Файл: Построение полного факторного эксперимента(пфэ).pdf

Построение полного факторного эксперимента(ПФЭ)
(2.2)
Уравнение (2.2) называется уравнением регрессии, а коэффициенты b
0
, b ja
, b jl
, b jj
- коэффициентами регрессии [3]. При первоначальном исследовании объекта обычно применяют линейное уравнение регрессии у = b
0
+ b
1 x
1
+ b
2 x
2
+ ... + b k x k
(2.3)

Рис.2.1 Геометрическая иллюстрация ПФЭ при k = 2
Составим матрицу планирования ПФЭ, записав координаты точек пересечения в условных переменных (табл.2.1). В общем случае число опытов ПФЭ N = 2 k .
Таблица 2.1
Для составления матрицы планирования используем следующий прием. В первом столбце значения "-1" и "+1" чередуется (цифра 1 обычно опускается и остаются только знаки), а в каждом следующем - чередование знаков в два раза реже, чем в предыдущем. В результате проведения эксперимента по матрице планирования получаем соответствующие значения целевой функции y i
, (i = 1,N).
Расчет коэффициентов уравнения (2.3) - третий этап моделирования осуществляем по формуле
Причем b
0 находим как среднее арифметическое всех y i
(i = 1, N).
Полученные коэффициенты регрессии необходимо проверить на значимость, т.е. оценить величину влияния каждого фактора на значение функции цели. Если эта величина соизмерима с ошибкой эксперимента, то соответствующий коэффициент не несет дополнительной информации об объекте и его можно приравнять нулю, что упрощает полученную модель. Значимость коэффициентов проверяется с помощью t - критерия
Стьюдента [2]. Для этого с целью нахождения ошибки эксперимента - дисперсии воспроизводимости S y 2 - проводим серию параллельных опытов в какой- либо точке, например, в центре планирования (точке, соответствующей начальным значениям факторов x jH
):

ад y
2 где N
0
- число параллельных опытов; y - среднее значение параллельных опытов ....... ; f y
- число степеней свободы - величина, показывающая, какое число связей независимых наблюдений осталось, не задействовано (f y
= N 0 - 1, т.к. одна связь использована при нахождении .... ). Затем определяем значения t - критерия для каждого фактора:
Полученные значения сравниваем с табличным значением критерия Стьюдента t табл
, найденным при числе степеней свободы f y и определенном уровне значимости q - величине, характеризующей вероятность того, что решение будет неправильным ( обычно q = 0,05). Если t j
>t табл , то коэффициент значимо отличается от нуля, если же t j
= 0. В результате выполнения этого этапа моделирования получают уравнение (2.3), включающее d значимых коэффициентов регрессии.
Проверку адекватности уравнения регрессии (четвертый этап моделирования) проводим по F - критерию Фишера [2]. Суть этой проверки сводится к сравнению двух дисперсий: дисперсии адекватности S
2
и дисперсии воспроизводимости S
2
. Если первая величина соизмерима со второй, то можно считать, что на уровне (2.3) адекватно описывает экспериментальные данные; в противном случае оно неадекватно - тогда необходимо либо уменьшить интервал варьирования x j
, либо увеличить порядок уравнения регрессии.
Для вычисления критерия Фишера находим дисперсию адекватности S
ад где y i
^
, y i
- расчетные значения, получаемые по уравнению (2.3); f ад
= N - d - число степеней свободы; d - число значимых коэффициентов.
Затем определяем расчетное значение F - критерия: которое сравниваем с табличным значением F
табл
, найденным при степенях свободы f ад и f
у и уровне значимости q. Если F < F
табл
, то уравнение адекватно, если F > F
табл
- уравнение неадекватно.
Как уже отмечалось после получения модели объекта необходимо провести его оптимизацию, т.е. отыскать такие значения факторов, которые приводили бы к экстремуму целевой функции. Известно, что наилучшим направлением движения к

