Добавлен: 03.12.2023
Просмотров: 32
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 307
1. В одном ящике 8 белых и 12 красных шаров, в другом ящике 10 белых, 5 черных и 5 красных шаров. Из первого переложили неизвестный шар во второй, а затем из второго достали два шара.
а) В какую теоретическую схему “укладывается" эта задача?
б) Записать соответствующую расчетную формулу и пояснить смысл входящих в нее величин.
в) Какие значения для данного условия принимают величины, входящие в указанную выше формулу?
г) Какова вероятность того, что оба шара красные.
Решение.
а) Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий
, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности.б) По условию из первого переложили неизвестный шар во второй, тогда возможны два случая: 1) переложили белый шар; 2) переложили красный шар. Применима формула полной вероятности
.Событие А = «Из второго ящика достали два красных шара» ( из г)).
Гипотезы:
= «Во второй ящик переложили из первого белый шар».
= «Во второй ящик переложили из первого красный шар».
- вероятность события А, 
, 
- вероятности гипотез, 
, 
- условные вероятности события А, при условии что имели место гипотезы , .в) Всего в первом ящике имеется 8+12=20 шаров, тогда вычислим вероятности гипотез
, 
.Вычислим условные вероятности события А.
Если имела место гипотеза
, то во втором ящике стало 10+1=11 белых, 5 черных и 5 красных шаров, всего 11+5+5=21, значит
.Если имела место гипотеза
, то во втором ящике стало 10 белых, 5 черных и 5+1=6 красных шаров, всего 10+5+6=21, значит 
.г) Вычислим
.Ответ: а) формула полной вероятности,
б)
,в)
, 
, , ,г)
.2. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что
а) среди 10 новорожденных 5 мальчиков,
б) среди 100 новорожденных мальчиков от 45 до 55.
в) среди 1000 от 450 до 550.
г) Сравнить полученные результаты и прокомментировать.
Решение.
а) Имеем повторение испытаний. Вероятность появления события – рождение мальчика в каждом эксперименте постоянна и равна
. Тогда имеем схему Бернулли (это биномиальное распределение).Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно т раз события А в серии из
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р:
, где 
, 
- вероятность рождения мальчика, 
- вероятность рождения девочки.По условию
, 
, тогда вычислим 
б) Найдем вероятность того, что при
количество мальчиков составить от 45 до 55.Количество испытаний
велико и применение формулы Бернулли в данном случае проблематично из-за сложных вычислений.
Вероятность того, что в
испытаниях событие наступит не менее 
и не более 
раз находится по формуле:
, где 
- функция Лапласа, ее значения определяются с помощью таблицы. 
, 
, тогда
, 
. Учитывая, что функция Лапласа нечетная получим:
.в) Найдем вероятность того, что при
количество мальчиков составить от 450 до 550.Количество испытаний
велико и применение формулы Бернулли в данном случае проблематично из-за сложных вычислений.Вероятность того, что в
испытаниях событие наступит не менее и не более раз находится по формуле: , где - функция Лапласа, ее значения определяются с помощью таблицы. , , тогда
, 
. Учитывая, что функция Лапласа нечетная получим:
.г) Если количество испытаний невелико, то следует применять теорему Бернулли, которая
дает возможность точно рассчитать вероятность, если имеем большое количество испытаний, то следует применять приближенные формулы (локальная и интегральная теорема Лапласа и теорема Пуассона)
в п. а) вычислена вероятность что родилось ровно 5 мальчиков, среди 10 новорожденных,
в .п б) и в) приближенно вычислено, что количество мальчиков среди новорожденных составляет от 45 до 55 и от 450 до 550 соответственно от общего количества 100 и 1000.
На основании в) можно утверждать, что при практически достоверно, что среди 1000 новорожденных количество мальчиков будет находиться в пределах от 450 до 550.
Ответ: а)
, б)
,в)
.г) Если количество испытаний невелико, то следует применять теорему Бернулли, которая дает возможность точно рассчитать вероятность, если имеем большое количество испытаний, то следует применять приближенные формулы (локальная и интегральная теорема Лапласа и теорема Пуассона).
На основании в) можно утверждать, что при практически достоверно, что среди 1000 новорожденных количество мальчиков будет находиться в пределах от 450 до 550.
3. СВ
равномерно распределена на отрезке 
. Найти плотность вероятности СВ 
. Построить график функции 
. Решение.
Запишем функцию плотности распределения для случайной величины
, равномерна распределенной на отрезке : 
.Функция
монотонна на отрезке , она строго возрастает.Применим формулу
, где 
- обратная функция к 
.
Из
находим, что 
, значит 
, тогда 
, откуда 
.Определим, что при
величина , 
, тогда 
.Обобщая полученные данные, найдем что
Построим график найденной функции.
Рис.1.
Ответ:
, рис.1.4. Задана двумерная СВ
:Таблица 1.
 \ | -1 | 0 | 1 |
| -1 | 1/8 | 1/12 | 7/12 |
| 0 | 2/24 | 1/12 | 1/16 |
| 1 | 3/24 | 1/12 | 1/16 |
Найти а) безусловные законы распределения и центр,
б) условный закон распределения
при 
и, в) условное матожидание,г) распределение
Решение.
Заданное распределение не является совместным законом распределения СВ
, поскольку сумма всех вероятностей равна 
, заметим, что если вместо 
( при