МИНОБРНАУКИ РОССИИФедеральное государственное образовательное учреждение высшего образования«Юго-Западный государственный университет»(ЮЗГУ)Кафедра программной инженерииЛабораторная работа №1 по дисциплинеВычислительная математикаВыполнил: студент группы ПО 01зРыков И.Ю.Проверила: доцент, Кочура Е. П.Курск 2022КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯПолучаемое на ЭВМ решение y почти всегда, за редким исключением, содержит погрешность, т.е. является приближенным.1. Основные источники и классификация погрешностей математического моделированияа) математическая модель является приближенным описанием реальной научной, инженерной или иной практической задачи;б) исходные данные содержат погрешности, т.к. они получены в результате измерений или других расчетов;в) математические методы в большинстве случаев являются приближенными;г) из-за ограниченности разрядности вычислительной машины и используемых способов представления чисел в ЭВМ при вводе и выводе, а также при выполнении арифметических операций производятся округления, т.е. для представления числа используется меньше разрядов, чем в самом числе. Обычно используются два способа округления: по усечению и дополнению.Величина погрешности _н, соответствующая первым двум причинам называется неустранимой погрешностью. Погрешность _м источником которой является вычислительный метод называется погрешностью метода. Погрешность _в, возникающая при вводе и выводе чисел, а также при выполнении арифметических операций на ЭВМ, называется вычислительной погрешностью.Максимальная относительная погрешность округления, возникающая в ЭВМ при вводе и выводе вещественных чисел, а также при выполнении арифметических операций с этими числами называется машинным эпсилон _..Минимальное по модулю число, представимое в ЭВМ называется машинным нулем. Любое меньшее по модулю число в ЭВМ будет представлено как нуль.

---

Машинное эпсилон определяется количеством разрядов в ячейке памяти, которое отводится для хранения мантиссы числа, а машинный нуль определяется количеством разрядов, которое отводится для хранения порядка.2. Абсолютная и относительная погрешность. Количество верных знаков в числеПусть a-точное значение некоторой величины, которое может быть и неизвестно, а^*-известное приближенное значение этой величины. Положительная величина называется абсолютной погрешностью величины a. Отношение абсолютной погрешности величины а к ее абсолютному значению называется относительной погрешностью. (2.1)Максимальное значение (а) называется предельной абсолютной погрешностью и обозначается (а). Соответственно предельная относительная погрешность равна: . (2.2)Обычно слово “предельное” опускают и под абсолютной и относительной подразумевают абсолютную и относительную предельные погрешности.На практике, в таблицах часто вместо погрешности указывается количество верных знаков. Количество верных знаков в числе отсчитывается от первой значащей цифры числа до первой значащей цифры абсолютной погрешности.3. Погрешности арифметических операций:а) при сложении и вычитании двух величин их абсолютные предельные погрешности складываются: . (2.3)б) при умножении и делении двух величин на друга их относительные предельные погрешности складываются: , (2.4) . (2.5)в) при возведении в степень приближенной величины ее относительная предельная погрешность умножается на показатель степени: . (2.6)4. Погрешность функцийПусть а-приближенное значение аргумента x функции y=f(x), а а- абсолютная погрешность аргумента, т.е.

---

При а<<1 для оценки абсолютной погрешности и относительной погрешностей функции используются следующие определение/

Абсолютной погрешностью функции y называется произведение модуля производной функции на абсолютную погрешность аргумента, а относительной погрешностью функции y называется отношение абсолютной погрешности функции к ее абсолютному значении, т.е.

(2.7)

Аналогичные соотношения можно записать для функции нескольких переменных, например, если U=f(x,y,z), то при:



имеет:

(2.8)

где частные производные, по соответствующим аргументам.
5. Определение машинного нуля и машинного эпсилон.

Для определения машинного нуля необходимо в цикле провести вычисления отношения y=1/x_i, x_i=10^-i, i=1, 2,…. Как только величина x_i станет меньше машинного нуля, произойдет деление на нуль. Предыдущее значение x_i и будет машинным нулем.

При выполнении операции сложении двух чисел 1+ начиная с некоторого <<1 из-за округления будет получено результирующее число 1. Поскольку точное значение суммы должно быть равно 1+, а получаемое значение равно 1, то для абсолютной погрешности суммы имеем: (1+)=1+-1=. Так как по определению машинное эпсилон _ есть относительная погрешность округления, то получаем

.

Таким образом, если определить такое наибольшее значение  при котором 1+=1, то это значение будем равно _..

