Файл: Российской федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования.pdf

274
ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПУБЛИКАЦИЯ БУМАЖНОЙ И
ЭЛЕКТРОННОЙ ВЕРСИЙ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ
С ПОМОЩЬЮ JUPYTER BOOK
Щербина Д. Н.
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
НИТЦ Нейротехнологий,
ФГБОУ ВО «Донской государственный технический университет»,
факультет биоинженерии и ветеринарной медицины,
г. Ростов-на-Дону
E-mail: dnsherbina@sfedu.ru
Jupyter Book — это проект с открытым исходным кодом для создания стильных книг и документов издательского качества из вычислительных материалов. Данный инструмент был выбран для создания практикума по математическим методам. Основу практикума составляли расчѐтно- графические задачи, выполняемые в скриптбуках Jupyter Notebook, объ- единяющих код на Python для расчетов и генерации графиков с пояснени- ями и ссылками на ресурсы. На выходе нужно было получить макет учеб- ного пособия – законченное, сверстанное в едином стиле произведение, причем бумажный и электронный вариант которого имеют свою специфи- ку оформления ссылок, списка литературы и т.п.
Для электронного варианта нужно было снабдить шаблоны задач тео- ретическими материалами и встроить в единую оболочку. Идея сбора ин- формационного ресурса из отдельных вычислительных блоков уже доста- точно зрелая: для генерации HTML документации из строк документации
(docstrings) и комментариев к коду распространены библиотеки Sphinx, pdoc, MkDocs, GitHub Pages. Технически при генерации сайта JupyterBook выполняет код в блокнотах (опционально) и конвертирует комментарии из блокнота на языке разметки Markdown в reStructuredText(.rst), из которого средствами Sphinx генерируется статический сайт с оглавлением и сквоз- ным поиском. Расширенные возможности reStructuredText позволили оформить выноски, ссылки на источники, автонумерацию рисунков и др.
После этого оставалось лишь разместить пособие-документацию в откры- том доступе, например, в ветке gh-pages на github.com для бесплатного хо- стинга. Опубликованный практикум для двухсеместрового курса состоял из 10 практических занятий, в которых кроме 10 шаблонов работ с ин- струкциями были включены 51 информационная страница и 2 вспомога- тельных практических работы по получению данных. Также был добавлен раздел для преподавателя с индикаторами развития навыков, сгруппиро- ванных по субкомпетенциям, с прямыми ссылками на разделы практикума.

275
Для бумажного варианта потребовалась верстка в Microsoft Word на основе единого HTML-файла, сгенерированного средствами JupyterBook.
Доработка конфигурации по-умолчанию включала: (1) сокрытие служеб- ных ячеек с кодом; (2) программный экспорт прикрепленных к ячейкам рисунков в виде отдельных файлов; (3) перекодирование индекса для рус- скоязычных терминов. Ручной правки в Word потребовали Интернет- ссылки, глобальные замены в HTML коде некоторых элементов оформле- ния, принудительные разрывы страниц.
В результате использования инструмента JupyterBook мы получили сверстанный макет печатного пособия и полноценный сайт для онлайн- доступа к пособию, страницы которого могут быть запущены на сервисе
Binder (mybinder.org) для интерактивной работы с кодом, не покидая веб- браузера.
Онлайн версия практикума доступна по адресу https://sherdim.github.io/mame/ .

276
ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ СВОЙСТВ УПРУГОГО
СТЕРЖНЯ ПРИ ЗАДАНИИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ
ИНФОРМАЦИИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
Яковлев В. Е.
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
Институт математики, механики и компьютерных наук
им. И. И. Воровича
E-mail: viakovlev@sfedu.ru
В данной работе рассматривается обратная коэффициентная задача для стержня единичной длины с постоянной плотностью поперечного се- чения. Один из его концов жестко закреплен, а к другому приложена удар- ная нагрузка. Изначально стержень находится в состоянии покоя. Краевая задача, описывающая продольные колебания стержня, имеет вид
(1) где
– продольное смещение, , – плотность, и модуль Юн- га, неравномерно распределенные по длине
[ ], – давление, дей- ствующее на свободный конец стержня.
Под прямой задачей подразумевается нахождение, по известному набору параметров
, в задаче (1), данных о смещении, скорости, и ускорении
}.
В обратной задаче, по известному набору дискретных экспериментальных данных
, требуется восстановить неизвестные параметры
Решение обратной задачи основывалось на минимизации регуляризи- рующего функционала невязки
‖
‖
‖
‖
,
(2) где
– априорная информация о решении,
– параметр регуляриза- ции, ‖
‖ – норма в Евклидовом пространстве, ‖ ‖
– норма в простран- стве Соболева
‖
‖
∫ (
)
(
(
))
(3)

277
Для минимизации функционала (2) использовался алгоритм довери- тельных областей [1]. Операторы градиента и матрицы Гессе находились из разложения функционала (2) в окрестности вектора
:
[
]
[
]
[
] где
– возмущение в параметрах модели, – градиент, – матрица
Гессе,
– матрица производной Фреше, – матрица Гессе функциона- ла (3).
Производные Фреше были найдены методом линеаризации [2] с ис- пользованием аппарата сопряженных уравнений [3; 4]. Откуда дифферен- циал Фреше для смещения и скорости имел следующий вид:
∫
∫
∫
(4)
,
∫
|
∫
∫
(5) где и – решение сопряженных задач,
– дельта функция Дирака, символ обозначает свѐртку двух функций по времени:
∫

278
Дифференциал Фреше для ускорения был получен при дифференци- ровании выражения (5) по времени
Решение прямой и сопряженной задачи вычислялось при помощи ме- тода прямых с использованием аппроксимации квадратичными конечными элементами [5]. Дельта-функция Дирака в сопряженной задаче приближа- лась функцией Гаусса
(
(
)
) где
– нормирующий множитель. Параметр выбирался исходя из того, что уменьшение снижает погрешность аппроксимации производной
Фреше, но увеличивает затраты на решение сопряженной задачи. Аппрок- симация интегральных операторов (4) и (5) вычислялась с использованием конечно-элементного приближения, для интегрирования по
, и метода центральных прямоугольников, для интегрирования по
Описанный алгоритм был реализован в пакете MATLAB. Интегриро- вание по времени осуществлялось встроенным решателем ode15s.
Для оценки точности найденных производных Фреше и численного решения, использовалось аналитическое решение задачи с неоднородным модулем Юнга и однородной плотностью:
√
√
(√
)
В результате производные Фреше для ускорения и
, сильно уступали в точности аналогичным производным
Фреше для скорости и смещения.
Решены различные обратные коэффициентные задачи. Эксперимен- тальные данные были получены на основе численного решения прямой за- дачи с известными коэффициентами. Проведена идентификация по исход- ным данным и данными с наложением случайного шума.

279
Рис. 1. Пример восстановления модуля Юнга алгоритмом доверительных областей (график справа). Для идентификации использовалась информация об ускорении в точке
(график слева).
На данные был наложен случайный, равномерно распределенный шум в 1%
Литература
1. More J. J., Sorensen D. C. Sorensen D. C. Computin a Trust Region Step //
SIAM Jornal on Scientific and Statistical Computing. – 1983. – Vol. 3. –
P. 553–572.
2. Ватульян А. О. Коэффициентные обратные задачи механики. – М.: Физ- матлит, 2019. – 271 с.
3. Марчук Г. И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. –M.:
Наука, 1992. – 335 c.
4. Virieux. J., Operto. S. An overview of full-waveform inversion in exploration geophysics // Geophysics. – 2009. – Vol. 74, – N 6. P. WCC1–WCC26.
5. Наседкин А. В., Наседкина А. А. Моделирование связанных задач: ма- тематические постановки и конечно-элементные технологии – Ростов- на-Дону; Таганрог: Южный Федеральный университет, 2019. – 178 с.

