разности частот складываемых колебаний (см. рис.4.7), а период биений .4.1.5. Сложение взаимно перпендикулярныхколебаний. Фигуры Лиссажу Пусть колебания одинаковой частоты совершаются вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей X и Y. Выберем начало отсчёта времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Запишем уравнения колебаний таким образом, (4.29), (4.30)где - разность фаз складываемых колебаний. Исключив из данных уравнений параметр t, получим уравнение траектории результирующего колебания.. (4.31) Уравнение (4.31) представляет собой уравнение эллипса, произвольно ориентированного относительно координатных осей X и Y.Рассмотрим частные случаи:1) При = 0 уравнение (4.31) принимает вид. (4.32) Колеблющаяся точка (рис.4.8а) перемещается по прямой, причём расстояние от начала коор- динат изменяется по закону . (4.33) Таким образом, результирую- щее колебание является гармони- ческим. 2) При результирую- щее колебание так же является гармоническим и совершается вдоль прямой (рис.4.8б), описываемой уравнением. (4.34) 3) При уравне- ние (4.31) становится уравне- нием эллипса, приведённого к координатным осям . (4.35) Направление обхода эллипса определяется знаком перед π/2 (рис.4.8в). При равенстве Рис.4.8.амплитуд эллипс вырождается в окружность.При сложении взаимноперпендикулярных гармониче- ских колебаний с кратными частотами, траектории движения точки имеют вид сложных кривых – фигур Лиссажу, вид которых зависит от соотношения частот, и разности фаз складываемых колебаний. Например, при сложения двух колебаний с частотами ω и 2ω и разностью фаз Δφ1=0 и Δφ2 = π/2, соответствующие фигуры Лиссажу показаны на рис.4.9а и рис.4.9б.. Рис.4.9По виду фигуры Лиссажу можно определить соотношение частот и разность фаз складываемых колебаний. 4.1.6. Затухающие колебания и их характеристикиРассмотрим реальную механическую систему (например, пружинный маятник), в которой действуют силы трения. Считая силу трения пропорциональной скорости, закон движения пружинного маятника запишется в виде, (4.36)где r- коэффициент сопротивления, k-коэффициент упругости.Уравнение (4.36) может быть приведено к стандартному виду, представляющему дифференциальное уравнение затухающих колебаний , (4.37)где = r/2m - коэффициент затухания; - собственная частота колебаний системы.Решение уравнения (4.37) имеет вид , (4.38)где - частота затухающих колебаний.График функции (4.38) показан на рис. 4.10. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по закону, (4.39)а период колебаний определяется формулой . (4.40)С ростом β период затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при критическом коэффициенте затухания . При процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения равновесия система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис. 4.11). Рис.4.10 Рис.4.11Рис. 2.9. Основные характеристики затухающих колебаний:1) время релаксации  - время, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.. (4.41)2) логарифмический декремент затухания, представля- ющий логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е. , (4.42)где N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.3) добротность колебательной системы , (4.43)где E - энергия системы в момент времени t; -убыль энергии за один период колебаний.4.1.7. Вынужденные колебания. Резонанс Вынужденные колебания возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. С учётом вынуждающей силы закон движения пружинного маятника запишется в виде. (4.44)После преобразования получим неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания:, (4.45)где .Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.Общее решение однородного уравнения имеет вид, (4.46) где , а A0 и - произвольные постоянные.Частное решение неоднородного уравнения (4.45) имеет вид, (4.47) где , (4.48) . (4.49)Функция (4.47) в сумме с (4.46) даёт общее решение уравнения (4.45), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (4.46) играет значитель- ную роль в начальной стадии процесса при установлении колебаний. С течением времени его роль из-за экспонен- циального множителя всё больше уменьшается и им можно пренебречь. Графически вынужденные колебания представлены на рисунке 4.12.Рис. 4.12В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой в и являются гармоническими, амплитуда и фаза которых определяются выражениями (4.48) и (4.49).Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некоторой частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой. Из условия максимума функции (4.48) найдём, (4.50)а амплитуда колебаний при резонансе определяется из выражения. (4.51) Резонансные кривые при различных значениях коэф- фициента затухания представлены на рисунке 4.13. Чем меньше тем выше и правее лежит резонансный максимум. Если , то все кривые приходят к одному и тому же значению , так называемому статическому отклоне-нию. β3> β2> β1 Рис. 4.13Резонансная амплитуда связана с добротностью колебатель- ной системы следующим соотношением. (4.52)Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем острее и выше резонансная кривая.4.1.8. Распространение волн в упругих средах.Уравнение бегущей волны Процесс распространения колебаний в упругой среде, периодический во времени и в пространстве, называется механической волной. Распространение волн не связано с переносом вещества. Частицы среды, в которой распространя- ется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесий. От одних участков среды к другим переносятся только энергия и импульс.Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикуляр- ных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей упругостью формы, т.е. способностью сопротив- ляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твёрдых телах. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды, поэтому они могут распространяться как в твёрдых телах, так и в жидкостях и в газах. Скорости распространения поперечных и продольных механических волн в твёрдых телах определяются выражениями :, (4.53), (4.54)где G – модуль сдвига, Е – модуль Юнга, ρ – плотность тела.В газообразных средах распространяется только продольная волна , (4.55)где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, μ- молекулярная масса газа.Волна называется синунусоидальной, если соответ- ствующие ей колебания частиц среды являются гармониче- скими. График зависимости смещения частиц среды , участвующих в волновом процессе, от расстояния x этих частиц до источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени представлен на рисунке 4.14. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны  равна такому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период, т.е.. (4.56)Рис.4.14Зависимость смещения колеблющейся точки от координат и времени устанавливается уравнением волны.В случае плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, уравнение имеет вид, (4.57)где х/υ = τ - время прохождения волной расстояния от источника (х = 0) до частицы с координатой х. Или в стандартной форме, (4.58)где - волновое число. Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается только знаком члена kх.Уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В общем случае волновое уравнение имеет вид. (4.59)4.1.9. Стоячие волныСтоячие волны образуются при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу. Практически, стоячие волны возникают при отражении волн от преград.Пусть уравнения бегущей и отражённой волны имеют вид: .Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны , (4.60)Из (4.60) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой , т.е. с частотой бегущих волн и амплитудой, (4.61)являющейся периодической функцией координаты х.Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей, (m =1,2,3...). (4.62)Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением. (4.63)Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно , (4.64)и называется длиной стоячей волны. В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковы- ми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны представлено на рисунке 4.15.Рис.4.15В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну падающие и отражённые волны перено- сят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени, она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциальную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений.4.2. Электромагнитные колебания и волны4.2.1. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания Простейший колебательный контур состоит из конденсатора электроёмкостью С и соединённой с ним последовательно катушки индуктивности L (рис.4.16). При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в контуре возникнут электромагнитные колебания. Конденсатор начи-нает разряжаться, в катушке появляется нарастающий ток, создающий магнитное поле. Изменяющееся магнитное поле приводит к возникновению ЭДС самоиндукции, которая сначала замедляет скорость разрядки, а после того как конденсатор разрядился, начинает поддер- живать ток в прежнем направле- нии. В результате происходит перезарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начнётся снова, но в обратном направлении и т.д.Дифференциальное уравнение, описывающее собствен- ные колебания в контуре, можно получить на основе закона Ома для неоднородного участка цепи: IR = φ1 – φ2 + ε12, (4.65)где φ1 и φ2 - значения потенциалов на обкладках конденсатора;  - ЭДС самоиндукции, возникающая в контуре.С учётом того, что R=0 , ; и , уравнение (4.65) принимает вид, . (4.66)После замены получим стандартное дифферен- циальное уравнение, описывающее собственные гармони- ческие колебания . (4.67)Собственная частота и период гармонических колебаний удовлетворяют формуле Томсона . (4.68)Заряд конденсатора q, напряжениена обкладках конденсатора U и сила тока в катушке изменяются по законам, (4.69), (4.70). (4.71) где - амплитуда напряжения, - амплитуда силы тока. При собственных колебаниях в контуре происходит периодическое преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени. (4.72) 4.2.2. Затухающие колебания и их характеристикиРеальный колебательный контур всегда обладает активным сопротивлением R. Вследствие этого часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло, а амплитуда колебаний постепенно уменьшается. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний на основании(4.65) и с учётом, что , , , принимает вид. (4.73) После замены (4.74)получим стандартное дифференциальное уравнение, описы- вающее затухающие колебания . (4.75)Здесь – коэффициент затухания, ω0 – собственная частота свободных незатухающих колебаний (т.е. при R=0).Решение дифференциального уравнения (4.75) имеет вид, (4.76)г де , (4.77)- частота затухающих колебаний в реальном контуре. График затухающих колебаний представлен на рис.4.17. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по экспо- ненциальному закону, (4.78)а период колебаний определяется выражением. (4.79) С увеличением R, а следовательно, и β, период затухающих колебаний растёт,стремясь к бесконечности при . (4.80) Это означает, что при колебательный разряд переходит в апериодический процесс (рис.4.18). Значение Rкр называется критическим сопротивлением.