Файл: Решение. Обозначим через Р.docx

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.12.2023

Просмотров: 175

Скачиваний: 9

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4. Сколько существует целых чисел в диапазоне от 0 до 100 000, содержащих ровно две цифры «8» и одну цифру «4»?

Решение.

Числа, содержащие ровно две цифры «8» и одну цифру «4», в диапазоне от 0 до 100 000 могут быть трехзначными, четырёхзначными и пятизначными.

1) Трехзначные числа будут состоять только из указанных цифр с различными перестановками с повторениями: . Получаем три числа, удовлетворяющих условию: 884, 848, 488.

2) Четырехзначные числа получаются из трехзначных, составленных в первом пункте, путем установки какой-либо из оставшихся 7 цифр (исключая 0) на первую позицию, любой из оставшихся 8 цифр на вторую позицию (берём трехзначное число и вставляем между 1 и 2 цифрами другую цифру), на третью и на четвертую. Получаем 7+8+8+8 =31 вариант. Т..к. исходных трехзначных чисел было три, то всего нужных четырехзначных чисел получится 3∙31=93 варианта.

3) Пятизначные построим добавлением цифры в каждое четырехзначное из предыдущего пункта. Аналогично получаем 7 вариантов цифр для первой позиции и по 8 вариантов для второй, третьей, четвертой и пятой – всего 7+8∙4 = 39. Т.к. исходных четырехзначных чисел 93, то всего пятизначных чисел получим 39∙31=1209.

4) Суммируем получившиеся варианты трехзначных, четырехзначных и пятизначных чисел: 3+93+1209 = 1305.

Ответ: 1305.
5. Сколько существует положительных трехзначных чисел: а) не делящихся ни на одно из чисел 6, 9, 15? б) делящихся ровно на одно из этих чисел?

Решение.

Обозначим через Р6, Р9, Р15 свойство делимости на 6, 9 и 15 соответственно; , , – множества чисел, которые не делятся на 6, 9 и 15 соответственно.

Всего трехзначных чисел 9∙10∙10=900.

Чисел, кратных 6: .

Чисел, кратных 9: .

Чисел, кратных 15:
.

НОК(6,9)=18, следовательно, чисел, кратных 6 и 9:

.

НОК (9,15)=45, следовательно, чисел, кратных 9 и 15:

.

НОК(6,15)=30, следовательно, чисел, кратных 6 и 15:

.

НОК(6,9,15)=90, следовательно, чисел, кратных 6, 9 и 15:

.

Количество трехзначных чисел, не делящихся ни на одно из чисел 6, 9, 15, можно найти по формуле включений и исключений:

N(0) = N – (N6+N9+N15) + (N6,9+N9,15+N6,15) – N6,9,15 =

= 900 – (150+100+60) + (50+20+30) – 10 = 680.

Найдем количество трехзначных чисел, делящихся ровно на одно из чисел 6, 9, 15.

Используем формулу вычисления числа N(r) элементов, обладающих ровно r свойствами (1rm):

.

Получим:

N(1) = ∙ S1 + S2 + S3 =

= (N6+N9+N15) – 2(N6,9+N9,15+N6,15) + 3N6,9,15 =

= (150+100+60) – 2(50+20+30) + 3∙10 = 140.

Ответ: а) 680; б) 140.
6. Найти коэффициенты при a=x2∙y2∙z4, b=x2∙y∙z6, c=x4∙y2 в разложении (5x+4y+z2)6.

Решение.

Применим полиномиальную формулу



Тогда коэффициенты при членах разложения можно вычислить по формуле .

Для члена разложения a=x2∙y2∙z4 получим:





Для b=x2∙y∙z6 получим:





Для c=x4∙y2 получим:





Ответ: 36000; 6000; 150000.