С этой целью в цикле достаточно организовать вычисление последовательности: _n+1=_n/2, n=0,1,..., начиная с ₀=1 и проверку выполнения условия 1+_n+1=1. Так как при некотором значении n из-за погрешности округления условие 1+_n+1=1 будет выполнено

---

, то имеем _=_n+1.
ЗАДАНИЕ (вариант 20)
1. Разработать текст программы для вычисления машинного нуля и машинного эпсилон.

2. Провести теоретический вывод формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности функции U(x,y,z):



Вид функций f(x,y), (x,z) указан в таблице индивидуальных заданий.

3. Разработать текст программы для вычисления абсолютной и относительной погрешности функции U(x,y,z).

4. На ЭВМ набрать и отладить программу.

5. Провести расчет абсолютной и относительной погрешности функции U(x,y,z), для указанных в таблице значений аргументов, считая, что эти исходные данные имеют относительную погрешность Результаты занести в таблицу.

6. Для выполнения пункта 5 можно использовать пакеты С++, DELPHY, ТУРБО ПАСКАЛЬ, MATHCAD и др..



using System;
namespace ConsoleApp4

{

class Program

{

private static void Main(string[] args)

{

if (args is null)

{

throw new ArgumentNullException(paramName: nameof(args));

}
Console.Write(value: "x: ");

float x = float.Parse(s: Console.ReadLine());

Console.Write(value: "y: ");

float y = float.Parse(s: Console.ReadLine());

Console.Write(value: "z: ");

_ = float.Parse(s: Console.ReadLine());

double dU1 =

((Math.Abs(value: 1 / (x * (x - y))) -

(Math.Log10(d: x - y) / Math.Pow(x: x, y: 2))) * (Math.Abs(value: x) * 0.001F)) +

(Math.Abs(value: -(1 / (x * (x - y)))) * (Math.Abs(value: y) * 0.001F));

Console.WriteLine(value:

$"Абс. погр.: {dU1}\n" +

$"Отн. погр.: {dU1 / Math.Abs(value: Math.Log(d: x - y) / x)}");

_ = Console.ReadKey();

}

}

}

Наименование величины	Численные значения
Относительная погрешность функций U	0,0044
Абсолютная погрешность функций U	0,0015

Ответы на контрольные вопросы:1. Математическая моделирование – метод исследования объектов иявлений реального мира с помощью их приближенных описаний наязыке математики.2. 1) Построение модели2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. 3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. 4) Проверка адекватности модели.

---

5) Модификация модели. 3. а) математическая модель является приближенным описанием реальнойнаучной, инженерной или иной практической задачи;б) исходные данные содержат погрешности, т.к. они получены врезультатеизмерений или других расчетов;в) математические методы в большинстве случаев являютсяприближенными;г) из-за ограниченности разрядности вычислительной машины ииспользуемых способов представления чисел в ЭВМ при вводе и выводе,атакже при выполнении арифметических операций производятсяокругления,т.е. для представления числа используется меньше разрядов, чем в самомчисле.4. По виду представления, различают абсолютную, относительную иприведённую погрешности.5. Округление — замена числа на его приближённое значение (сопределённой точностью), записанное с меньшим количеством значащихцифр.6. Пусть a-точное значение некоторой величины, которое может быть инеизвестно, а*-известное приближенное значение этой величины.Положительная величина ∆( a ) = a - a* называется абсолютнойпогрешностью величины a. Отношение абсолютной погрешностивеличины ак ее абсолютному значению называется относительной погрешностью.7. Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равнасумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т. е.Δ u = Δ x + Δ y (1.13)Из формулы (1.13) следует, что предельная абсолютная погрешность суммыне может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименееточного из слагаемых, т. е. если в состав суммы входят приближенныеслагаемые с разными абсолютными погрешностями, то сохранять лишниезначащие цифры в более точных не имеет смысла.8. На практике, в таблицах часто вместо погрешности указываетсяколичествоверных знаков. Количество верных знаков в числе отсчитывается от первойзначащей цифры числа до первой значащей цифры абсолютной погрешности9. Машинный нуль — числовое значение с таким отрицательным порядком,которое воспринимается машиной как ноль. Машинный эпсилон —числовое значение, меньше которого невозможно задавать относительнуюточность для любого алгоритма, возвращающего вещественные числа.

---

Смотрите также файлы

• Приложения к экспертному заключению.doc

• Корчикова Мария Владимировна Тема занятия Особенности содержания обновленных фгос ноо, фгос ооо.docx

• На производственную практику.docx

• аза тілім байлыым.docx

• 310 8 мс. Тербеліс жиілігі неге те 2.docx