Важнейшей характеристикой контура является его добротность. При малых значениях логарифмического декремента затухания, добротность контура определяется выражением:. (4.81)4.2.3. Вынужденные колебания в контуре. РезонансДля осуществления вынужденных электромагнитных колебаний нужно включить последовательно с элементами контура источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону (рис.4.19). U = U0 cosωвt . (4.82)Тогда формула (4.65) примет вид. (4.83) Произведя преобразования, получим стандартное диффе- ренциальное уравнение вынуж- денных электромагнитных колебаний.. (4.84)В случае установившихся колебаний решение дифферен- циального уравнения имеет q = q0 cos(ωвt + ψ), (4.85)гдеψ – сдвиг фаз между зарядом на обкладках конденсатора и переменной ЭДС.Следовательно, в установившемся режиме, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающего напряжения ωв и являются гармоническими, амплитуда и фаза которых определяется выражениями , (4.86) . (4.87)Резонансные кривые для заряда (напряжения на конденсаторе) аналогичны резонансным кривым при механических колебаниях (см. рис.4.13), а резонансная частота определяется по формуле (4.50). Продифференцировав (4.85) по t, найдем силу тока в контуреI = - q0 ωв sin(ωв t + ψ) = I0 cos(ωв t + ψ + π/2),где I0 = q0 ωв – амплитуда тока.Запишем это выражение в видеI = I0 cos(ωвt – φ), (4.88)где φ = -(ψ + π/2) – сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.Тогда в соответствии с (4.86) и (4.87), (4.89) . (4.90)Из формулы (4.90) следует, что ток отстаёт по фазе от вынуждающего напряжения в том случае, когда , и опережает, когда . При условии сдвиг фаз равен нулю, а амплитуда тока достигает максимального значения. Разделив выражение (4.85) на емкость, получим напряжение на конденсаторе, (4.91)где. (4.92)Умножив производную функции (4.88) на L, получим напряжение на индуктивности:(4.93)где . (4.94)Сопоставление формул (4.88), (4.91) и (4.93) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2 , а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2 . Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Фазовые соотношения можно представить очень наглядно с помощью векторной диаграммы (рис. 4.20).Резонансная частота для заряда и напряжения на конденса- торе равна. (4.95)Р 2езонансные кривые для Uсизображены на рис.4.21 . При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой UCm= U0 – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U0. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше β = R/2L. Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 4.22. Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при . R1 < R2 < R3R1 R2R3 Рис. 4.21Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура . (4.96)При ω→0, I = 0, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. Резонансные свойства контура характеризует доброт- ность Q, которая показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение, т.е. (4.97)При малых затуханиях ω рез ≈ ω0и (4.98)Таким образом, добротность обратно пропорциональна активному сопротивлению контура.Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. На рис. 4.23 изображена одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты ω1и ω2 соответствуют току . Рис.4.23Относительная ширина резонансной кривой равна величине обратной добротности контура, т. е. (4.99) Рис. 4.23 5 Явление резонанса используют для выделения из сложного напряжения, равного сумме нескольких синусо- идальных напряжений, нужной составляющей. Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту i , можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляю- щими, будет слабым. Таким образом, осуществляется, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны.4.2.4. Электромагнитные волныСуществование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла для электромагнитного поля (3.1, 3.4.--3.6.). Если возбуждать с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то возникает последо- вательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся в окружающем пространстве от одной точке к другой. Этот периодический во времени и пространстве процесс и представляет собой электромагнитную волну. Фазовая скорость электромагнитных волн в различных средах определяется формулой, (4.100)где - скорость электромагнитных волн в вакууме.Электромагнитные волны являются поперечными, поскольку векторы и напряжённости электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распростра- нения волны, образуя правовинтовую систему (рис.4.24). При этом векторы и колеблются в одинаковых фазах, а их мгновенные значения в любой точке связаны соотношением. (4.101)Уравнения плоской монохроматической электромагнитной волны имеют вид, (4.102), (4.103)где ω- частота волны, k = ω/υ = 2π/λ – волновое число, α- начальная фаза колебаний. Рис.4.24Электромагнитные волны переносят энергию. Объёмная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме объёмных плотностей энергии электрических и магнитных полей, т.е. . (4.104)Интенсивность монохроматической электромагнитной волны, равная энергии переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную скорости распро- странению волны, определяется выражением , (4.105)где <ω> - среднее за период значение объёмной плотности энергии. Поскольку <ω> прямо пропорционально квадрату амплитуды напряжённости электрического поля, то и I

Решение

Решение

Произведя вычисления, найдем А = 8,5 см. Тангенс начальной фазы результирующего колебания определится из рисунка

, откуда  = - 0.2 рад.

Уравнение результирующего колебания запишется в виде:

х = 8,5cos(t – 0.2) см.

Решение

Решение

6.1. Тепловое излучение. Закон Кирхгофа

7.4. Движение свободной частицыПри движении свободной частицы (U = 0) ее полная энергия совпадает с кинетической. Для частицы, движущейся вдоль оси Х, стационарное уравнение Шредингера принимает вид(7.9)Решением его является функция, (7.10)где k =(1/ħ) = Px/ ħ, Px – импульс частицы,A =const. Тогда полную волновую функцию можно записать в виде, (7.11)что представляет собой плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся вдоль оси Х. Учитывая, что k =2/, для длины волны получаем  =h/P, что совпадает с формулой де Бройля. Таким образом, решение уравнения Шредингера для свободной частицы представляет собой волну де Бройля. Волны де Бройля по физическому смыслу совпадают с волновой функцией и имеют статистическую интерпретацию: их интенсивность пропорциональна плотности вероятности обнаружения частицы.Энергия свободной частицы E = ħ2k2/(2m) может принимать любые значения, т.е. энергетический спектр её является непрерывным. Вероятность обнаружения частицы независит от времени и одинакова в любой точке пространства .7.5. Частица в потенциальной ямеРассмотрим движение микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме длиной lс бесконечно высокими стенками (рис.7.1). Тогда для потенциальной энергии имеем:U = 0 при 0  x l и U = ∞ при x < 0 и x > l. Внутри ямы уравнение Шредингера имеет вид,или , (7.12) где k2 = 2mE/ ħ2.Решение уравнения записы- вается в виде Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx), (7.13) где A и B – постоянные, которые определяются из граничных условий.Вероятность нахождения частицы вне ямы равна нулю, следовательно, волновая функция вне ямы и на ее границах (в силу непрерывности) также равна 0: Ψ(0)=Ψ(l)=0.Из первого условия Ψ(0)= Bполучаем B= 0, из второго Ψ(l)= Asin(kl)= 0следует, что kl = n или k = n / l, где n = 1, 2, 3 … (n = 0 соответствуетΨ = 0, т.е. отсутствию частицы в яме).Тогда для собственных значений энергии получаем выражение, (n = 1, 2, 3 …). (7.14)Таким образом, энергия и импульс частицы в потенциальной яме могут принимать лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуются (рис.7.1). Минимальное значение энергии равно E = 2ħ2/(2ml2), т.е. частица в яме не может покоиться, что находится в соответствии с соотношениями неопределенности.Интервал энергии между соседними уровнями составляет. Рассмотрим несколько примеров. Для молекул идеального газа (m = 10-26кг, l = 0,1м) En = 10-20nэВ, для свободных электронов в металле (m10-30кг, l=0,1м) En=10 -16nэВ, т.е. в этих случаях можно считать, что энергия меняется непрерывно. Для электрона в атоме (m10-30кг, l=10-10м) En=102nэВ. Следовательно, здесь квантование существенно и можно говорить лишь о дискретном спектре энергии.Относительное расстояние между уровнями En/En  2/n уменьшается с увеличением квантового числа n, уровни располагаются ближе и спектр энергии становится квазинепрерывным. В этом выражается принцип соответствия Бора: при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.Для определения постоянной A в волновой функции используем условие нормировки:,откуда .Таким образом, собственные функции выражаются формулой, n = 1, 2, 3… (7.15)Графики собственных функций и соответствующие плотности вероятности приведены на рис.7.2. Из рисунка видно, что в разных квантовых состояниях есть точки, в которых плотность вероятности обнаружения частицы равна нулю. Такое поведение частицы несовместимо с классическими представлениями о траектории движения и равновероятности всех положений частицы. a) в)Рис.7.2Из формулы 7.15 и рис. 7.2 следует, что существуют лишь такие состояния частицы в потенциальной яме, при которых на ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. Здесь можно провести аналогию с механическими волнами. Для колеблющейся струны или закрытого акустического резонатора возникающие стоячие волны удовлетворяют такому же условию, все остальные волны существовать не могут, они затухают.7.6. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьерПусть микрочастица движется вдоль оси X на которой находится прямоугольной формы потенциальный барьер шириной l и высотой U (рис.7.3). При данных условиях классическая частица либо беспрепятственно пройдёт над барьером при Е>U, либо отразится от него при E<U, и будет двигаться в противоположную сторону.Для микрочастицы даже при энергии El, т.е. проникнет сквозь барьер. Это явление получило название туннельного эффекта. Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. , (7.16)где А1 и А3 амплитуды падающей и прошедшей волн де Бройля.Для прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности определяется из выражения, (7.17)где D0 – постоянный множитель, который можно принять равным единице.Коэффициент прозрачности D сильно зависит от массы частицы m, ширины барьера l и от ; чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него барьера. Туннельный эффект - это специфическое квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике. С классической точки зрения частица, находящаяся внутри потенциального барьера при Е < U, должна иметь отрицательную кинетическую энергию. С точки зрения квантовой механики деление энергии на кинетическую и потенциальную бессмысленно, поэтому ничего парадоксального в этом нет. Туннельный эффект объясняет многие физические явления, такие, как холодная эмиссия электронов из металлов, альфа – распад, спонтанное деление ядер и другие. 7.7. Атом водорода в квантовой механикеПотенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром атома водорода определяется выражением(7.18)где r – расстояние между электроном и ядром, e – элементарный заряд.Графически функция U(r) изображается кривой, представляющей собой гиперболическую потенциальную яму (рис.7.4).Рассмотрим основные результаты, вытекающие из реше- ния уравнения Шредингера для электрона в атоме водорода.1. Энергия электрона принимает ряд дискретных значе- ний, т.е. квантуется (7.19) где n = 1, 2, 3… - главное квантовое число. Самый нижний энергети- ческий уровень электрона в атоме водорода называется основным, все остальные – возбужденными (рис.7.4). При этом каждому En (кроме E1) соответствует несколько волно- вых функций, отличающихся величиной и ориентацией момента импульса электрона. Различные состояния с одинако- вой энергией называются вырожденными, а их число – кратностью вырождения. 2. Момент импульса (орбитальный механический момент) электрона и его проекция на направление внешнего магнитного поля квантуется по законамL = ħ , (7.20)Lz = ħ m, (7.21)где l = 0, 1, 2,…,(n-1) – орбитальное квантовое число; m = 0, 1, 2, …, l – магнитное квантовое число.При данном значении главного квантового числа n орбитальное квантовое число l принимает n значений, а при данном l магнитное квантовое число m принимает (2l+1) значение. Квантование проекции вектора L, получившее назва- ние пространственного квантования, обусловлено дискрет- ностью ориентации момента импульса во внешнем поле. Графически оно представляется в виде векторных диаграмм (рис.7.5). Рис.7.5Дополнительно к этому, было установлено, что электрон, помимо орбитального, обладает и собственным механическим моментом импульса, получившим название – спин. Значение спина электрона равноħ, (7.22)а его проекция на направление внешнего поля квантуетсяLsz = ħ ms, (7.23)где ms = 1/2 – спиновое квантовое число.Наряду с механическими орбитальным и спиновым моментами импульса электрон обладает магнитными орбитальным и спиновым моментами. Величина орбитального магнитного момента и его проекция на направление внешнегомагнитного поля квантуется по тем же законам, что и орбитальный механический моментpm = gL = B, (7.24)pm = - Bm, (7.25)где g = e/2m – гиромагнитное отношение, B = е ħ/2m – магнетон Бора.Собственный магнитный момент электрона ориентиру- ется по полю или против поля, при этом pmsz = B . (7.26)Следовательно, магнетон Бора является как бы естественной единицей магнитного момента электрона.Состояния электрона в атоме принято обозначать следующим образом: l = 0  s– состояние,l = 1  p– состояние,l = 2  d– состояние,l = 3  f– состояние.Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением числа l. Например, электрон в состоя- нии с n = 2 и l = 1 обозначается 2 p, с n = 3 и l = 0 – 3 s и т.д.В квантовой механике нельзя говорить о траектории движения электрона в атоме. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. При этом, боровские стационарные орбиты представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.7.8. Спектр атома водородаСпектр атома водорода является линейчатым. Спектральные линии объединяются в отдельные серии. Линию c наибольшей длиной волны среди других линий этой серии называют головной линией, а линию, около которой сгущаются другие линии серии, называют коротковолновой границей.Все серии атома водорода можно описать обобщенной формулой Бальмера(7.27)где R = 1.09 .107 м-1 – постоянная Ридберга, m имеет постоян- ное для каждой серии значение (m = 1, 2, 3…), а n принимает ряд целых значений, начинающихся с (m +1). В ультрафиолетовой части спектра находится серия Лаймана (m = 1), в видимой – серия Бальмера (m = 2), в инфракрасной области спектра лежат серии Пашена (m = 3), Брекета (m = 4), Пфунда (m= 5). Спектральные закономер- ности атома водорода получают простое объяснение на основе энергетической схемы (рис.7.6). Рис.7.6Испускание и поглощение света происходит при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой. При этом возможны только такие переходы, при которых изменения орбитального и магнитного квантовых чисел удовлетворяют условиямl = 1, (7.28)m = 0, 1. (7.29) Эти условия получили название правил отбора. 7.9. Многоэлектронные атомы. Рентгеновские спектрыСостояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:главным – n = 1, 2, 3…,орбитальным – l = 0, 1, 2,…, n-1,магнитным – m = 0, 1, 2,…, l,спиновым – ms = 1/2.Распределение электронов в многоэлектронном атоме по состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в любом атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел, т.е.z(n,l,m,ms) = 0 или 1.Пользуясь принципом Паули можно легко найти максимальное число электронов в атоме с заданным значением квантовых чисел по формуламz(n,l,m) = 2, (7.30)z(n,l) = 2(2l + 1), (7.31)z(n) = 2 n2. (7.32)Совокупность электронов в атоме, имеющих одно и то же квантовое число n, образует электронную оболочку. В каждой оболочке электроны подразделяются по под- оболочкам, соответствующим заданному значению l. Если все состояния в электронной подоболочке заняты, то она называется замкнутой. Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлено в таблице. Номер оболочкиn Число электронов в подоболочке Количество электроновв оболочке sl=0 pl =1 dl=2 fl=3 gl =4 1 2 - - - - 2 2 2 6 - - - 8 3 2 6 10 - - 18 4 2 6 10 14 - 32 5 2 6 10 14 18 50 В исследовании свойств электронных оболочек атомов большую роль сыграло рентгеновское излучение. Для получения рентгеновского излучения используют рентгенов- ские трубки, в которых ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют антикатод (рис.7.7). Рентгеновское излучение представляет собой электро- магнитные волны с длиной  = (10-12  10-8) м.Существует два типа рентгеновского излучения. При энергиях электронов, не превышающих некоторой критиче- ской величины, зависящей от материала антикатода, возникает излучение со сплошным спектром (рис.7.8), характеризую- щимся коротковолновой границей min. С увеличением ускоряющего напряжения между катодом и антикатодом, интенсивность излучения возрастает, а длина min уменьшается.Сплошной спектр обусловлен торможением быстрых электронов в материале антикатода и рентгеновское излучение называется тормозным. В соответствии с классической электродинамикой при торможении электронов должны возникать волны всех длин. Наличие коротковолновой границы спектра можно объяснить лишь на основе квантовых представлений. Очевидно, что максимальная энергия рентгеновского кванта, возникшего за счет энергии электрона, не может превышать этой энергии. Отсюдаhmax = eUmin = c/max = ch/eU, (7.33)где U – ускоряющая разность потенциалов.Вторым типом рентгеновского излучения является характеристическое излучение. Оно возбуждается при достаточно большой скорости электронов и имеет линейчатый спектр, характеризующий вещество антикатода рис.7.9. Атомы каждого элемента, независимо от того, в каких химических соединениях они находятся, обладают своим, вполне определенным линейчатым спектром. Как и оптические спектры, рентгеновские линейчатые спектры состоят из линий, объединенных в серии. У разных элементов наблюдаются однотипные серии линий.Тот факт, что характеристические спектры не изменяются при химических реакциях атомов, указывает на то, что их возникновение связано с процессами, происходящими во внутренних электронных оболочках. Механизм возникнове-ния рентгеновских серий схематически показан на рис.7.10.При выбивании электрона, например с К-оболочки, на его место может перейти электрон с L-, M-, N-оболочки. Такие переходы приводят к возникновению К-серии. Частоты линий возрастают в ряду К  К  К , тогда как их интенсивность убывает. Аналогично возникают и другие серии. Рис.7.9 Рис.7.10 При исследовании зависимости частоты ν характеристи- ческого излучения от атомного номера Zэлемента антикатода, Мозли установил следующий закон, (7.34)где  - постоянная экранирования, с – константа, имеющая свои значения для каждой линии.Данное соотношение можно представить в виде, напоминающем обобщенную формулу Бальмерагде R’= Rc = 3.29 .1015 с-1 – постоянная Ридберга, m = 1, 2, 3… определяет уровень, на который переходит электрон, n принимает целочисленные значения от (m +1) и определяет уровень, с которого переходит электрон. Постоянная экранирования для К - серии -  = 1, для L- серии -  = 7,5.7.10. Понятие о квантовых генераторах. С точки зрения квантовой механики основное, не возбужденное состояние атома должно сохраняться как угодно долго, если нет внешних причин, вызывающих изменение энергии атома. Под действием внешнего излучения атом осуществляет переход в возбужденное состояние, что приводит к поглощению излучения (рис. 7.11,а). Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии по экспериментальным оценкам составляет 10-8с. Из этого состояния он сам собой переходит в основное состояние, излучая свет с частотой (рис.7.11,6). Такое излучение, называется самопроизвольным или спонтанным. Поскольку спонтанные переходы атомов взаимно не связаны, то такое излучение является некогерентным. Помимо процес- сов поглощения и спонтанного излучения существует еще один процесс, получивший название индуцированного излучения. Р ис.7.11.Е сли на атом, находящийся в возбужденном состоянии Е2, действует внешнее излучение с частотой ω, удовлетворя- ющее условию =E2-E1, то существует вероятность перехода атома в основное состояние, с излучением фотона той же энергии (рис.7.11,в). Важно отметить, что вторичный фотон, испущенный атомом, тождественен первичному. Он имеет такую же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, как и первичный. Таким образом, индуциро- ванное излучение строго когерентно с вынуждающим излуче- нием. Фотоны, появившиеся в результате индуцированного излучения, будут усиливать свет, проходящий через среду. При прохождении излучения через вещество акты вынужденного испускания фотонов будут преобладать над актами поглощения, если число атомов в возбуждённом состоянии больше, чем в основном ( ). Такие состояния называют инверсными (обращёнными), а среды в которых за счёт вынужденных переходов происходит усиление света,- активными. Перевод среды в инверсное состояние называют накачкой. Способы достижения и поддержания инверсии в активной среде зависят от её структуры. В твёрдых телах и жидкостях используется главным образом оптическая накачка, в газовых средах используется более эффективные методы: электрический разряд, газодинамическое истечение, химиче- ские реакции и другие, обеспечивающие высокие мощности. Возбуждение полупроводниковых сред может производится постоянным током, пучком электронов, оптической накачкой. Первый квантовый генератор был разработан в 1954 г. советскими физиками А.М. Прохоровым, Н.Г. Басовым и американским физиком Таунсом. В настоящее время широкое распространение получили газовые и полупроводниковые лазеры, лазеры на сложных органических соединениях, ионные лазеры и др.Основными компонентами любого лазера являются: 1) активная среда, в которой осуществляются вынужден- ные переходы; 2) система накачки, обеспечивающая инверсную населен- ность; 3) оптический резонатор, формирующий лазерный луч. В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух вогнутых параллельных зеркал (1,2), расположенных на общей оптической оси с активной средой (рис.7.12). Одно из зеркал (1) полупрозрачно. Любой фотон возникший в активной среде за счёт спонтанного испускания атомов среды является ”затравкой” процесса генерации света. Фотон, который движется параллельно оси резонатора, рождает лавину фотонов, летящих в том же направлении (рис.7.12а). Часть этой лавины частично пройдёт через полупрозрачное зеркало, а часть отразится и будет нарастать в активной среде (рис.7.12.б). Те из фотонов, которые движутся вдоль оси, испытывают многократное отражение, в результате чего поток фотонов, параллельный оси резонатора, будет лавинообразно нарастать. Когда лазерный луч становится достаточно интенсивным, часть его выходит через полупрозрачное зеркало (рис.7.12.в). 2 3 1 а)б)в)Рис.7.12.Таким образом, с помощью зеркал в оптическом квантовом генераторе реализуется положительная обратная связь, необходимая для того, чтобы был обеспечен режим генерации, и формируется лазерное излучение с высокими когерентными свойствами. Основные свойства лазерного излучения:- временная и пространственная когерентность (lк10-5 м);- строгая монохроматичность (Δλ<10-11 м);- большая мощность излучения (

