МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, НГУ)


Утверждаю:

Ректор

________________________________

«_____»____________________201__г.


МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Рабочая программа дисциплины

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Направление подготовки

010100 – «Математика»


Квалификация (степень)

Бакалавр


Форма обучения

Очная

Новосибирск – 2016 год

1. Цели освоения дисциплины

Целью двухлетнего курса «Математического анализа» является усвоение студентами основных понятий и базовых положений дифференциального и интегрального исчисления функций одного и многих переменных, теории меры, теории пространств непрерывных и интегрируемых функций, теории гильбертовых пространств и анализа Фурье. Одновременно решается задача формирования общематематической культуры мышления и изложения, освоения принципов рассуждения и доказательства, самостоятельной работы с литературой. Курс занимает центральное место в математическом образовании и нацелен на формирование устойчивых практических навыков решения задач как непосредственно относящихся к предмету курса, так и возникающих в других математических дисциплинах.
2. Место дисциплины в структуре бакалаврской программы

Дисциплина «Математический анализ» является частью математического цикла ООП по направлению подготовки 010100 - «Математика».

Знания, полученные при освоения дисциплины «Математический анализ», необходимы при изучении следующих дисциплин данной ООП:

• 
  Дифференциальные уравнения;
  
• 
  Дифференциальная геометрия;
  
• 
  Теоретическая механика;
  
• 
  Функциональный анализ;
  
• 
  Методы вычислений;
  
• 
  Уравнения математической физики;
  
• 
  Математическое моделирование;
  
• 
  Механика сплошных сред;
  
• 
  Теория вероятностей и математическая статистика;
  
• 
  Риманова геометрия;
  
• 
  ТФКП.
  

---

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля) Изучение дисциплины направлено на формирование следующих общекультурных компетенций ОК-6, ОК-8, ОК-11, ОК-12 и профессиональных компетенций ПК-12, ПК-20, ПК-21, ПК-25, ПК-29 выпускника.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

• 
  знать фундаментальные факты теории предела, дифференциального и интегрального исчисления функций одной и многих переменных, теории меры, теории пространств непрерывных и интегрируемых функций, анализа Фурье, анализа на многообразиях;
  
• 
  уметь применять эти факты при решении практических и теоретических вопросов в различных областях естествознания;
  
• 
  уметь грамотно и обоснованно представлять в устной и письменной форме свои выводы и результаты.
  

4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Математический анализ»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 28 зачетных единиц, 1008 часов, из которых 544 часа отводятся под аудиторную работу: 272 часа лекционных и 272 часа практических занятий и контрольных работ. Остальные часы отведены под самостоятельную работу студентов, сдачу зачетов и экзамены.

