ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.12.2023
Просмотров: 127
Скачиваний: 2
3) испытание – сдача экзамена: – событие А – экзамен сдан; – событие А1 – получена оценка «отлично»; – событие А2 – получена оценка «хорошо»;– событие А3 – получена оценка «удовлетворительно»;– событие В – экзамен не сдан;4) испытание – участник турнира завершил шахматную партию:событие А – выигрыш; событие В – проигрыш; событие С – ничья.События называются: – совместными, если в результате испытания наступление одного из событий не исключает появления других (в примере 3 это события А и А1; А и А2; А и А3);– несовместными (несовместимыми), если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других (примеры 1, 2 и 4); – единственно возможными, если в результате испытания, хотя бы одно из событий обязательно произойдет (примеры 1,2,3 и 4);– равновозможными, если нет оснований считать появление какого-либо из событий более возможным по отношению к другим, т. е. все события имеют равные шансы (только пример 2).2. Случайные, достоверные и невозможные события. Так как Р(А) = , где количество благоприятных исходов m находится в пределах от 0 доn, то вероятность любого события принимает значения только от нуля до единицывключительно: 0 ≤ Р(А) ≤ 1.Достоверным называется событие, которое обязательно наступит в результате испытания. Для него все исходы благоприятны, т. е. m = n. Поэтому его вероятность Р(А) = 1. Например, достоверным событием является извлечение из урны красного шара, если все шары в урне красные.Невозможным называется событие, которое в результате испытания заведомо не произойдет. Для него благоприятных исходов нет, т. е.m= 0, поэтому его вероятность Р(А) = 0. Например, невозможным событием является извлечение из урны красного шара, если в урне красных шаров нет.Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти или не произойти. Для него есть как благоприятные, так и неблагоприятные исходы (0< m< n), поэтому его вероятность: 0 < Р(А) < 1. Для задания вероятности часто используют проценты. При этом безразмерное числовое значение вероятности умножают на 100%. Например:
Р(А) = 0,8 (80%); Р(В) = 0,052 (5,2%). Если бракованная продукция завода составляет 9%, а событие С – взятое наугад изделие бракованное, то Р(С) = 9% /100% = 0,09. Вероятность служит числовой мерой объективной возможности наступления события.3. Сумма и произведение событий.Определение 1. Суммой двух событий А и В называется новое событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий, обозначается: А + В.Если А и В – совместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А, или события В, или обоих событий. Если А и В – несовместные события, то их сумма означает наступление или события А, или события В: А + В = (А или В).Определение 2. Произведением двух событий А и В называется новое событие, состоящее в совместном наступлении этих событий, обозначается: А·В = (А и В).Если А и В – совместные события, то их произведение А·В означает одновременное наступление и события А, и события В.Если А и В – несовместные события, то их произведение А·В является невозможным событием, поэтому его вероятность Р(А·В) = 0.Совместное появление событий называют их совмещением.Аналогично можно ввести понятия суммы и произведения для любого конечного количества событий.4. Противоположные события.Если полная группа событий содержит только два события, то такие события называются противоположными. Их обозначают: А и (событие читается неА).Из определения полной группы событий вытекает, что противоположные события А и несовместны и единственно возможны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:Р(А) + Р( ) = 1.Отсюда находим вероятность противоположного события :Р(
) = 1– Р(А).
5. Несовместимые и совместимые события.
– совместными, если в результате испытания наступление одного из событий не исключает появления других (в примере 3 это события А и А1; А и А2; А и А3);
– несовместными (несовместимыми), если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других (примеры 1, 2 и 4);
6. Полная система событий.
Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием. Элементарные исходы образуют полную систему, если они: 1) попарно несовместны; 2) единственно возможны; 3) по каждому из них можно судить о появлении или непоявлении любого другого события, не обязательно элементарного.
7. Классическое определение вероятности.
