Файл: Учебноисследовательская работа тема работы Интерполяция аналоговых сигналов Гареева В. И. студент гр. М40202С21.docx

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема работы: «Интерполяция аналоговых сигналов»

Выполнил: Гареева В.И.

студент гр.М40-202С-21

Консультировал: Лиханский В.И.

Москва

2023

Содержание

Введение

Базовой теоретической моделью при цифровой обработке сигналов являются сигналы с ограниченным спектром, поскольку именно для таких сигналов дискретизация и восстановление потенциально могут быть выполнены точно.

Процедура восстановления сигнала с ограниченным спектром определяется рядом Котельникова. Однако практическая реализация этой процедуры затруднена, поскольку, из-за неограниченности во времени функций Котельникова, для определения любого значения , требуется располагать всеми отсчётами сигнала и выполнить бесконечно большое количество операций умножения и сложения. Это обуславливает поиск приближённых решений задачи восстановления сигналов, предполагающих простую физическую реализацию.

Восстановление аналоговых сигналов в математическом плане сводится к задаче интерполяции, то есть нахождения такой функции , называемой интерполирующей, которая в моменты дискретизации , принимает значения, совпадающие с значениями сигнала, а в остальные моменты времени описывает восстанавливаемый сигнал с той или иной степенью точности. Решение задачи интерполяции неоднозначно. Классификация методов интерполяции представлена на рис.1.

Интерполяция на основе ряда Котельникова является линейной, глобальной, регулярной и изотропной. Перечисленные признаки желательно сохранить и при поиске приближённых решений задачи интерполяции, полагая, что они обусловлены неотъемлемыми свойствами сигналов с ограниченным спектром. Однако только глобальность интерполяции рядом Котельникова обуславливает принципиальные трудности при физической реализации. Поэтому приближённые решения задачи восстановления сигналов обычно рассматривают в классе линейных, локальных, регулярных и изотропных методов.

---

При переходе к приближённому решению задачи восстановления сигнала с ограниченным спектром, единственность решения понимается асимптотически и выражается наложением условия сходимости интерполяционного процесса, которое гарантирует, что рано или поздно увеличение информации о восстанавливаемом сигнале приведёт к его более точному восстановлению. Требуемая точность восстановления сигнала, при выполнении условия сходимости, может быть достигнута предварительным выбором периода дискретизации.



Рис.1. Классификация методов интерполяции.

Алгебраическая интерполяция

Табличное задание функции:

При алгебраической интерполяции для представления информации о функции f(x) используется таблица значений этой функции:

			…
			…

Для интерполирования функций с большим числом узлов, применяют локальную интерполяцию. Для этого заданную сетку делят на несколько интервалов с небольшим числом узлов и на каждом из интервалов строят свой интерполяционный полином, поэтому локальную интерполяцию еще называют кусочно-полиномиальной.

Простейшие способы интерполяции

Простейшим способом интерполяции функции f по таблице является ступенчатая интерполяция. Один из ее вариантов формулируется так:



То есть за значение функции берется значение функции f(x) в точке, ближайшей к рассматриваемой. Более точным способом интерполяции является кусочно-линейная интерполяция. При таком подходе значение f(x) интерполируется по двум соседним с точкой x точкам:

---

(здесь подразумевается монотонное возрастание последовательности ) Интересно понять, с какой точностью интерполяционные формулы аппроксимируют функцию . Предположим, что производная функции ограничена величиной . Тогда на отрезке функция не может отклониться от линейной интер





Рис.2. Тип и описание методов интерполяции.

Интерполяционные полиномы

Алгебраическим интерполяционным многочленом называется многочлен степени не выше , принимающий в точках значения

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Рассматриваемый метод интерполяции не является регулярным, однако мы обратим на него внимание, поскольку на нём основаны подходы к построению локальных регулярных методов.