280
ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО
МЫШЛЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ИНФОРМАТИКИ
Ярославцева Н. Э.
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
Институт математики, механики и компьютерных наук
им. И. И. Воровича
E-mail: nshemetova@sfedu.ru
Цифровые технологии прочно укрепляют свои позиции в XXI веке.
Опираясь на них люди стали определять свой стиль жизни, изменять свой образ мышления и поведения. А. П. Ершов [1] сформулировал тезис о том, что «программирование — это вторая грамотность». Он предположил, что в будущем развитие человечества, как в интеллектуальном плане, так и в образовательном, а также в теории и практике обучения, будут сильно за- висеть от влияния цифровых технологий. Что находит полное подтвержде- ние в современном обществе и системе образования.
Данные вопросы стали все больше привлекать внимание исследовате- лей из разных стран.
Поскольку компьютерное мышление (далее по тексту КМ) – доста- точно новая область, определения данного понятия постоянно меняются и уточняются, так как проводятся все новые и новые исследования. На дан- ный момент принято считать основным определение, предоставленное
Американской ассоциации учителей информатики [1]. Суть его состоит в том, что КМ это процесс решения проблемы, состоящий из переформули- рованного условия задачи под стиль мышления, анализа данных и их пред- ставления в виде модели или имитации, составления решение, его анализ и доведения до единого шаблона, которое можно применить для более ши- рокого круга задач.
Из определения КМ можно выделить комбинацию из четырех катего- рий навыков: декомпозиция; распознавание образов; понимание абстрак- ций; создание и использование алгоритмов. На их основе уже можно стро- ить задания для развития данного типа мышления.
Реализация навыков КМ хорошо видна на уроках программирования.
Но развивать КМ нужно не только в рамках содержательной линии «алго- ритмизация и программирование», так как по школьной программе, что подтверждает авторская программа и примерное тематическое планирова- ние курса информатики Л. Л. Босовой и Ю. А. Босовой (по ФГОС), на изу- чение данной темы отводится 29 часов основной школе и 9 часов в стар- шей. Что очевидно, не достаточно и требует пересмотра и уточнения со- держания школьного образования по компьютерным наукам.

281
Во многих странах таких как, Великобритания, Австралия, Финлян- дия, Франция, Эстония уже с начальных классов учащиеся изучают основы алгоритмизации и программирования. Освоение базовых понятий алго- ритмизации и навыков КМ осуществляется через игры с помощью сюжет- но-ситуационных задач. Многие ведущие производители компьютерной техники и компьютерного софта способствуют направлению на раннее обучение программирования в школе. Они предоставляют лицензирован- ное ПО (Scratch, MIT's, Code.org и др.) и привлекают обучающегося позна- вать программирование. В отечественной практике, раннее обучение про- граммированию носит не систематический а скорее точечный характер, хотя некоторые регионы, например, Москва и Московская область, в каче- стве эксперимента, организует внеурочную деятельность младших школь- ников по программирования в Scratch.
Для школы наиболее приоритетным направлением в обучении про- граммированию должна быть непрерывность. По такому принципу и должно строится развитие КМ начиная с начальных классов, продолжая в основной школе и старших классах с уклоном на профильную подготовку, например: бизнес, психология, инженерия и др. Поэтому в ходе изучения проблем развития компьютерного мышления был разработан курс на
Stepik «Компьютерное мышление».
Рассмотрим некоторые упражнения при разборе понятия алгоритма на разных ступенях образования. Для уровня дошкольного и начального об- разования упражнения могут носить характер, как представленные на рис. 1 (№ 1), в котором необходимо восстановить правильную последо- вательность действий или же создать свою (написав действия или же нари- совав) по представленным заранее и уже знакомым ситуациям для детей.
Для 5–6 классов пример упражнения представлен на рис. 1 (№ 2): Обуча- ющиеся самостоятельно составляют инструкцию к заданной таблице, раз- мерность таблицы можно увеличивать не только в плоскости, но и в про- странстве (при этом, условие можно видоизменять). Для 7–9 классов в ка- честве разминки на уроке можно использовать упражнения из предыдущих классов, а практические задания для работы усложняются. При этом раз- виваются навыки работы с блок-схемами (рис. 1, № 3) и составления алго- ритмов. Таким образом, в ходе работы над электронным курсом по разви- тию компьютерного мышления, предполагается завершить работу по под- бору задач для разных ступеней школьного образования. Курс можно бу- дет использовать как на уроках информатик, так и во внеурочной работе.
Кроме того, этот курс может быть использован для самостоятельной рабо- ты обучающихся или совместно с родителями (например, на этапе обуче- ния в начальной школе).

282
Рис. 1. Примеры заданий курса «Компьютерное мышление»
Для большей направленности курса на развитие КМ, его содержание на всем протяжении обучения имеет спиралевидный принцип, подстраива- ясь под предмет информатики, а также имеет межпредметную связь с дру- гими учебными предметами.
Литература
1. Wing J. Research Notebook: Computational Thinking – What and Why?/ The
Link. The magazine of the Carnegie Mellon University School of Computer
Science. 2011–03–06. URL: http://www.cs.cmu.edu/ link/research-notebook- computational-thinking-what-and-why (дата обращения: 10.12.2020).
2. Информатика. 10 – 11 классы. Базовый уровень: методическое пособие/
Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. –
56 с.
3. Пиаже, Ж. Психология интеллекта. СПб: Издательство «Питер», 2003.
192 с.

283
NEURAL NETWORKS FOR ORDINARY AND FRACTIONAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Hu N., Rokhlin D. B.
Southern Federal University,
Rostov-on-Don
E-mail: nkhu@sfedu.ru
Neural networks have in recent times gained popularity in various research fields. Taking inspiration from the famous work of Lagaris [2], we use neural networks to solve differential and fractional differential equations. In general, a feedforward neural network is a mapping
↦
, defined recursively by
Where is a multidimensional parameter, are matrices, are
-dimensional vectors, and are activa- tion functions. The notation for means the ele- mentwise application of
:
The described network contains m layers. Usually all activation functions, except the last one
, coincide. We will assume that is the identity func- tion:
. The neural network is called ―deep‖ if . It is known
(see [3]) that a sufficiently large shallow network
∑
(⟨
⟩
) on a compact set can uniformly approximate any continuous function with an arbitrary precision. Deep neural networks may require less parameters to repre- sent complex functions. In our experiments, however, we did not mention essen- tial advantages of using deep networks over the shallow ones.
The architecture of neural networks, including number of layers and activation functions, can be easily tuned by the contemporary software. We used the
pytorch library.
As an illustration, consider a first-order differential equation
( )
Following [2], we will look for an approximate solution of the form
. The initial condition is automatically satisfied.

284
Furthermore, consider a grid and the loss function
∑
(
(
))
(1)
This problem can be approximately solved by a gradient descent method like
Note that the computation of all required derivatives is implemented in pytorch in the backpropagation method. Moreover, there are several first- order methods, generalising the mentioned gradient descent method, also im- plemented in pytorch.
Consider the differential equation (see [2]):
(
)
We used a neural network with one hidden layer (m=2) containing 5 nodes and the sigmoid activation function
The optimization problem (1) has been solved by the Broyden–Fletcher–
Goldfarb–Shanno (BFGS) quasi-Newton method [6]. The neural network has been trained in the interval [0,3] with 30 equidistant points. The results are pre- sented in Fig.
1.
Repeating various tests gave the understanding that with at most 60 itera- tions we had an acceptable loss below 0.003 (the results may differ, since the weights are randomly initialized at the beginning) with an average total compu- tation time of 0.20 seconds on a computer with 2.20GHz of computation fre- quency in a single process. In general, if the solution is more complicated, a higher number of nodes might be required.
This method can also be adapted in the case of fractional differential equa- tions. We recall briefly the Riemann-Liouville fractional integral and derivative of order
:
∫
∫
⌊ ⌋
The following fractional differential equation