Файл: Пояснительная записка по реферату По теме Геометрические характеристики плоских сечений.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 38
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство образования и науки Алтайского края
Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Алтайский государственный колледж»
Пояснительная записка по реферату
По теме: «Геометрические характеристики плоских сечений»
По дисциплине «Техническая механика»
Специальность 08.02.05 «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов»
Выполнил студент
Савин Илья
1 курса, Да-221
Работу проверил:
Преподаватель
Лоскутова Елена Николаевна
____________________
(подпись)
«____»____________2022г
Оценка_________________
Барнаул – 2022
Содержание
Введение……………………………………………………………3
Глава 1. Алгоритм расчета геометрических характеристик плоских сечений. ………………………….4
Глава 2. Площадь плоских сечений..............................5
Глава 3. Статические моменты сечения.....................6
Глава 4. Моменты инерции плоских сечений простой формы.......8
Заключение……………………………………………………9
Список литературы……………………………………10
Введение
геометрический сечение инерция координата
В расчетах конструкций на механическую надежность очень часто приходится оперировать такими характеристиками плоских фигур, как статический момент, осевой и полярный моменты инерции. Хотя вычисление вышеназванных геометрических характеристик относится к числу простейших задач интегрального исчисления, тем не менее, в силу их узкого прикладного значения они практически не рассматриваются во втузовском курсе высшей математики. По установившейся традиции геометрические характеристики плоских фигур изучаются в курсе сопротивления материалов.
Геометрические характеристики - числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации)
При рассмотрении деформации растяжения, сжатия, сдвига было установлено, что прочность и жесткость элементов конструкций зависит только от величины поперечного сечения и свойств материала элементов. При деформациях кручения и изгиба, при расчетах сжатых стержней на устойчивость, прочность и жесткость элементов конструкции зависят также и от формы их поперечного сечения. К числу геометрических характеристик сечения, учитывающих его размеры, форму и влияющих на прочность и жесткость конструкций, относятся статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления сечения.
1. Алгоритм расчета геометрических характеристик плоских сечений
При анализе геометрических характеристик плоских сечений любой сложности важнейшей задачей является определение положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сечений.
Можно рекомендовать следующий порядок определения положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сложного профиля, состоящего из простых частей, характеристики которых либо известны, либо легко определяются.
1. Заданное сечение вычерчивается в определенном масштабе и разбивается на элементы геометрические характеристики которых представлены в сортаменте, либо могут быть вычислены по элементарным формулам, элементынумеруются, номера элементов указываются на чертеже.
2. Проводим прямоугольную систему осей z, y. Начальные оси могут задаваться произвольно. Однако, для упрощения вычислений удобно, если начальные оси проходят через центр тяжести одного или нескольких элементов сечения, на которые разбито заданное сечение. Все начальные размеры, необходимые для вычисления геометрических характеристик элементов и определения координат центров тяжестей элементов указываются на чертеже. Для прокатных профилей на чертеже сечения указываются необходимые для расчета размеры, взятые из таблиц проката.
3. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения относительно начальных осей zc, yc. и геометрические характеристики сечений относительно собственных осей элементов Аi, , , . Собственные оси элементов - оси, параллельные начальным осям zc, yc. проходящие через центры тяжестей элементов сечения.
Замечание. Необходимо проявлять внимательность при определении координат центров тяжестей элементов сечения и их геометрических характеристик, так как ошибки, допущенные на этом этапе не имеют алгоритма проверки и приводят к ошибочным результатам при дальнейших вычислениях.
4. Определяем координаты центра тяжести всего сечения по формулам;
Центральные оси х, у (оси проходящие через центр тяжести всего сечения), параллельные начальным осям показываются на чертеже.
Для самостоятельной проверки правильности, определения координат центра тяжести сложного сечения делается проверка, согласно которой вычисляются статические моменты всего сечения относительно осей , . Должны иметь место равенства и в пределах точности производимых вычислений.
5. Проводим систему центральных осей , , таким образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты инерции частей фигуры относительно этих осей. Для этого определяем моменты инерции частей фигуры относительно собственных центральных осей, проведенных параллельно осям , , используя при этом формулы перехода к параллельным осям (12). Суммируя, получаем значения .
6. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения относительно центральных осей сечения; .
