Файл: Решение. Преобразуем уравнение ( )( ) ( ) 2 2 3 6 3 x x x ( ) ( )( ) ( ) 3 2 3 6 0.pdf

Математика. 9 класс. Вариант МА2290501 1
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Решите уравнение
(
)
(
)
(
)
2 2
6 9
6 3
x
x
x
x
−
+
+
=
+
Решение.
Преобразуем уравнение:
(
)(
)
(
)
2 2
3 6
3
x
x
x
−
+
=
+
;
(
) (
)(
)
(
)
3 2
3 6
0
x
x
x
+
−
+ − = ;
(
)
(
)
2 3
12 0
x
x
x
+
+ −
=
;
(
)(
)(
)
3 4
3 0
x
x
x
+
+
−
= , откуда находим
3
x
= − ,
4
x
= − или
3
x
= .
Ответ: 4
− ; 3
− ; 3.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Два автомобиля одновременно отправляются в 980-километровый пробег.
Первый едет со скоростью, на 28 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Решение.
Пусть скорость первого автомобиля равна
v
км/ч, тогда скорость второго автомобиля равна
28
v
−
км/ч, следовательно,
28
v
>
. Время движения первого автомобиля, равное
980
v
ч, на 4 ч меньше времени движения второго автомобиля, равного
980 28
v
−
ч. Получаем уравнение:
980 980 4
28
v
v
−
=
−
;
2 980 980 27 440 4
112
v
v
v
v
−
+
=
−
;
2 28 6860 0
v
v
−
−
= , откуда следует, что
98
v
=
или
70
v
= −
Скорость первого автомобиля равна 98 км/ч.
Ответ: 98 км/ч.
20
21

Математика. 9 класс. Вариант МА2290501 2
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Содержание критерия
Баллы
Ход решения верный, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Постройте график функции
2 4,5 1
4,5
x
y
x
x
−
=
−
Определите, при каких значениях k прямая y kx
=
не имеет с графиком общих точек.
Решение.
Преобразуем выражение:
(
)
2 4,5 1
4,5 1
1 1 4,5 4,5
x
x
x
x
x
x
x
−
−
=
= −
⋅ −
−
при условии, что
2 9
x
≠ и
2 9
x
≠ − .
Построим график функции
1
y
x
= при
0
x
< .
Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей четверти, проходящая через точку
(
)
1; 1
− −
, с выколотой точкой
(
)
2 9
;
9 2
−
−
y
x
2 9
−
2 9
0
–1
Построим график функции
1
y
x
= − при
0
x
>
. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвёртой четверти, проходящая через точку
(
)
1; 1
− , с выколотой точкой
(
)
2 9
;
9 2
−
Прямая y kx
=
не имеет с графиком ни одной общей точки, если она совпадает с осью
Ox
либо если она проходит через точку
(
)
2 9
;
9 2
−
−
или через точку
( )
2 9
;
9 2
−
. Получаем, что
20, 25
k
= −
,
0
k
=
или
20, 25
k
=
Ответ:
20, 25
k
= −
;
0
k
=
;
20, 25
k
=
22

Математика. 9 класс. Вариант МА2290501 3
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Содержание критерия
Баллы
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
2
График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если
8
BK
= ,
13
CK
= .
Решение.
A
B
D
C
K
Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AK , AK — биссектриса угла BAD , следовательно,
BKA
KAD
BAK
∠
= ∠
= ∠
. Значит, треугольник BKA равнобедренный и
8
AB
BK
=
=
. Сторона
21
BC
BK
CK
=
+
=
По формуле периметра параллелограмма находим:
(
)
2 58
ABCD
P
AB
BC
=
+
=
Ответ: 58.
Содержание критерия
Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
23

Математика. 9 класс. Вариант МА2290501 4
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32,
8
BD
= .
Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Доказательство.
В треугольниках ADB и DBC углы ADB и DBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD . Кроме того,
32 4
8
AD
DB
=
= и
8 4
2
DB
BC
= = , т.е.
4
AD
DB
DB
BC
=
= .
B
A
D
C
Поэтому треугольники CBD и BDA подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
24

Математика. 9 класс. Вариант МА2290501 5
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Четырёхугольник ABCD со сторонами
39
AB
=
и
12
CD
= вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём
60
AKB
∠
= °
. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение.
C
M
D
A
B
K
Через точку B проведём хорду BM , параллельную диагонали AC (см. рисунок). Тогда
39
CM
AB
=
=
,
60
DBM
AKB
∠
= ∠
= ° .
Поскольку четырёхугольник BMCD вписанный, получаем
180 180 60 120
DCM
DBM
∠
=
° − ∠
=
° − ° =
°.
По теореме косинусов
2 2
2
cos
3 237
DM
CM
CD
CM CD
DCM
=
+
−
⋅
∠
=
По теореме синусов радиус окружности равен
3 237 3 79 2sin
3
DM
DBM
=
=
∠
Ответ: 3 79 .
Содержание критерия
Баллы
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
25

Математика. 9 класс. Вариант МА2290502 1
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Решите уравнение
(
)
(
)
2 2
1 6
1
x x
x
x
+
+ =
+
Решение.
Преобразуем уравнение:
(
)
(
)
2 1
6 1
x x
x
+
=
+ ;
(
) (
)
(
)
1 1
6 0
x
x x
+
+ −
= ;
(
)
(
)
2 1
6 0
x
x
x
+
+ −
= ;
(
)(
)(
)
1 3
2 0
x
x
x
+
+
−
= , откуда находим
1
x
= − ,
3
x
= − или
2
x
= .
Ответ: 3
− ; 1
− ; 2.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Два автомобиля одновременно отправляются в 950-километровый пробег.
Первый едет со скоростью, на 18 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Решение.
Пусть скорость первого автомобиля равна
v
км/ч, тогда скорость второго автомобиля равна
18
v
−
км/ч, следовательно,
18
v
>
. Время движения первого автомобиля, равное
950
v
ч, на 4 ч меньше времени движения второго автомобиля, равного
950 18
v
−
ч. Получаем уравнение:
950 950 4
18
v
v
−
=
−
;
2 950 950 17 100 4
72
v
v
v
v
−
+
=
−
;
2 18 4275 0
v
v
−
−
= , откуда следует, что
75
v
=
или
57
v
= −
Скорость первого автомобиля равна 75 км/ч.
Ответ: 75 км/ч.
20
21

Математика. 9 класс. Вариант МА2290502 2
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Содержание критерия
Баллы
Ход решения верный, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Постройте график функции
2 3,5 1
3,5
x
y
x
x
−
=
−
Определите, при каких значениях k прямая y kx
=
не имеет с графиком общих точек.
Решение.
Преобразуем выражение:
(
)
2 3,5 1
3,5 1
1 1 3,5 3,5
x
x
x
x
x
x
x
−
−
=
= −
⋅ −
−
при условии, что
2 7
x
≠
и
2 7
x
≠ −
Построим график функции
1
y
x
=
при
0
x
< .
Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей четверти, проходящая через точку
(
)
1; 1
− −
, с выколотой точкой
(
)
2 7
;
7 2
−
−
2 7
−
2 7
y
x
0
–1
Построим график функции
1
y
x
= −
при
0
x
> . Это ветвь гиперболы, расположенная в четвёртой четверти, проходящая через точку
(
)
1; 1
− , с выколотой точкой
(
)
2 7
;
7 2
−
Прямая y kx
=
не имеет с графиком ни одной общей точки, если она совпадает с осью Ox либо если она проходит через точку
(
)
2 7
;
7 2
−
−
или через точку
( )
2 7
;
7 2
−
. Получаем, что
12, 25
k
= −
,
0
k
= или
12, 25
k
=
Ответ:
12, 25
k
= −
;
0
k
= ;
12, 25
k
=
22

Математика. 9 класс. Вариант МА2290502 3
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Содержание критерия
Баллы
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
2
График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если
7
BK
= ,
12
CK
=
Решение.
A
B
D
C
K
Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AK , AK — биссектриса угла BAD , следовательно,
BKA
KAD
BAK
∠
= ∠
= ∠
. Значит, треугольник BKA равнобедренный и
7
AB
BK
=
=
. Сторона
19
BC
BK
CK
=
+
= .
По формуле периметра параллелограмма находим:
(
)
2 52
ABCD
P
AB
BC
=
+
=
Ответ: 52.
Содержание критерия
Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
23

Математика. 9 класс. Вариант МА2290502 4
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Основания BC и
AD
трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18,
9
BD
=
. Докажите, что треугольники CBD и
BDA
подобны.
Доказательство.
В треугольниках ADB и
DBC
углы ADB и
DBC
равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и
BC
и секущей BD . Кроме того,
18 2
9
AD
DB
=
= и
9 2
4,5
DB
BC
=
= , т.е.
2
AD
DB
DB
BC
=
= .
B
A
D
C
Поэтому треугольники CBD и BDA подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
24

Математика. 9 класс. Вариант МА2290502 5
© СтатГрад 2022−2023 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена
Четырёхугольник ABCD со сторонами
34
AB
=
и
22
CD
=
вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём
60
AKB
∠
= °
. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение.
C
M
D
A
B
K
Через точку B проведём хорду BM , параллельную диагонали AC (см. рисунок). Тогда
34
CM
AB
=
=
,
60
DBM
AKB
∠
= ∠
= ° .
Поскольку четырёхугольник BMCD вписанный, получаем
180 180 60 120
DCM
DBM
∠
=
° − ∠
=
° − ° =
°.
По теореме косинусов
2 2
2
cos
2 597
DM
CM
CD
CM CD
DCM
=
+
−
⋅
∠
=
По теореме синусов радиус окружности равен
2 597 2 199 2sin
3
DM
DBM
=
=
∠
Ответ: 2 199 .
Содержание критерия
Баллы
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
2
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
25