Файл: Тема Прямые и плоскости в пространстве МатематикаЦели изучения темы.pdf

Тема 8. Прямые и плоскости в пространстве
Математика
Цели изучения темы:

изучение основных понятий, аксиом и теорем стереометрии;

развитие пространственного воображения.
Задачи темы:

познакомиться с основными аксиомами и теоремами стереометрии;

ознакомиться с особенностями взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;

сформировать представление о геометрических преобразованиях пространства;

ознакомиться с методом параллельного проектирования.
В результате изучения данной темы Вы будете
знать:

основные аксиомы и теоремы стереометрии;

различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;

геометрические преобразования пространства;

основные свойства параллельного проектирования.
уметь:

изображать пространственные тела на плоскости;

применять полученные знания для решения задач стереометрии;

совершать геометрические преобразования пространства.
владеть:

методом параллельного проектирования.
Учебные вопросы темы:
Вопрос 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Вопрос 2. Геометрические преобразования пространства.
Вопрос 3. Параллельное проектирование.

Вопрос 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Аксиомы стереометрии
А1. Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при том только одна.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Теоремы
Т1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и при том только одна.
Т2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и при том только одна.
Взаимное расположение прямых
Случай 1. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку: ???? ∩ ???? = ????.
Случай 2. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются: ???? || ????.
Случай 3. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости: ????−̇ ????.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Случай 1. Прямая лежит в плоскости, если все точки этой прямой лежат в данной плоскости: ???? ⊂ ????.

Случай 2. Прямая пересекает плоскость, если она имеет с плоскостью одну общую точку:???? ∩ ???? = ????.
Случай 3. Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек ???? ∥ ????.
Т. (Признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в данной плоскости, но она параллельна и самой плоскости.
Взаимное расположение плоскостей
Случай 1. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.
Т. (Признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны:
????
1
∩ ????
2
= ????
????
1
⊂ ????
????
2
⊂ ????
????
1
⊂ ????
????
2
⊂ ????
????
1
∥ ????
1
????
2
∥ ????
2
}
⟹ ???? ∥ ????.

Случай 2. Две плоскости называются пересекающимися, если они имеют общую прямую: ???? ∩ ???? = ????.
Перпендикуляр и наклонная
Определение. Прямая называетсяперпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Определение. Наклонной к плоскости называется прямая, которая пересекает эту плоскость, но не перпендикулярна ей.
AC перпендикулярна плоскости
????
AB – наклонная к плоскости
????
BC – проекция наклонной AB на плоскость
????
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

Угол между прямой AB и плоскостью ???? равен углу между прямой AB и её проекцией BC и равен углу ????.
Теорема о трёх перпендикулярах
Т. (О трёх перпендикулярах). Если прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.
???? − прямая, проведённая в плоскости ???? через основание наклонной m
m – наклонная к плоскости
????
n – проекция наклонной m на плоскость
????
Двугранный угол
Определение. Двугранный угол – это фигура, образованная прямой а
(ребром двугранного угла) и двумя полуплоскостями (гранями), не принадлежащими одной плоскости.
Отметим на ребре точку C. Проведём из этой точки к каждой грани луч, перпендикулярный ребру. Образованный этими лучами угол называется
линейным углом двугранного угла.
Определение.Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Т. (Признак перпендикулярности плоскостей).Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Следствие.Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
Если ???? ⊥ ????, то ???? ⊥ ???? и ???? ⊥ ????
Вопрос 2. Геометрические преобразования пространства
Среди объектов, рассматриваемых в геометрии, присутствуют геометрические преобразования, переводящие каждую точку плоскости (или пространства) в какую-либо другую точку. Особое внимание уделяется так называемым перемещениям, или движениям, – преобразованиям, сохраняющим расстояние между точками.
Так же, как и для движения на плоскости, можно доказать, что при движении в пространстве

прямые переходят в прямые,


полупрямые — в полупрямые,

отрезки — в отрезки,

сохраняются углы между прямыми.
Новое свойство движения в пространстве: движение переводит плоскости в плоскости.
В пространстве так же, как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.
Виды движений в пространстве:
1.
Параллельный перенос.
Параллельный перенос – преобразование пространства, при котором каждая точка пространства сдвигается на заданный вектор.
2.
Осевая симметрия
Осевая симметрия пространства относительно некоторой прямой – преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно этой прямой (оси симметрии).
3.
Центральная симметрия
Центральная симметрия пространства относительно некоторой точки –
преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно заданной точки (центра симметрии).

4.
Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия)
Симметрия относительно плоскости – преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно заданной плоскости (плоскости симметрии).
5.
Скользящая симметрия
Скользящей симметрией называется преобразование пространства, при котором последовательно выполняются симметрия относительно плоскости и параллельный перенос.

6.
Поворот вокруг прямой
Поворот пространства на некоторый угол вокруг заданной прямой – преобразование пространства, при котором каждая точка самой прямой остается неподвижной и в любой плоскости, перпендикулярной к заданной прямой, осуществляется поворот этой плоскости на некоторый угол вокруг точки её пересечения с заданной прямой.
7.
Винтовая симметрия
Винтовой симметрией называется преобразование пространства, при котором последовательно выполняются поворот вокруг прямой (оси) и параллельный перенос вдоль этой же оси.

Вопрос 3. Параллельное проектирование
В стереометрии большое значение имеет умение наглядно изображать неплоские фигуры на плоскости. Для построения пространственных фигур на плоскости используется параллельное проектирование.
Вспомним основные свойства параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой, задающей направление проектирования.
1.
Проекция точки есть точка. Проекция прямой есть прямая, а
проекция отрезка — отрезок.
В пространстве выбирается произвольная плоскость ????, которую называют плоскостью проекций, и прямая ????, пересекающая эту плоскость. Прямую l и все прямые пространства, параллельные ей, называют проектирующими прямыми.
Плоскость пространства, параллельная проектирующей прямой, называется
проектирующей плоскостью.
Все прямые, проектирующие каждую точку данной прямой b, принадлежат некоторой проектирующей плоскости (выделена зелёным на рисунке), которая пересекает проектирующую плоскость ???? по некоторой прямой b′ (параллельной
проекции прямой b).
2.
Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
Если прямые a и b лежат в одной проектирующей плоскости, то они проектируются в одну и ту же прямую, а именно, в прямую, по которой эта проектирующая плоскость пересекает плоскость проекций.

3.
Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой
или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.
Если точка C делит отрезок AB в отношении
????
????
, то проекция точки ????′ будет делить проекцию отрезка ????′????′ также в отношении
????
????
Следствие. При параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.
При параллельном проектировании могут искажаться размеры отрезков и углы, но обязательно сохраняется параллельность прямых.
Рассмотренные свойства параллельного проектирования применяются при выполнении рисунков (изображений фигур), иллюстрирующих теоремы и задачи стереометрии.
Изображением фигуры F называется любая фигура, подобная проекции этой фигуры на некоторую плоскость.

Выполняя изображения пространственных фигур, необходимо учитывать свойства, сохраняющиеся при параллельном проектировании, а в остальном изображение может быть произвольным.
Важно, чтобы изображения рассматриваемых фигур были наглядными и давали верное представление о них. При построении изображений плоских фигур, расположенных в пространстве, предполагается, что плоскости рассматриваемых фигур не параллельны направлению проектирования.
Проекцией треугольника может быть любой треугольник. Изображением равнобедренного и прямоугольного треугольников может служить разносторонний треугольник.
Параллелограмм проектируется в произвольный параллелограмм (т.к. параллельные прямые сохраняют параллельность при параллельном проектировании). В частности, изображением прямоугольника, ромба и квадрата будет параллелограмм.

Трапеция проектируется в другую трапецию, но с сохранением параллельности оснований. Квадрат проектируется в параллелограмм.
Изображением трапеции является трапеция, у которой основания пропорциональны основаниям самой трапеции. Изображением равнобедренной трапеции может быть и неравнобедренная трапеция.
Окружность проектируется в эллипс, большая ось которого имеет длину, равную диаметру окружности.
Эллипс используют при изображении на плоскости цилиндров, конусов, усечённых конусов и сфер.
Вопросы для самопроверки:
1. Сформулируйте три аксиомы стереометрии.
2. Сформулируйте две основные теоремы стереометрии.
3. Назовите все случаи взаимного расположения прямых в пространстве.
4. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
5. Что называют углом между прямой и плоскостью?
6. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.
7. Что называют двугранным углом?
8. Как вычисляется двугранный угол?
9. Что такое параллельный перенос?
10. Сформулируйте основные правила параллельного проектирования.