Замечание. Геометрические характеристики сечений, координаты центров тяжести сечений относительно начальных и центральных осей целесообразно оформить в виде таблицы (см. пример расчета),
7. Проводим контроль правильности определения координат центров тяжести сечения и его элементов. Для этого вычисляется статический момент сечения относительно центральных осей, которые при правильном расчете должны равняться нулю; .
Замечание. Все расчеты проводятся с ограниченной точностью. Инженерные расчеты, обычно, проводят с учетом 3 - 4 значащих цифр. Оставлять большее число значащих цифр нецелесообразно, так как исходные данные (исходные размеры и значения геометрических характеристик) не обеспечивают большую точность и поэтому результаты с большим числом значащих цифр нельзя считать более достоверными. Точность результата оценивают, обычно, относя невязку (разность между приближенным и точным значением) к точному или приближенному значению. Однако, если результатом вычислений должен быть ноль, такой подход невозможен. В этом случае отдельно подсчитывают положительные и отрицательные слагаемые и абсолютное значение невязки и относят невязку к сумме положительных (или отрицательных) слагаемых:.
Погрешность инженерных расчетов обычно не должна превышать 3%.
8. Определяем геометрические характеристики сечения - осевые, полярный и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей.
2. Площадь плоских сечений
Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчетах на растяжение и сжатие. При расчетах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и т.д.
Проектирование конструкций с оптимальными формами и размерами сечений является одним из путей снижения веса и стоимости машин и сооружений.
Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть
(1)
Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на конечное число n простейших частей. В этом случае
(2)
Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения, имеет размерность L2. Отметим два важных свойства: площадь всегда положительна и не зависит от выбора системы координат.
Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, площадь каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры принимаются по таблицам ГОСТов на прокатную сталь.
При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются ;.
Заметим, что площадь, осевые и полярный моменты инерции являются строго положительными характеристиками сечений. Однако, для сечений с отверстиями бывает удобным считать отверстия элементами сечений с отрицательными характеристиками.
9. Определяем положение главных центральных осей. Положительный угол откладывается против хода часовой стрелки, отрицательный - по ходу часовой стрелки.
10. Определяем значения главных центральных моментов инерции и , причем ось, относительно которой имеет место максимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой u (Imax=Iu), а ей перпендикулярную ось, относительно которой имеет место минимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой v (Imin=Iv).
Для самостоятельного контроля правильности решения задачи на данном этапе делаются следующие проверки:
а) Определяется центробежный момент инерции относительно главных центральных осей , который согласно определению должен быть равен нулю, Iuv=0.
б) Также могут быть определены главные центральные моменты инерции сложного сечения Iu, Iv.
в) Должно удовлетворяться равенство:.
11. Для определения моментов сопротивления сложного сечения необходимо определить точки, наиболее удаленные от главных центральных осей, координаты которых относительно главных центральных осей umax и vmax могут быть определены по формулам перехода к повернутым осям.
Для проверки, координаты точек, наиболее удаленных от главных центральных осей, могут быть определены и графически непосредственно с чертежа, выполненного в масштабе.
12. Для определения радиусов инерции производятся вычисления по формулам (18). При построении эллипса инерции от центра тяжести сечения по осям u и v откладываем в масштабе чертежа величины iv и iu каждый соответственно перпендикулярно своей оси. На этих отрезках, как на полуосях, строится эллипс инерции. Для проверки (или более точного построения эллипса инерции) могут быть отложены величины и .
3. Статические моменты сечения
Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния от этой оси (рис. 4.1):
где yc - расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси x; xc - расстояние от центра тяжести всего сечения до оси y.
Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси:
В формулах (6) введены обозначения: А1, А2, …, Аn - площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x1, y1, x2, y2, x3, y3, …, xn, yn - координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей х и у
Из выражений (4) можно определить координаты центра тяжести плоского сечения:
Для сложного поперечного сечения формулы (7) можно представить в следующем виде
Зависимости между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей х и х1, а также у и у1 имеют вид:
где параметры a, b показаны на рис. 4.2.
У к а з а н и я.
1. Изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента Sx. Аналогично, изменение положительного направления оси х вызывает изменение знака статического момента Sy.
2. Статический момент сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести этого сечения.
3. Если плоское сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит через центр тяжести плоского сечения, а поэтому, согласно п. 2, статический момент сечения относительно оси симметрии всегда равен нулю.
4. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей симметрии.