Файл: Урок обобщающего повторения по теме Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.pptx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.12.2023
Просмотров: 184
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Теорема о параллельных прямых.
Определите: верно, ли утверждение?
1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны.
2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в
одной плоскости, параллельна другой плоскости?
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
перпендикулярна и другой плоскости.
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
8. Отрезки прямых, заключенные между
параллельными плоскостями, равны.
Урок обобщающего повторения по теме «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. pptcloud.ru
ВыводКак в пространстве можно однозначно задать плоскость?1. По трем точкам2. По прямой и не принадлежащей ей точке.3. По двум пересекающимся прямым.4. По двум параллельным прямым.
НетДаНетДаНетДаОпределите: верно, ли утверждение?Дано: АВСD-параллелограмм А, В, С αДоказать: D αАВСD••••Доказательство:А, В АВ, С,D СD,АВ СD (по определению параллелограмма) АВ, СD α D αпересекаютсяпараллельныаааbbbскрещиваютсяЛежат в одной плоскостиНе лежат в одной плоскостиВзаимное расположение прямых в пространстве.Доказательство:асв1вβα В1 случай. а, в, с α рассмотрен в планиметрии 2 случай. а, в α; а, с β 1. Возьмем т.В, В в Через т.В и с проведемплоскость α = в12. Если в1 β = Х, Х а, в1 α, но Х с, т.к. в1 , а т.к. а с в1 β 3.в1 α, в1 а в1 а в1 = в (А параллельных прямых)4. в сТеорема доказана.• Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны
не лежатдвепрямуюпараллельнымилежатскрещивающиесяЗадание 2 Определите: верно, ли утверждение?
НетНетДаДаНетЗадание 2 Определите: верно, ли утверждение?
НетНетНетДаА ВСС1А1αЗадание 3Дано: ВС=АС, СС1 АА1,АА1=22 смНайти: СС1Решение:АА1СС1,АС = ВС С1– середина А1В (по т.Фалеса) С С1- средняя линия ∆АА1В С С1= 0,5АА1 = 11 смОтвет: 11см.aсВзаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.bКЕсли прямая, не лежащая в данной плоскости,параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости , то она параллельна и самой плоскости.Дано:Доказать:1.Через прямые a и b проведем плоскость αПусть , , α2. α β = bЕсли a β = Х, то Х b, это невозможно, т.к. α ba β a β
Теорема доказана.Дано: а αа β; β ∩ α = вДоказать: а вДоказательство: а, в βПусть в ∩ а, тогда а ∩ α, что противоречит условию.Значит в а Задание 2αβавAВСПлоскость проходит через сторону АС АВС. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE α DEДоказательство:1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 2. DE – средняя линия (по определению) DE АС (по свойству) DE α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)Расположение плоскостей в пространстве.α βα и βсовпадаютα βПризнак параллельности двух плоскостей.Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.Дано: а b = M, a , b .a₁ b₁, a₁ , b₁ . a a₁, b b₁.Доказать: аа₁bb₁McДоказательство:Тогда а , а , = с, значит а с.2. b , b , = с, значит b с.3. Имеем, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего быть на может. Значит .1. Пусть = с.ТеоремаЧерез точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную.βа1•Аαплоскость α,в1ваДоказать:Доказательство.Дано: точка А вне плоскости α.существует плоскость β║α, проходящая через точку А1. В плоскости α проведём прямые а∩в.Через точку А проведём а1║аи в1║в.По признаку параллельности плоскостей прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.Существование плоскости β доказано.β•АαДокажем единственность плоскости β методом от противного.•С
•Ввсβ1Допустим, что существует плоскость β1, которая проходит через т. А и β1 α.Отметим в плоскости β1 т. С β. Отметим произвольную т. В α.Через точки А, В и С проведем γ.γ ∩ α = в,γ ∩ β1 = с.γ ∩ β = а,аа и с не пересекают плоскость α,значит они не пересекают прямую в,а в и с вПолучили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может. наше предположение ложное.Единственность β доказана. аbЕсли две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Свойство параллельных плоскостей.Дано: α β, α = a β = bДоказать: a bДоказательство:1. a , b 2. Пусть a b,тогда a b = М3. M α, M β α β = с (А2)Получили противоречие с условием.Значит a b ч. т.д.Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.Свойство параллельных плоскостей.АВСDДоказать: АВ = СDДано: α β, АВ СDАВ α = А, АВ β = В,СD α = С, СD β = DДоказательство:1. ЧерезАВ СD проведем 2.α β, α = a, β = b 3. АС В D,4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)5. АВСД – параллелограмм (по опр.) АВ = СD ( по свойству параллелограмма)
Аксиомы группы С.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
АКDBСАксиомы группы С.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
СсАксиомы группы С.
Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
abСЧерез любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. mМСледствия из аксиомТ1Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскостиmАВСледствия из аксиомЧерез 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. МАВСледствия из аксиомЧерез две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна. mкСледствие из Т1| Способы задания плоскостей | Рисунок |
- Сколько существует способов задания плоскости?
- Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?
| 1. Любые три точки лежат в одной плоскости. | |
| 2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости. | |
| 3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. | |
| 4. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. | |
| 5. 5 точек не лежат в одной плоскости. Могут ли какие–нибудь 4 из них лежать на одной прямой? | |
| 6. Через середины сторон квадрата проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью квадрата? |
НетДаНетДаНетДаОпределите: верно, ли утверждение?Дано: АВСD-параллелограмм А, В, С αДоказать: D αАВСD••••Доказательство:А, В АВ, С,D СD,АВ СD (по определению параллелограмма) АВ, СD α D αпересекаютсяпараллельныаааbbbскрещиваютсяЛежат в одной плоскостиНе лежат в одной плоскостиВзаимное расположение прямых в пространстве.Доказательство:асв1вβα В1 случай. а, в, с α рассмотрен в планиметрии 2 случай. а, в α; а, с β 1. Возьмем т.В, В в Через т.В и с проведемплоскость α = в12. Если в1 β = Х, Х а, в1 α, но Х с, т.к. в1 , а т.к. а с в1 β 3.в1 α, в1 а в1 а в1 = в (А параллельных прямых)4. в сТеорема доказана.• Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны
Теорема о параллельных прямых.
КabДано: К aДоказать: ! b: К b, b aДоказательство:1.Проведем через прямую a и точку К плоскость α. 2.Проведем через т. Кα прямую b, b a.(А планиметрии)Единственность (от противного)1.Пусть b1: К b1 , b1 a .Через прямые a и b1 можно провести плоскость α1. 2. a , К α1; α1 и α (Т о точке и прямой в пространстве).3. b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана. Задание 1 Вставьте пропущенные слова- Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они на одной прямой.
2) Если точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются в пространстве, если они не пересекаются и в одной плоскости.
5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
В
не лежатдвепрямуюпараллельнымилежатскрещивающиесяЗадание 2 Определите: верно, ли утверждение?
| 1. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. | |
| 2. Если прямые не пересекаются, то они параллельны. | |
| 3. Прямая m параллельна прямой n, прямая m параллельна плоскости α. Прямая n параллельна плоскости α. | |
| 4. Все прямые пересекающие стороны треугольника лежат в одной плоскости. | |
| 5. Прямая АВ и точки С, D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые АВ и СD пересекаться? |
| 6. Прямые АВ и СD пересекаются. Могут ли прямые АС и ВD быть скрещивающимися? | |
| 7. Прямые а и в не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и в? | |
| 8. Прямая а, параллельная прямой в, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой в. Может ли прямая с лежать в плоскости α? | |
| 9. Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли на плоскости α прямые, непараллельные а? |
Теорема доказана.Дано: а αа β; β ∩ α = вДоказать: а вДоказательство: а, в βПусть в ∩ а, тогда а ∩ α, что противоречит условию.Значит в а Задание 2αβавAВСПлоскость проходит через сторону АС АВС. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE α DEДоказательство:1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 2. DE – средняя линия (по определению) DE АС (по свойству) DE α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)Расположение плоскостей в пространстве.α βα и βсовпадаютα βПризнак параллельности двух плоскостей.Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.Дано: а b = M, a , b .a₁ b₁, a₁ , b₁ . a a₁, b b₁.Доказать: аа₁bb₁McДоказательство:Тогда а , а , = с, значит а с.2. b , b , = с, значит b с.3. Имеем, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего быть на может. Значит .1. Пусть = с.ТеоремаЧерез точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную.βа1•Аαплоскость α,в1ваДоказать:Доказательство.Дано: точка А вне плоскости α.существует плоскость β║α, проходящая через точку А1. В плоскости α проведём прямые а∩в.Через точку А проведём а1║аи в1║в.По признаку параллельности плоскостей прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.Существование плоскости β доказано.β•АαДокажем единственность плоскости β методом от противного.•С
•Ввсβ1Допустим, что существует плоскость β1, которая проходит через т. А и β1 α.Отметим в плоскости β1 т. С β. Отметим произвольную т. В α.Через точки А, В и С проведем γ.γ ∩ α = в,γ ∩ β1 = с.γ ∩ β = а,аа и с не пересекают плоскость α,значит они не пересекают прямую в,а в и с вПолучили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может. наше предположение ложное.Единственность β доказана. аbЕсли две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Свойство параллельных плоскостей.Дано: α β, α = a β = bДоказать: a bДоказательство:1. a , b 2. Пусть a b,тогда a b = М3. M α, M β α β = с (А2)Получили противоречие с условием.Значит a b ч. т.д.Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.Свойство параллельных плоскостей.АВСDДоказать: АВ = СDДано: α β, АВ СDАВ α = А, АВ β = В,СD α = С, СD β = DДоказательство:1. ЧерезАВ СD проведем 2.α β, α = a, β = b 3. АС В D,4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)5. АВСД – параллелограмм (по опр.) АВ = СD ( по свойству параллелограмма)