Вероятностью событияAназывается число P(A), равное отношению количества элементарных исходов m, благоприятствующих событию A, к общему количеству n всех равновозможных элементарных (т.е. единственно возможных и попарно несовместных) исходов:
Р(А) = 
.
8. Свойства вероятности.
Основные свойства вероятности проще всего определить, исходя из аксиоматического определения вероятности.
1) вероятность невозможного события (пустого множества {\displaystyle \varnothing }) равна нулю:{\displaystyle \mathbf {P} \{\varnothing \}=0;}
Это следует из того, что каждое событие можно представить как сумму этого события и невозможного события, что в силу аддитивности и конечности вероятностной меры означает, что вероятность невозможного события должна быть равна нулю.
2) если событие A включается («входит») в событие B, то есть {\displaystyle A\subset B}, то есть наступление события A влечёт также наступление события B, то:{\displaystyle \mathbf {P} \{A\}\leqslant \mathbf {P} \{B\};}
Это следует из неотрицательности и аддитивности вероятностной меры, так как событие {\displaystyle B}, возможно, «содержит» кроме события {\displaystyle A}ещё какие-то другие события, несовместные с {\displaystyle A}.
3) вероятность каждого события {\displaystyle A} находится от 0 до 1, то есть удовлетворяет неравенствам:{\displaystyle 0\leqslant \mathbf {P} \{A\}\leqslant 1;}
Первая часть неравенства (неотрицательность) утверждается аксиоматически, а вторая следует из предыдущего свойства с учётом того, что любое событие «входит» в
{\displaystyle X}, а для {\displaystyle X}аксиоматически предполагается {\displaystyle \mathbf {P} \{X\}=1}.4) вероятность наступления события {\displaystyle B\setminus A}, где {\displaystyle A\subset B}, заключающегося в наступлении события {\displaystyle B} при одновременном ненаступлении события {\displaystyle A}, равна:{\displaystyle \mathbf {P} \{B\setminus A\}=\mathbf {P} \{B\}-\mathbf {P} \{A\};}Это следует из аддитивности вероятности для несовместных событий и из того, что события {\displaystyle A} и {\displaystyle B\setminus A} являются несовместными по условию, а их сумма равна событию {\displaystyle B}.5) вероятность события {\displaystyle {\bar {A}}}, противоположного событию {\displaystyle A}, равна:{\displaystyle \mathbf {P} \{{\bar {A}}\}=1-\mathbf {P} \{A\};}Это следует из предыдущего свойства, если в качестве множества {\displaystyle B} использовать всё пространство {\displaystyle X} и учесть, что {\displaystyle \mathbf {P} \{X\}=1}.6) (теорема сложения вероятностей) вероятность наступления хотя бы одного из (то есть суммы) произвольных (не обязательно несовместных) двух событий {\displaystyle A} и {\displaystyle B} равна:{\displaystyle \mathbf {P} \{A+B\}=\mathbf {P} \{A\}+\mathbf {P} \{B\}-\mathbf {P} \{AB\}.}Это свойство можно получить, если представить объединение двух произвольных множеств как объединение двух непересекающихся — первого и разности между вторым и пересечением исходных множеств: {\displaystyle A+B=A+(B\setminus (AB))}. Отсюда учитывая аддитивность вероятности для непересекающихся множеств и формулу для вероятности разности (см. свойство 4) множеств, получаем требуемое свойство.Для трех совместных событий формула сложения вероятностей усложняетсяР(А+В+С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)При увеличении числа слагаемых формула сложения становится всё более и более громоздкой, но принцип её построения остаётся прежним: сначала суммируются вероятности событий взятых по одиночке, затем вычитаются вероятности всех по парных комбинаций событий, прибавляются вероятности событий взятых тройками, вычитаются вероятности комбинаций событий взятых четверками и т.д.Свойства вероятности события:1. Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n и, следовательно, P(Ω) = m/n = n/n = 1.2. Вероятность невозможного события равна 0. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий