Файл: Рекурсия Rekursioon.pptx

Рекурсия Rekursioon

Общий случай проявления рекурсивности может быть сформулирован как наличие циклических взаимных обращений в определении объекта, которые в итоге замыкаются на сам объект.

Бесконечность и незавершенность таких обращений кажущаяся, т. к. при достижении определенных условий самовызовы завершаются.

Во многих конкретных случаях простыми рассуждениями путем отслеживания значений одной или нескольких управляющих величин удается провести доказательство завершимости рекурсивных вычислений за конечное число шагов.

Рекурсия в широком смысле – это определение объекта посредством ссылки на себя.

Рекурсия в программировании – это пошаговое разбиение задачи на подзадачи, подобные исходной.

Рекурсивный алгоритм – это алгоритм, в определении которого содержится прямой или косвенный вызов этого же алгоритма.

Пример 1.

В арифметической прогрессии найдите an, если известны а1 = -2.5, d=0.4,

не используя формулу n-го члена прогрессии.

По определению арифметической прогрессии, an=an-1+d, при этом

an-1=an-2+d, an-2=an-3+d,... a2=a1+d.

Таким образом, нахождение an для номера n сводится к решению аналогичной задачи, но только для номера n-1, что в свою очередь сводится к решению для номера n-2, и так далее, пока не будет достигнут номер 1 (значение а1 дано по условию задачи).

float arifm (int n, float a, float d)

{

if (n<1) return 0; // для неположительных номеров

if (n= =1) return a; // базовый случай: n=1

return arifm(n-1,a,d)+d; // общий случай

}

В программировании выделяют прямую и косвенную рекурсию.

Прямая рекурсия - непосредственное обращение рекурсивной функции к себе, но с иным набором входных данных.

Косвенная (взаимная) - последовательность взаимных вызовов нескольких функций, организованная в виде циклического замыкания на тело первоначальной функции, но с иным набором параметров.

• параметризация – выделяют параметры, которые используются для описания условия задачи, а затем в решении;
• база рекурсии – определяют тривиальный случай, при котором решение очевидно, то есть не требуется обращение функции к себе;
• декомпозиция – выражают общий случай через более простые подзадачи с измененными параметрами.

---

При этом эффективность рекурсивного или итерационного способов решения одной и той же задачи определяется в ходе анализа работоспособности программы на различных наборах данных.

Таким образом, рекурсия не является универсальным способом в программировании. Ее следует рассматривать как альтернативный вариант при разработке алгоритмов решения задач.

Повысить эффективность рекурсивных алгоритмов часто представляется возможным за счет пересмотра этапов триады.

Например, введение дополнительных параметров, не оговоренных в условии задачи, в реализации декомпозиции могут быть применены другие соотношения, а также можно организовать расширение базовых случаев с сохранением промежуточных результатов.

Для каждого текущего обращения формируется локальный слой данных стека (при этом совпадающие идентификаторы разных слоев стека независимы друг от друга и не отождествляются).

Завершение вычислений происходит посредством восстановления значений данных каждого слоя в порядке, обратном рекурсивным обращениям.

В силу подобной организации количество рекурсивных обращений ограничено размером области памяти, выделяемой под программный код. При заполнении всей предоставленной области памяти попытка вызова следующего рекурсивного обращения приводит к ошибке переполнения стека.
Задача о коэффициентах Безу

Для любых натуральных чисел n и m найдите коэффициенты Безу, то есть такие целые a и b, что выполняется равенство: nod(n,m)=a·n+b·m (где nod(n,m) – наибольший общий делитель n и m).



Параметризация.

m, n – данные натуральные числа, неизменяемые параметры;

d – наибольший общий делитель данных чисел, неизменяемый параметр;

bm, bn – коэффициенты Безу при n и m соответственно, эти параметры меняются при очередном рекурсивном вызове функции.



База рекурсии. Если при очередном обращении к функции с передаваемыми параметрами выполняется равенство d=m·bm–n·bn, то коэффициенты Безу найдены. Требуется вывести линейную комбинацию.



Декомпозиция. Если равенство не выполняется, то инкрементно увеличиваем коэффициент при меньшем из чисел (n или m). Следующий вызов рекурсивной функции выполняется с измененным набором отдельных параметров. При этом снова проверяется база рекурсии

---

, и рекурсивный алгоритм повторяется (либо достигается база и функция завершает работу, либо выполняется декомпозиционный переход).

//Коэффициенты Безу

using namespace std;

int nod(int m, int n);

void bezu(int d, int m, int n, int bm, int bn);



int main()

{

int x,y,del,buf;

printf("Задача нахождения коэффициентов Безу");

printf("\nВведите два натуральных числа:");

printf("\nX= ");

scanf("%d",&x);

printf("Y= ");

scanf("%d",&y);

if (x < y) {buf = x; x = y; y = buf;}

del=nod(x,y);

printf("\nЛинейная комбинация:\n");

bezu(del,x,y,1,1);

return 0;

}

//функция нахождения наибольшего

//общего делителя двух чисел

int nod(int m, int n)

{

if (m%n==0) return n;

return nod(n,m%n);

}

//функция нахождения и вывода на экран коэффициентов Безу

void bezu(int d, int m, int n, int bm, int bn){

int pm,pn;

pm = m * bm;

pn = n * bn;

//проверка базы рекурсии (выполнение линейной комбинации)

if (d == pm - pn)

printf ("%d = %d*%d - %d*%d", d, bm, m, bn, n);

//декомпозиция

else {

bn++;

pn=n*bn;

/*если произведение pm больше, чем pn, то порядок

параметров сохраняется*/

if (pm > pn) bezu(d, m, n, bm, bn);

/*если произведение pm меньше, чем pn, то порядок

параметров изменятеся*/

else bezu(d, n, m, bn, bm);

}

}

Функция S(n) вычисляет сумму первых n положительных чисел. Funktsioon S(n) arvutab esimese n positiivse arvu.

