Добавлен: 03.12.2023
Просмотров: 144
Скачиваний: 1
.Если имела место гипотеза , то во втором ящике стало 10 белых, 5 черных и 5+1=6 красных шаров, всего 10+5+6=21, значит .г) Вычислим .Ответ: а) формула полной вероятности, б) ,в) , , , ,г) .2. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что а) среди 10 новорожденных 5 мальчиков, б) среди 100 новорожденных мальчиков от 45 до 55.в) среди 1000 от 450 до 550.г) Сравнить полученные результаты и прокомментировать.Решение.а) Имеем повторение испытаний. Вероятность появления события – рождение мальчика в каждом эксперименте постоянна и равна . Тогда имеем схему Бернулли (это биномиальное распределение).Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно т раз события А в серии из независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р: , где , - вероятность рождения мальчика, - вероятность рождения девочки.По условию , , тогда вычислим б) Найдем вероятность того, что при количество мальчиков составить от 45 до 55.Количество испытаний
велико и применение формулы Бернулли в данном случае проблематично из-за сложных вычислений.
Вероятность того, что в 
испытаниях событие наступит не менее 
и не более 
раз находится по формуле:
, где 
- функция Лапласа, ее значения определяются с помощью таблицы. 
, 
, тогда
, 
.
Учитывая, что функция Лапласа нечетная получим: 
.
в) Найдем вероятность того, что при 
количество мальчиков составить от 450 до 550.
Количество испытаний велико и применение формулы Бернулли в данном случае проблематично из-за сложных вычислений.
Вероятность того, что в испытаниях событие наступит не менее и не более раз находится по формуле: , где - функция Лапласа, ее значения определяются с помощью таблицы. , , тогда
, 
.
Учитывая, что функция Лапласа нечетная получим: 
.
г) Если количество испытаний невелико, то следует применять теорему Бернулли, которая
дает возможность точно рассчитать вероятность, если имеем большое количество испытаний, то следует применять приближенные формулы (локальная и интегральная теорема Лапласа и теорема Пуассона)
в п. а) вычислена вероятность что родилось ровно 5 мальчиков, среди 10 новорожденных,
в .п б) и в) приближенно вычислено, что количество мальчиков среди новорожденных составляет от 45 до 55 и от 450 до 550 соответственно от общего количества 100 и 1000.
На основании в) можно утверждать, что при практически достоверно, что среди 1000 новорожденных количество мальчиков будет находиться в пределах от 450 до 550.
Ответ: а) 
,
б) 
,
в) 
.
г) Если количество испытаний невелико, то следует применять теорему Бернулли, которая дает возможность точно рассчитать вероятность, если имеем большое количество испытаний, то следует применять приближенные формулы (локальная и интегральная теорема Лапласа и теорема Пуассона).
На основании в) можно утверждать, что при практически достоверно, что среди 1000 новорожденных количество мальчиков будет находиться в пределах от 450 до 550.
3. СВ 
равномерно распределена на отрезке 
. Найти плотность вероятности СВ 
. Построить график функции 
.
Решение.
Запишем функцию плотности распределения для случайной величины , равномерна распределенной на отрезке : 
.
Функция монотонна на отрезке , она строго возрастает.
Применим формулу 
, где 
- обратная функция к 
.
Из 
находим, что 
, значит 
, тогда 
, откуда 
.
Определим, что при 
величина , 
, тогда 
.
Обобщая полученные данные, найдем что 
Построим график найденной функции.
Рис.1.
Ответ: , рис.1.
4. Задана двумерная СВ 
:
Таблица 1.
 \ | -1 | 0 | 1 |
| -1 | 1/8 | 1/12 | 7/12 |
| 0 | 2/24 | 1/12 | 1/16 |
| 1 | 3/24 | 1/12 | 1/16 |
( при