Файл: Определение тангенса и котангенса угла.docx

Скачать файл (0,10Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.12.2023

Просмотров: 29

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Тема: Определение тангенса и котангенса угла
Составьте конспект, ответив на вопросы:

1. Дайте определение тангенса и котангенса любого угла.

2. Запишите знаки тангенса, котангенса по четвертям.

3. Запишите формулы четности, нечетности тангенса, котангенса.

4. Запишите период тангенса, котангенса

5. Выполните задания:

Определите знаки следующих выражений:

а) sin 5̊ ·cos 115̊ ·tg 225̊ ·ctg 235̊

б) cos 68̊ ·sin 246̊ ·tg 135̊ ·ctg235̊

в) tg 35̊ · tg 135̊ ·tg 235̊ ·ctg 72̊

Вычислите:

а) 2sin30̊ -tg45̊ +2ctg45̊ +cos90̊

б) 3 – sin²π – 2cos

+ 3tg

- 4ctg

в) ctg 3660̊ г) tg

д) ctg

е) tg(-45̊ ) ж) сtg(-240̊ )

з) tg

л) tg

Литература: Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учебное пособие, Лань 2020., Стр.32-38

Режим доступа: https://e.lanbook.com/reader/book/126952
Срок выполнения – до 20 ноября 2020г.
Выполненные задания присылать на электронную почту:

2021.ivanova@mail.ru

Тема письма: Воробьев А., ОЖЭС-112, 16 ноября

Определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Тангенс угла (tg αtg α) - отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg αctg α) - отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

П

риведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С тангенс угла А равен отношению катета BC к катету AС.

В треугольнике ABC с прямым углом котангенс угла А равен отношению катета АC к катету ВС.

Определения тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
О

пределения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов. Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от −∞ до +∞.

Можно дать определение тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x, y).

Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A1(x, y) к ее абсциссе.

Котангенс угла поворота α - это отношение абсциссы точки A1 (x, y) к ее ординате.

Синус и косинус определены для любого угла поворота, т.к. абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, −1). В таких случаях выражение для тангенса

просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°⋅k, k∈Z

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°⋅k, k∈Z (α=π⋅k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота α". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Знаки тангенса и котангенса по четвертям

Рассмотрим единичную окружность и определи знаки тангенса и котангенса по четвертям

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс).

tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x < 0, y < 0).

Во II и IV координатных четвертях тангенс угла отрицательный (т.к. знаки х и у не совпадают)

Для наглядности отметим знаки тригонометрической функции —тангенса — в координатной плоскости. Знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Получим следующую картинку:

Периодичность функций tg φ и ctg φ
Мы знаем, что тангенс угла φ равен ординате соответствующей точки В на оси тангенсов . При повороте вектора ОА, образующего с осью абсцисс угол φ, на 180° против часовой стрелки вектор изменит свое направление на противоположное, но соответствующая точка В на оси тангенсов останется прежней. Поэтому не изменится и тангенс угла.
Следовательно, при любом φ tg (φ + 180°) = tg φ. Это означает, что функция tg φ является периодической с периодом 180°. Аналогично, для котангенса любого угла φ сtg (φ + 180°) = сtg φ.
Четность тригонометрических функций. Углы φ и —φ образуются при повороте луча в двух взаимно противоположных направлениях (по часовой стрелке и против часовой стрелки).
Поэтому конечные стороны OA₁ и ОА₂ этих углов симметричны относительно оси абсцисс. Координаты векторов единичной длины OA₁ = (х₁ , у₁) и ОА₂= (х₂, y₂) удовлетворяют соотношениям: х₂ = х₁y₂ = —у₁ Поэтому cos(—φ) = cosφ, sin (— φ) = —sin φ, Следовательно, синус является нечетной, а косинус — четной функцией угла.
Далее имеем:
Поэтому тангенс и котангенс являются нечетными функциями угла.