S(n) =

S(10) =
Для вычисления S(11) нужно взять предыдущий результат (55) и прибавить к нему 11. Это называется рекурсивным процессом. Arvutamisel S(11) on vaja võtta eelmine tulemus (55) ja liita 11. See protsess nimetatakse rekursiooniks.
S(11) =

Определим степенную функцию xn, где х – действительное число, а n – неотрицательное число. Funktsiooni xn determineerimine (x on reaalarv ja n on positiivne arv). Xn = x * x * x *…* x

n раз korda

20 = 1

21 = 20 * 2 = 1 * 2= 2

22 = 21 * 2 = 2 * 2= 4

23 = 22 * 2 = 4 * 2 =8

24 = 23 * 2 = 8 * 2 =16

Для хn можно определить рекурсивное выражение Rekursiooniline avaldis astelise funktsiooni xn on

Xn =

1, kui n=0

X * X(n-1), kui n > 0

Аналогично Analoogiliselt

S(n) =

1, kui n=1

n + S(n-1), kui n > 1

Ханойская башня.

Ханойская башня.

A

C

B

Ханойская башня является одной из популярных головоломок XIX века.

Даны три стержня, на один из которых нанизаны n колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем.

Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из n колец за наименьшее число ходов с одного стержня на другой. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее.

---

Существует древнеиндийская легенда, согласно которой в городе Бенаресе под куполом главного храма, в том месте, где находится центр Земли, на бронзовой площадке стоят три алмазных стержня. В день сотворения мира на один из этих стержней было надето 64 кольца. Бог поручил жрецам перенести кольца с одного стержня на другой, используя третий в качестве вспомогательного.

Жрецы обязаны соблюдать условия:

• переносить за один раз только одно кольцо;
• кольцо можно класть только на кольцо большего размера или на пустой стержень.

A

C

B

Согласно легенде, когда, соблюдая все условия, жрецы перенесут все 64 кольца, наступит конец света. Для 64 колец это 18 446 744 073 709 551 615 перекладываний, и, если учесть скорость одно перекладывание в секунду, получится около 584 542 046 091 лет, то есть апокалипсис наступит нескоро.

Ситуация, иллюстрирующая перекладывание

7 колец

со стержня А

на В

через вспомогательный С

Кольцо со стержня А можно перенести на стержень В или С, кольцо со стержня В можно перенести на стержень С, однако, нельзя перенести его на стержень А.

Задача состоит в том, чтобы определить последовательность минимальной длины переноса колец.

Решением задачи будем считать последовательность допустимых переносов, каждый из которых имеет вид:

A B, A C, B A, B C, C A, C B.

Если кольцо всего одно, то задача решается за один перенос A В.

Для перемещения двух колец требуется выполнить три действия: A C, A В, C B. Решение задачи для трех колец содержит семь действий, для четырех – 15.

Напишем рекурсивную функцию, которая находит решение для произвольного числа колец.

Параметризация. Функция имеет четыре параметра:

• число переносимых колец,
• стрежень, на который первоначально нанизаны кольца
• стержень, на который требуется перенести кольца,
• стержень, который разрешено использовать в качестве вспомогательного.

База рекурсии. Перенос одного стержня.

Декомпозиция. Последователь-ность переноса четырех колец

Чтобы перенести n колец со стержня A на стержень B, используя стрежень C в качестве вспомогательного, можно поступить следующим образом:

• перенести n–1 кольцо со стержня A на C, используя стержень B в качестве вспомогательного стержня;
• перенести последнее кольцо со стержня A на стержень B;
• перенести n–1 кольцо со стержня C на B, используя стержень A в качестве вспомогательного стержня.

При переносе n–1 кольца можно воспользоваться тем же алгоритмом, т.к. на нижнее кольцо с самым большим диаметром можно просто не обращать внимания.

Перенос одного кольца в программе выражается в том, что выводится соответствующий ход.

---

//Ханойские башни

#using namespace std;

int hanoj(int n, char A, char B, char C);

//Объявление функции перемещения колец с A на C через B



int main()

{

char x='A',y='B',z='C';

int k,h;

printf("Задача о Ханойских башнях");

printf("\nВведите количество колец: ");

scanf("%d",&k);

h=hanoj(k,x,z,y);

printf("\nКоличество перекладываний равно %d",h);

return 0;

}

//Описание функции перемещения колец с A на //C через B

int hanoj(int n, char A, char B, char C)

{

int num;

if (n == 1) {printf("\n %c -> %c", A, C); num = 1;}

else

{

num=hanoj(n-1, A, C, B);

printf("\n %c -> %c", A, C);

num++;

num+=hanoj(n-1, B, A, C);

}

return num;

}

2
3
4	1

3
4	1	2

		1
4	3	2

1
4	3	2

1	2
4	3

	1
	2
4	3

	1
	2
	3	4

1
2
3
4

		2
1	3	4

	1	2
	3	4

	1
2	3	4

1
2	3	4

1		3
2		4

		3
2	1	4

---