№ п/п	Раздел дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)					Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
				Лекция	Семинары	Самост. работа	Контр. работа	Зачет
1	Предел и непрерывность функций одной переменной: общематематические понятия, аксиоматическое описание вещественных чисел, топология вещественной прямой, предел последовательности и его свойства, частичные пределы. Экспонента и её свойства. Предел функции и его свойства, непрерывные функции и основные теоремы о непрерывных функциях. Модели вещественных чисел и понятие мощности множества.	1	1-8	32	30	40	2	0	Коллоквиум, контрольная работа
2	Дифференциальное исчисление функций одной переменной: дифференцируемые функции, основные свойства дифференцируемых функций, теорема Лагранжа о конечных приращениях, производные высших порядков, формула Тейлора, применение производных к исследованию свойств функции: монотонность, выпуклость, точки экстремума, точки перегиба, асимптоты, построение графиков	1	9-16	32	32	40	1	0	Коллоквиум, контрольная работа
3	Числовые ряды: сходимость ряда, абсолютная сходимость, условная сходимость, основные признаки сходимости. Теорема Римана о перестановках ряда. Суммируемые семейства. Произведение рядов. Ряд экспоненты и формула Эйлера.	1	17-18	8	6	8	1	0	Контрольная работа
		1						36	Зачет, экзамен
4	Первообразная и интеграл: первообразная, интеграл Римана, свойства интеграла, признаки интегрируемости. Приложения интеграла. Несобственный интеграл, признаки сходимости.	2	1-8	32	32	34	2	0	Коллоквиум, контрольная работа
5	Функциональные ряды: бесконечные произведения, равномерная сходимость, степенные ряды. Дифференцирование и интегрирование рядов.	2	9-11	14	12	18	1	0	Контрольная работа
6	Метрические пространства: метрические пространства, предел и непрерывность, компактные метрические пространства. Нормированные пространства	2	12-16	18	16	20	1	0	Коллоквиум, контрольная работа
		2						36	Зачет, экзамен
7	Дифференциальное исчисление функций многих переменных: дифференциал, основные законы дифференцирования, производные и дифференциалы высших порядков, формула Тейлора, экстремум, теоремы об обратной функции. Основы гладкого анализа: теорема о неявной функции, вложенные многообразия, понятие касательного и нормального пространств, задача на условный экстремум	3	1-6	24	22	40	2	0	Коллоквиум, контрольные работы
8	Интеграл Лебега: пространство со счетно-аддитивной мерой на полукольце, элементарный интеграл от ступенчатой функции и его свойства, интегральная норма и ее свойства, пространство интегрируемых функций и его свойства, теоремы Беппо Леви и Лебега, измеримые функциии и их свойства, сравнение с интегралом Римана, теорема Фубини, формула замены переменной.	3	7-18	48	46	48	2	0	Коллоквиум, контрольные работы
		3						36	Зачет, экзамен
9	Интегралы, зависящие от параметра и интегралы по поверхностям: собственные и несобственные интегралы, несобственный интеграл Лебега, основные свойства интегралов, зависящих от параметра, эйлеровы интегралы. Мера Хаусдорфа, формулы площади и коплощади.	4	1-4	16	15	18	1		Контрольная работа
10	Элементы исчисления внешних дифференциальных форм: алгебра внешних дифференциальных форм, лемма Пуанкаре, интегрирование форм, многообразия с краем и индуцированная ориентация, формула Стокса, поля и формы, формулы векторного анализа, теорема Брауэра о неподвижной точке	4	5-10	24	22	27	2	0	Коллоквиум, контрольные работы
11	Ряды Фурье и преобразование Фурье: гильбертов базис, свертка, дельта-образные семейства, теорема об аппроксимации единицы, ряды Фурье, лемма Римана-Лебега, ядра Дирихле и Фейера, полнота тригонометрической системы, преобразование Фурье.	4	11-16	24	23	27	1		Коллоквиум, контрольная работа
								36	Зачет, экзамен
				272	256	320	16	144

---

А) Лекции

I семестр

Раздел 1. Предел и непрерывность функций одной переменной(32 часа)
1. Числа.

1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел N={0,1,2,3,…}, целые числа Z={0, ±1, ±2,±3,…}, рациональные числа Q={m/n: mZ, nN} и множество вещественных чисел R. Геометрическая интерпретация множеств рациональных и вещественных чисел.

1.2. Принцип математической индукции. Натуральные числа и принцип математической индукции. Неравенство Бернулли. Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим. Бином Ньютона.

2. Множества

2.1. Операции и отношения. Отношения принадлежности и включения. Операции над множествами (объединение, пересечение и разность). Математические высказывания и кванторы. Прямое произведение множеств и его свойства.

2.2. Понятие и свойства функций. Общее понятие функции и отображения. Понятие образа и прообраза точки (множества). Суперпозиция отображений и ее свойства. Сужение отображения. Инъективные, сюръективные и биективные отображения. Понятие

обратного отображения и критерий его существования. График отображения.

2.3. Вещественные функции. Последовательности. Примеры.

3. Линейный порядок на множестве вещественных чисел.

3.1. Линейный порядок. Определение линейного порядка. Cогласованность с алгебраическими операциями. Понятие наибольшего и наименьшего элементов числового множества. Существование наибольшего и наименьшего элементов конечного числового множества.

3.2. Свойства натуральных чисел. Существование наименьшего элемента в подмножестве натуральных чисел. Неограниченность множества натуральных чисел.

3.3. Расширенная числовая прямая.

3.4. Супремум и инфимум. Понятие точной верхней sup и точной нижней inf грани числового множества. Признак точной верхней и нижней граней. Точные верхние и нижние грани промежутка. Соотношения для sup и inf вложенных множеств. Примеры.