Решение

Решение

ПРИЛОЖЕНИЯ

Полный дифференциал функции нескольких переменных U =  x y z 

Неопределенный интеграл

ВВЕДЕНИЕ...…….............................................................3

А2. (4.106)

Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электромагнитный диполь, момент которого изменяется с течением времени. Интенсивность излучения диполя в различных направлениях характеризуется полярной диаграммой направленности излучения диполя (рис.4.25).

Из этой диаграммы видно, сильнее всего диполь излучает в направлении, перпендикулярном его оси. Вдоль своей оси диполь не излучает совсем. Мощность излучения диполя пропорциональна четвёртой степени частоты колебаний.


Рис.4.25

В зависимости от частоты (или длины волны λ = с/ν), а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн: радиоволны (9-ти диапазонов), световые волны, рентгеновское и γ – излучение.

4.3. Примеры решения задач по колебаниям и волнам

Пример 1. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия x=0, частота колеба- ния 0=4с-1. В некоторый момент времени координата частицы x0 = 25 см и ее скорость 0 = 100 см/с. Найти координату xи скорость  частицы через t= 2,4 с после этого момента.

Решение


Запишем уравнение гармонических колебаний частицы в виде:

x = Acos(0t + 0), (1)

тогда уравнение скорости будет иметь вид:

(2)

Для нахождения параметров данных уравнений воспользуемся начальными условиями. При t = 0 имеем:

х0 = Аcos0,

0 = -А0sin0,

откуда и φ0= -/4,

.

Координата и скорость частицы  в момент времени t = 2,4 с найдутся из уравнений (1) и (2):

х = - 29 см, = -81 см/с.

Пример 2. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,6 с и амплитудой А = 10 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течении которого она проходит путь А/2:

а) из положения равновесия; б) из крайнего положения.

Решение

Выберем за начало отсчета времени момент, когда точка проходит положение равновесия. Тогда уравнение колебаний имеет вид:

х = Аsin0t.

Исходя из этого уравнения определим момент времени t1, соответствующий смещению точки х = А/2. Имеем:

,

откуда t1 = T /12 .

Значение средней скорости точки при ее движении из положения равновесия определяется из формулы:

ср1 = 100 см/с.

Время движения точки из крайнего положения до половины амплитуды будет равно:

.

С учетом этого:

; ср2 = 50 см/с.

Аналогичные результаты могут быть получены при использовании формулы:

Пример 3. Найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух одинаково направленных колебаний, выражаемых уравнениями: х1 = 3cos(t + /3) см, х2 = 8sin(t + /3) см.
Написать уравнение результирующего колебания.

Решение


Вначале, используя тригонометрические формулы, приведем уравнение второго колебания к виду


х2 = 8 cos(t - /6) см.


Затем построим векторную диаграмму сложения одно- направленных колебаний (см.рис.). Согласно теореме косинусов получим

,

где  = 2 - 1 .

Произведя вычисления, найдем А = 8,5 см. Тангенс начальной фазы результирующего колебания определится из рисунка

, откуда = - 0.2 рад.

Уравнение результирующего колебания запишется в виде:

х = 8,5cos(t – 0.2) см.





Пример 4. На концах тонкого стержня длиной l= 1 м и массой m1 = 0,4 кг укреплены шарики малых размеров массами m2 = 0,2 кг и m3 = 0,4 кг. Стержень колеблется около горизонталь- ной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Опреде- лить период колебаний, совершаемых стержнем.

Решение

Стержень с шариком (см. рис.) представляет собой физический маятник, период колебаний которого определяется формулой

,

где - момент инерции маятника относительно оси колебаний;m – масса; lc – расстояние от центра масс маятника до оси.

Принимая шарики за материальные точки, общий момент инерции маятника определяем выражением

 = (1/12)m1l2 + m2(l/2)2 + m3(l/2)2 = (1/12)l2(m1 + 3m2 + 3m3),

 = 0,183 кгּ м2.

Масса маятника m= m1 + m2 + m3 = 1 кг.

Расстояниеlc от оси маятника до его центра масс равно

Произведя вычисления, найдем lc = 10 см, Т = 2,7 с.

Пример_5_.'>Пример 5. Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течении времени t=50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

Решение

Энергия тела, совершающего колебания, определяется по формуле

E = mA22/2.

Учитывая зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени A = А0 е- t,

получим или

E = E0 е-2t, (1)

где – энергия тела в момент времени t = 0.
К моменту времени t =50 с тело потеряло 60% своей перво- начальной энергии
, следовательно,

E= 0,4E0. (2)

Приравнивая (1) и (2), сокращая на E0 и, логарифмируя обе части равенства, найдем:

ln2,5 = 2t.

Отсюда выражаем :

 = (ln2,5)/2t. (3)

С другой стороны, = r/2m. (4)

Из сравнения (3) и (4) получим r= (mln2,5)/t

После подстановки числовых значений найдем

r = 9,1610-5 кг/с.

Пример 6. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с максимальным значением амплитуды 7 см, начальной фазой, равной нулю, коэффициентом затухания, равным 1,6 с-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид x =5sin(10t - 0,75) см. Найти: 1) уравнение свобод- ных колебаний; 2) уравнение внешней периодической силы.

Решение


Уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

х = А0е-tsint, (1)

где - частота затухающих колебаний; 0 – собствен ная частота колебаний;  - коэффициент затухания.

По условию сдвиг фаз между собственными и вынужден- ными колебаниями равен – 3/4; следовательно, tg(-3/4) = 1.

С другой стороны,

Из равенства

cледует (2)

У нас в = 10, = 1,6 с-1. Подставляя эти значения в (2), получим 0=10,5c-1. С учётом того, что 2 << 02, получим, что частота затухающих колебаний равна частоте 0 собственных колебаний. Следовательно, уравнение свободных затухающих колебаний примет вид

х = 7 e-1,6tsin10,5t см.

Уравнение внешней периодической силы

F = F0 sint. (3)

Амплитудное значение вынуждающей силы

(4)

После подстановки числовых значений получаем F0 =

= 72 мН. С учетом этого уравнение внешней периодической силы будет иметь вид

F = 72 sin10t мН.

Пример 7. Сила, действующая на материальную точку, изменяется по гармоническому закону F = F0sint. В началь- ный момент времени скорость точки равна нулю. Как с течением времени изменяется скорость и положение точки?


Решение

По второму закону Ньютона

, или (1)

Отсюда тогда скорость колеблющейся

точки (2)

Обозначая , перепишем (2) в виде




График изменение скорости представлен на рисунке.

Если начальное положение точки принять за начало координат, то координата точки в любой момент времени определяется выражением

Таким образом, движение точки под действием периоди- ческой силы является поступательным с периодическим возрастанием скорости от 0 до 2m, а затем снова до 0.


Пример 8. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью υ =20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии х1=12 м и х2=15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз Δφ = 0,75 π. Найти длину волны λ, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t= 1,2 с, если амплитуда колебаний А = 0,1 м.

Решение

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ, колеблются с разностью фаз, равной 2π; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Δx, колеблются с разностью фаз, равной

.

Решая это равенство относительно λ, получим

. (1)

Подставляя числовые значения величин, входящих в выражение (1), получим λ = 8 м.

Для того, чтобы написать уравнение плоской волны, надо ещё найти циклическую частоту ω. Так как ω=2π/T (T = λ/υ – период колебаний), то

.

Произведя вычисления, найдём

Зная амплитуду колебаний А, циклическую частоту ω скорость распространения волны υ, можно написать уравнение плоской волны для данного случая

(2)

где А= 0,1м, ω=5π с-1, υ= 20 м/c.

Чтобы найти смещение указанных точек y , достаточно в уравнение (2) подставить значения t и х:

y1 = - 0,1м ; y2 = 7,1см.

Пример 9. Омическое сопротивление контура Ом, индуктивность , ёмкость . Определить силу тока в контуре в момент времени , если при заряд на конденсаторе , а начальная сила тока равна нулю.

Смотрите также файлы