экстремуму целевой функции является направление градиента. В дальнейшем будем рассматривать только поиск максимума, учитывая, что при поиске минимума необходимо сменить направление на противоположное.
Знаки шагов движения по градиенту совпадают со знаками соответствующих коэффициентов регрессии. Движение по градиенту, или крутое восхождение, начинаем из центра планирования.
Для наглядности составляем таблицу 2.2 движения по градиенту, в которой каждое последующее значение фактора отличается от предыдущего на шаг движения по градиенту.
Движение по градиенту продолжаем до тех пор, пока не будет найдено максимальное значение целевой функции. Обычно это значение не сразу совпадает с искомым экстремумом, поэтому точку максимума принимаем за новый центр планирования и все эти этапы повторяем.

Постановка задачи:
Имеется объект, работа которого зависит от 3х факторов, выходное значение: y = f ( x
1
, x
2
, x
3
), где x
1
, x
2
, x
3
– факторы.
Построить уравнение регрессии, учесть взаимодействие факторов друг с другом. y = b + b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
+ b
12
x
1
x
2
+ b
13
x
1
x
2
+ b
23
x
1
x
3
+ b
123
x
1
x
2
x
3
Известно, что переменные x
1
, x
2
, x
3 находятся в пределах:
100 ? x
1
? 200 2 ? x
2
? 6 10 ? x
3
? 20
Определить коэффициент регрессии; проверить на значимость по критерию Стьюдента; отбросить незначимые коэффициенты; полученное уравнения регрессии проверить на адекватность по крит. Фишера.
2 3
= 8 экспериментов; N = 2 n
, где n – число факторов, N – число опытов.
1. Запишем уравнение регрессии y = b + b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
+ b
12
x
1
x
2
+ b
13
x
1
x
2
+ b
23
x
1
x
3
+ b
123
x
1
x
2
x
3 2. Определим центр планирования x
1 0
= (100 + 200)/2 = 150 x
2 0
= (2 + 6)/2 = 4 x
3 0
= (10 + 20)/2 = 15
Интервал варьирования: x
1
= (200-100)/2 = 50 x
2
= (6-2)/2 = 2 x
3
= (20-10) /2 = 5

Методические указания по практической части.
Рассмотрим применение метода Бокса-Вильсона на примере оп тимизации химического реактора. Допустим, что производительность химического реактора зависит от трех факторов: температуры процесса X
1
, объемной скорости потока Х
2
и концентрации катализатора Хз.
Начальные значения факторов: x
1н
=150; х
2н
=20; хз н
=
0,3; интервалы варьирования :
Необходимо провести полный факторный эксперимент, рассчи тать коэффициенты регрессии, проверить их на значимость, уравне ние регрессии проверить на адекватность и осуществить движение по градиенту.
По формуле (2,5) находим значения верхнего и нижнего уровней каждого фактора:
Составляем таблицу ПФЭ в условных и натуральных переменных (табл.2.3)
Значения целевой функции Y снимаем на объекте при соответствующих значениях факторов.
Для определения дисперсии воспроизводимости проводим четыре параллельных опыта в центре планирования. Результаты параллельных опытов: уо1 = 31; уо2 - 31; УОЗ — 35; у04 —
31.
По формуле (2.6) рассчитываем коэффициенты регрессии:
Для проверки значимости коэффициентов регрессии из результатов параллельных опытов по формуле (2.7) необходимо рассчитать дисперсию воспроизводимости Sу2. Сначала находим Y:

По формуле (2.8) определяем значение t-критерия для каждого коэффициента:
Табличное значение t-критерия при уровне значимости q = 0,05 и числе степеней свободы fу = 3: tтабл =
3,18. Сравниваем расчетные значения с табличными: {tо,t1,t2> tтабл, следовательно, коэффициенты b
о,b1,b2 значимы; t3 < tтабл> следовательно, коэффициент Ь3 = 0.
Для проверки адекватности полученного уровня регрессии необходимо подсчитать расчетные значения путем подстановки в уравнение у= 32 4- 4,757x1 - 3,257х2 значений факторов из матрицы планирования: у,
= 32 + 4,757(-1) - 3,257(-1) = 30,5