3.5. Верхняя и нижняя границы вещественной функции. Ограниченные функции. Точные верхние и нижние границы числовых функций. Признак точных верхних и нижних граней числовых функций.

3.6. Аксиома непрерывности. Аксиома непрерывности вещественной прямой. Теорема о существовании точных верхней и нижней граней числового множества. Теорема (принцип) Архимеда и его следствия. Свойства плотности рациональных и иррациональных чисел.

4. Предел последовательности

---

.

4.1. Определение предела последовательности. Примеры. Единственность

предела.

4.2. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

4.3. Свойства предела. Теорема о пределе промежуточной последовательности. Предел и алгебраические операции. Теорема о предельном переходе в неравенствах.

4.4. Определение и существование верхнего и нижнего пределов последовательности.

4.5. Частичные пределы последовательности. Лемма о множестве частичных пределов.

4.6. Теорема Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности.

4.7. Понятие фундаментальной последовательности. Критерий Коши существования предела.

4.8.Число e и функция exp(x) как пределы последовательностей. Свойства функции exp(x).

4.9. Ряды. Понятие сходящегося ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий сходимости Коши. Признаки сравнения, Даламбера, Коши. Телескопический признак сходимости.

5. Предел вещественной функции.

5.1. Определение предела функции и примеры. Единственность предела функции.

5.2. Свойства предела. Теорема о пределе монотонной функции. Теорема о пределе промежуточной функции. Предел функции и алгебраические операции. Теорема о предельном переходе в неравенствах. Теорема о пределе композиции функций.

5.3. Критерии существования предела. Частичный предел функции. Верхний и нижний пределы функции. Критерий Гейне существования предела. Критерий Коши существования предела функции.

5.4. Классические пределы.

5.5 Асимптотические отношения сравнения. Символы O-большое и o-малое, правила оперирования с ними. Основные разложения. Примеры.

6. Непрерывные функции.

6.1. Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность и арифметические операции. Непрерывность композиции функций. Критерий непрерывности Гейне. Класс непрерывных функций C(A).

6.2. Точки разрыва первого и второго рода. Точки устранимого разрыва. Примеры.

6.3. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях на замкнутых промежутках. Теорема Больцано - Коши о промежуточных значениях.

6.4. Признак Больцано строгой монотонности. Теорема о существовании непрерывной обратной функции.

7. Модели множества вещественных чисел.

7.1. Аксиомы алгебраических операций (аксиомы поля). Аксиомы порядка. Согласованность с алгебраическими операциями.

7.2. Сечения Дедекинда.

7.3. Классы эквивалентности фундаментальных последовательностей.

---

7.4. Бесконечные десятичные дроби.

8. Топология вещественной прямой.

8.1. Элементарные окрестности на расширенной числовой прямой. Понятие окрестности. Свойства окрестностей фиксированной точки. Понятие открытого множества.

8.2. Понятие точки прикосновения числового множества. Предельные и изолированные точки числового множества. Предельные точки отрезка и множества всех натуральных чисел.

8.3. Замкнутые множества. Замкнутость множества точек прикосновения числового множества на расширенной числовой прямой.

8.4. Полнота множества вещественных чисел. Полнота R и аксиома непрерывности. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора). Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля - Лебега). Лемма о предельной точке (принцип Больцано -Вейерштрасса).

9. Мощность множества и несчётность отрезка вещественной прямой.

9.1. Мощность множества. Определение и свойства мощности множества. Теорема Кантора - Бернштейна (без доказательства). Конечные множества. Критерий конечности множества.

9.2. Счётные множества. Подмножества счётного множества. Декартово произведение и объединение счётных множеств. Примеры счётных множеств. Теорема о точках разрыва монотонной функции.

9.3. Теорема Кантора о несчётности вещественного отрезка.

---

Смотрите также файлы

• Полное исследование функции Построение графиков.docx

• Фольклор воспитателей детского сада.docx

• Домашнее задание по истории. Подготовила ученица 10б класса Кузнецова Полина Вопрос 1.docx

• Жизнь и философии Сократа.docx

• Практическая 1.docx