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел (x0;y0), (x1;y1), …, (xn;yn), где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi. В простейшем случае (n=1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

---

, где базисные полиномы определяются по формуле:



обладают следующими свойствами:

1. 
   являются многочленами степени n
   
2. 
   = 1
   
3. 
   = 0 при i j
   

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация lj(x), может иметь степень не больше n, и L(xj) = yj.

Пусть для функции f(x) известны значения yj = f(xj) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как:



В частности,

Значения интегралов от lj не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность xi.

Случай равномерного распределения узлов интерполяции

В случае равномерного распределения узлов интерполяции xi выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0:



и, следовательно,
Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим



Теперь можно ввести замену переменной и получить полином от y, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.



Рис.3. Алгоритм вычисления многочлена Лагранжа.

.

Интерполяция многочленом Лагранжа даёт приемлемые результаты на всём интервале интерполяции при n  8 . При большем числе узлов интерполяции поведение интерполирующей функции в некоторой области вблизи левой и правой границ интервала интерполяции становится геометрически непредсказуемым: часто имеет место сильная «раскачка» графика интерполирующей функции между узлами интерполяции. При этом внутри интервала интерполяции (вблизи его середины) интерполирующая функция вполне сохраняет геометрическую предсказуемость.

---

При неограниченном увеличении количества узлов интерполяции N   интерполирующая функция на основе многочлена Лагранжа асимптотически переходит в интерполирующую функцию на основе ряда Котельникова.



Рис.4. Базисные функции многочлена Лагранжа при n 7.



Рис.5. Пример интерполяции многочленом Лагранжа при n 21.

Интерполяционный ряд Котельникова

Умножение непрерывного и бесконечного спектра на Π{\displaystyle \Pi \,\!}-импульс в пределах главного диапазона отобразится в динамической области сверткой двух функций:

F⋅s(f)=F⋅S(f)⊗sinc(πFt){\displaystyle F \cdot s (f) = F \cdot S(f) \otimes sinc (\pi F t) \,\!}

s(t)=sinc(πFt)⊗∞∑k=−∞s(kΔt)δ(t−kΔt){\displaystyle s (t) = sinc (\pi F t) \otimes \sum_{k = - \infty}^{\infty} s (k \Delta t) \delta (t - k \Delta t) \,\!}

Отсюда, с учетом равенства δ(t−kΔt)⊗sinc(πFt)=sinc[πF(t−kΔt)]{\displaystyle \delta (t - k \Delta t) \otimes sinc (\pi F t) = sinc [\pi F (t - k \Delta t)] \,\!}, получаем:

s(t)=∞∑k=−∞s(kΔt)sinc[πF(t−kΔt)](4.6){\displaystyle s (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} s (k \Delta t) sinc [\pi F (t - k \Delta t)] \qquad {\color{Maroon}(4.6)} \,\!}

Эта формула носит название интерполяционного ряда Котельникова и, по существу, является разложением сигнала по системе ортогональных функций sinc[πF(t−kΔt)]=sinc[π(t/Δt−k)]{\displaystyle sinc [\pi F (t - k \Delta t)] = sinc [\pi (t / \Delta t - k)]\,\!}. С другой стороны, эта формула представляет собой свертку дискретной функции данных s(kΔt){\displaystyle s( k \Delta t) \,\!} с непрерывной функцией интегрального синуса. Для больших массивов дискретных данных точность восстановления сигнала обычно ограничивается интервалом задания функции интегрального синуса, по которому устанавливается интервал суммирования.

Вывод

Недостатки интерполяции:

1. 
   В случае локальной интерполяции получается несколько интерполирующих функций, с которыми неудобно работать.
   
2. 
   В случае глобальной интерполяции при достаточно большом количестве пар точек получается достаточно сложная интерполирующая функция.
   
3. 
   Если исходная таблично заданная функция содержит в себе погрешность, то интерполирующая функция также будет «копировать» эту погрешность и не даст необходимого достоверного результата.
   

---