Файл: Задача Ответы 8 Векторный анализ задача 1, задача 2, задача 4, задача 5, задача 7, задача 10.doc
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 162
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Кратные интегралы: задача 8.Ответы: 8) 6.Векторный анализ: задача 1, задача 2, задача 4, задача 5, задача 7, задача 10Ответы: 1)0; 2) ; 4) 0; 5) 7; 7) ; 10) .Кратные интегралыЗадача 8. Пластинка 
задана ограничивающими ее кривыми, 
-поверхностная плотность. Найти массу пластинки.12. Решение:Рисунок 1 – Ограниченная областьМасса пластинки:Пусть , . Тогда , Следовательно,Масса пластинки:Ответ: 6.Векторный анализЗадача 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .12. Решение:
Уравнение поверхности Нормальный вектор S имеет вид Найдем частные производные функции S:Частные производные функции S в точке M:Тогда нормальный вектор S и его длина:Направляющие косинусы:Найдем частные производные поля u в точке M:Следовательно,Ответ: 0.Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке .12. Решение:Найдем частные производные поля u в точке M:Тогда:Найдем частные производные поля v в точке M:Тогда:Так как То:
Ответ: Задача 4. Найти поток векторного поля через поверхности , вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).12. Решение:Рисунок 2 – Замкнутая поверхность (рисунок взят из учебника)Для нахождения потока векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса. Для этого найдем дивергенцию векторного поля:Ответ: 0.Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью .12. Решение:Рисунок 3 – Ограниченная плоскость и ее проекцияПоток векторного поля через плоскость – поверхностный интеграл:Нормальный вектор плоскости Тогда
Выразим уравнение плоскости через z и перепишем поверхностный интеграл в виде двойного:Вычислим частные производные z: Уравнение проекции:Тогда:Ответ: 7.Задача 7. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).12. Решение:Рисунок 2 – Замкнутая поверхность (рисунок взят из учебника)Для нахождения потока векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса. Для этого найдем дивергенцию векторного поля:Перейдем к цилиндрическим координатам:ТогдаОтвет: Задача 10. Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .12.
Решение:Рисунок 4 – График перемещенияВыразим y в уравнении прямой:Посчитаем работу силы:Ответ:
задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки.12. Решение:Рисунок 1 – Ограниченная областьМасса пластинки:Пусть , . Тогда , Следовательно,Масса пластинки:Ответ: 6.Векторный анализЗадача 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .12. Решение:
Уравнение поверхности Нормальный вектор S имеет вид Найдем частные производные функции S:Частные производные функции S в точке M:Тогда нормальный вектор S и его длина:Направляющие косинусы:Найдем частные производные поля u в точке M:Следовательно,Ответ: 0.Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке .12. Решение:Найдем частные производные поля u в точке M:Тогда:Найдем частные производные поля v в точке M:Тогда:Так как То:
Ответ: Задача 4. Найти поток векторного поля через поверхности , вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).12. Решение:Рисунок 2 – Замкнутая поверхность (рисунок взят из учебника)Для нахождения потока векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса. Для этого найдем дивергенцию векторного поля:Ответ: 0.Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью .12. Решение:Рисунок 3 – Ограниченная плоскость и ее проекцияПоток векторного поля через плоскость – поверхностный интеграл:Нормальный вектор плоскости Тогда
Выразим уравнение плоскости через z и перепишем поверхностный интеграл в виде двойного:Вычислим частные производные z: Уравнение проекции:Тогда:Ответ: 7.Задача 7. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).12. Решение:Рисунок 2 – Замкнутая поверхность (рисунок взят из учебника)Для нахождения потока векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса. Для этого найдем дивергенцию векторного поля:Перейдем к цилиндрическим координатам:ТогдаОтвет: Задача 10. Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .12.
Решение:Рисунок 4 – График перемещенияВыразим y в уравнении прямой:Посчитаем работу силы:Ответ: