Файл: Лекция 11. Методы оценки качества автоматических систем.pdf

Тема 4. Методы оценки качества регулирования линейных систем
Лекция 11. Методы оценки качества автоматических систем
4.2.3. Выбор структуры автоматической системы. Астатические и
статические системы
Из всех возможных характеристик структуры САУ качественное влияние на ошибки оказывает наличие интегрирующих звеньев.
Рассмотрим САУ, структурная схема которой приведена на рис. 4.6.
x(t) y(t)
W
1
(р) W
2
(р) ... W
n
(р)
-
Рис. 4.6. Структурная схема САУ
Если в системе отсутствуют интегрирующие звенья, тогда передаточная функция разомкнутой части САУ будет иметь вид
W(р) =
, т.е. c
0
= 1. Здесь k – коэффициент усиления САУ.
Передаточная функция замкнутой САУ
Ф(Р) =
=
,
т.е.
а
0
= (1 + k).
В соответствии с формулами (4.3) коэффициент ошибки
S
0
=
=
≠ 0.
(4.8)
Тогда любой входной сигнал х(t) вызывает ошибку. Такая САУ называется статической. Из (4.8) также следует, что чем больше коэффициент усиления САУ, тем меньше статизм системы, т.е. величина ошибки на установившемся режиме.
Если САУ содержит одно интегрирующее звено (допустим,
W
ку
(р) =
), тогда передаточная функция разомкнутой САУ будет иметь вид
W(р) =
, т.е. с
0
= 0.
Следовательно, коэффициент ошибки S
0
= 0. Такая система называется астатической. Если при этом S
1

0, то САУ является астатической первого порядка. Если S
0
= 0, S
1
= 0, S
2

0 (это может быть при наличии в САУ двух

интегрирующих звеньев), тогда САУ является астатической второго порядка, и т.д.
Ошибка воспроизведения входного сигнала определяется выражением
E
х
(t) = S
0
·x(t) + S
1
·
+…+S
n
·
+…, откуда следует, что в астатической системе первого порядка постоянный входной сигнал x(t) = const воспроизводится без ошибки, так как S
0
= 0 и равны нулю все производные. Ошибку вызывает только входной сигнал, изменяющийся по времени, причем с постоянной ошибкой воспроизводится сигнал вида x(t) = B
0
+ B
1
·t. В астатических системах более высоких порядков с ошибками воспроизводятся сигналы, изменяющиеся по времени нелинейно.
4.3. Методы оценки качества автоматических систем
4.3.1. Выбор метода
Методы анализа качества управления можно разделить на прямые
методы анализа по кривой переходного процесса и косвенные методы, позволяющие, не решая дифференциального уравнения, определить некоторые показатели качества процесса управления.
Прямые методы основаны на построении графика переходного процесса c последующей оценкой качества по данному графику или на анализе частотных характеристик. Такая оценка наиболее точная и наглядная. Однако получение такого графика во многих случаях затруднительно.
По способу построения графика переходного процесса в группе прямых методов можно выделить следующие методы:
- метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения САУ;
- частотный метод построения переходного процесса по вещественной или мнимой частотной характеристике замкнутой системы;
- метод математического моделирования и т.д.
По графику переходного процесса можно определить все наиболее важные показатели качества управления:
- время регулирования t
р
;.
- величина перерегулирования ΔH
max
(при больших перерегулированиях могут возникнуть значительные динамические усилия в механической части системы, электрические перенапряжения и т. п. Допустимое значение ΔH
max
определяется из опыта эксплуатации, обычно оно составляет 0,1...0,3, иногда допускается до 0,7);
- статическая ошибка в установившемся режиме (ошибка для астатических систем равна нулю);
- частота колебанийпроцесса ω = 2π/T, где T – период колебаний.

- логарифмический декремент затухания:
d = ln
|
|
|
|
;
- число колебаний n – число максимумов h(t) на промежутке от 0 до t
р
Косвенные методы позволяют определить некоторые показатели качества процесса управления, не требуя решения дифференциального уравнения, построения графика переходного процесса. К ним относятся корневые, интегральные и частотные методы, в частности:
- методы оценки качества по виду частотных характеристик замкнутой
САУ;
- метод ЛАЧХ разомкнутой САУ;
- метод интегральных оценок;
- метод оценки качества по характеру распределения нулей и полюсов передаточной функции системы и т.д.
Рассмотрим более подробно некоторые примеры косвенных методов оценки.
10.3.2. Косвенные методы оценки качества автоматических систем
I.
Метод ЛАЧХ разомкнутой САУ наиболее простой и распространенный. Он позволяет судить о качестве переходного процесса замкнутой системы по виду асимптотической ЛАЧХ разомкнутой системы.
Это справедливо потому, что характер протекания ЛАЧХ и показатели качества имеют вполне определенное соответствие.
Для оценки качества CАУ используются следующие параметры
ЛАЧХ (рис. 4.7):

1
– самая левая частота сопряжения асимптот;

1
–ордината самой левой частоты сопряжения

1
;

с
– частота среза;

2
– первая слева от

с частота сопряжения;

3
– первая справа от

с частота сопряжения, а также наклоны асимптот к оси частот.
На ЛАЧХ выделяют три характерных участка (рис. 4.7): а) область низких частот
0



0,1·

с
; б) область средних частот
0,1·

с



10·

с
; в) область высоких частот
10·

с


Каждая область ЛАЧХ имеет связь с определенными показателями качества процессов управления замкнутой системой.
Низкочастотная часть ЛАЧХ и в особенности наклон ее первой асимптоты L
I
(

) определяет: а) порядок астатизма

системы. Если наклон
L
I
(

) =

, то

=


L(

),
дБ
L
I
(

)

1
L
II
(

)

c

3
0

1

2

, с
-1
Область низких Область средних Область высоких частот частот частот
Рис. 4.7. Асимптотическая ЛАЧХ разомкнутой системы
Иными словами наклон L
I
(

) должен соответствовать:

= 0 – для статических систем, т.е. систем, разомкнутая часть которых не содержит интегрирующих звеньев;

= -20
– для астатических систем первого порядка;

= -40
– для астатических систем второго порядка;

= -20·

– для астатических систем

-го порядка; б) статическую точность системы: значение L
I
(

) при

= 1 определяет общий коэффициент усиления k разомкнутой системы L
I
(1) = 20 lg·k, а значение k, как известно, определяет величину ошибки системы в установившемся режиме. Чем выше располагается асимптота, тем точнее система.
Среднечастотнаячасть ЛАЧХ и в особенности ее асимптота L
II
(

) в области частоты среза

с
, определяет: а) величину перерегулирования

Н
mах
. В частности, важно значение отношения
. Если оно уменьшается, то перерегулирование увеличивается, и наоборот. В общем случае

Н
mах
не будет превышать 30... 40%, если наклон
L
II
(

) равен - 20
; и
10;
= 2...4;

б) время переходного процесса t
p
(время регулирования). При
=3...4
t
р
минимально и определяется равенством t
p
=
. При увеличении или уменьшении отношения по сравнению со значением 3...4 t
p возрастает.
Высокочастотная часть ЛАЧХ на качество процессов управления практически не влияет, поэтому в этом диапазоне возможны дополнительные частоты сопряжения.
ЛАЧХ разомкнутой системы называется типовой, если она обладает:
- наклоном асимптоты ЛАЧХ при частоте среза - 20
;
- отношением
= 2 ... 4;
- отношением
≥10.
Для каждой типовой ЛАЧХ известны основные показатели качества, поэтому если ЛАЧХ разомкнутой системы является типовой, то известно и качество процессов управления разомкнутой системы. Для типовых ЛАЧХ связь между параметрами

1
,

2
,

с
,

3
,

1
и показателями качества устанавливается номограммами Честната-Майера и В.В. Солодовникова.
Метод ЛАЧХ можно применять для оценки качества переходных процессов, если известно, что в разомкнутой системе нет звена с постоянным временным запаздыванием, нет звеньев второго порядка с


0,5 и нет звеньев с отрицательной постоянной времени.
II. Метод интегральных оценок в сравнении с другими критериями из группы косвенных методов обладает тем достоинством, что дает возможность получить в виде одного числа представление сразу о двух основных параметрах переходных процессов: времени регулирования и величине перерегулирования. Он может быть применен как к линейным, так и к нелинейным системам.
Качество переходных процессов в САУ тем выше, чем меньше величина интегрального критерия, в качестве которого могут быть выбраны интегралы следующих видов: а) интегральный критерий
J
1
=
∫
(4.9) применим для монотонных переходных процессов; б) интегрально-квадратичный критерий
J
2
=
∫ [ ]
(4.10) применим для любых, в том числе колебательных переходных процессов; в) обобщенный интегральный критерий
J
3
=
∫ ([ ]
(
)
)
,
(4.11)

где

(t) = y
∞
- y(t) – отклонение выходного сигнала системы y(t) от нового установившегося значения y
∞
;

– коэффициент, определяющий влияние производной на величину интеграла.
Интеграл J
1
(4.9) не является универсальным, применим лишь для процессов без перерегулирования (рис. 4.8, а) и представляет собой площадь под кривой

(t) (рис. 4.8, б). Чем меньше эта площадь, тем ближе график переходного процесса y(t) к ступенчатому сигналу, тем выше качество переходного процесса.
y(t)

(t)

0
(t)
= y
∞
y
∞

(t)
0
t
0
t
а) б)
Рис. 4.8. Отклонение выходного сигнала от нового установившегося значения в монотонном переходном процессе
Однако этот критерий также не всегда дает объективную оценку переходному процессу. Это проявляется при оценке качества медленно затухающих колебательных процессов (рис. 4.9). Величина критерия J
2
в данном случае будет меньше, чем для апериодического (монотонного) переходного процесса с тем же временем регулирования, здесь предпочтение следует отдать апериодическому процессу.
y(t)

(t)

0
(t) = y
∞

(t)
y
∞
0 t
0 t а) б)
Рис. 4.9. Функция

(t) в колебательном переходном процессе и ее учет в критерии J
2
При выборе параметров САУ по критерию J
2
часто получают нежелательную колебательность процесса, так как приближение ε(t) к оси ординат вызывает резкое увеличение начальной скорости, что в свою очередь
+
+
-
-
-

может вызвать большое перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости.
Более объективный результат, плавность протекания процесса дают интегральные критерии, учитывающие величину не только функции

(t), но и ее производных. К ним относится критерий J
3
(4.11), который приближается к своему минимальному значению, когда переходный процесс стремится к желаемой экспоненте. Параметры ее учитываются выбором коэффициента в интеграле J
3
Контрольные вопросы:

1. Что называется качеством управления и зачем его оценивать?
2. Как коэффициент усиления САУ влияет на статизм системы?

3. Будет ли САУ, имеющая в своей структуре интегрирующее звено статической? Почему?
4. На чем основаны прямые методы оценки качества управления?
5. Перечислите прямые методы оценки качества управления.
6. Назовите показатели качества управления, которые можно получить из анализа графика переходного процесса.

7. Что называется косвенными методами оценки качества управления?
8. Косвенные методы оценки качества переходных процессов.

9. Какие показатели качества управления определяет низкочастотная область ЛАЧХ?
10. Какие показатели качества управления определяет среднечастотная область ЛАЧХ?

11. Какую ЛАЧХ называют типовой?
12. Как определить линейный и квадратичный интегральные критерии оценки качества управления?

13. В чем недостатки линейный и квадратичный интегральные критерии оценки качества управления?