Файл: Треугольники (элементы, площади) равнобедренный треугольник.ppt
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 44
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Треугольник – это простейшая фигура: три стороны и три вершины. Математики называют его двумерным симплексом. «Симплекс» по-латыни означает простейший. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. ТРЕУГОЛЬНИКИ (элементы, площади) РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами (АВ = ВС), а третья сторона – основанием (АС).Свойства Углы при основании равны ( ےА = ےС). Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают (ВД). В А С ДПризнаки Треугольник равнобедренный, если два угла медиана является высота является медиана равны высотой биссектрисой является биссектрисой проверь себяРАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (правильным).Свойства Все углы равны ( ےА = ےВ = ےС). Каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, проведёнными из той же вершины (ВД). Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. В А С Д О r Rа ОД = r = = ОВ = R = = R = 2r h = S = = = R = r = СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ Сумма углов треугольника равна а bс β γ 1800 α α +β + γ = 1800 Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол а > b↔ α > βЛюбая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше модуля их разности │а – b │< c < a + b α β δВнешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним δ = α + βпроверь себяпроверь себяПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
I признак ) ) По двум сторонам и углу между ними II признак III признак ) ) ) ) ) ) По одной стороне и двум прилежащим к ней углам По трём сторонамПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ А В М N С P ΔАВС ∞ ΔMNP 1. ےА = ےМ ے В = ےN 2. ےA = ےM 3.МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника. Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади). Три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника (центр масс треугольника). Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. а bсаbсБИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: аbс ( ( Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника. Эта точка является центром вписанной окружности. проверь себяВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой , содержащей противолежащую сторону треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром. аbс Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам: ¬ ¬ ¬
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине: MN ║AC , MN = AC. Она отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия В А С M NТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ И СИНУСОВ Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены a, b, c, а величины противолежащих им углов а bс β γ α α, , β, γ, справедливы две теоремы.Теорема косинусов: Теорема синусов: где R - радиус описанной окружностиПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены a, b, c, а высота аbс ¬ В С А площади вычисляются по формулам: S = S = β S = S = , где r – радиус вписанной окружности , где S = , где R – радиус описанной окружности (формула Герона) p =ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ аb О r c В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. , где S площадь треугольника, а p = L L A B C M L Np-ap-ap-bp-cp-bp-cОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров. аbс , где S площадь треугольника О R
I признак ) ) По двум сторонам и углу между ними II признак III признак ) ) ) ) ) ) По одной стороне и двум прилежащим к ней углам По трём сторонамПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ А В М N С P ΔАВС ∞ ΔMNP 1. ےА = ےМ ے В = ےN 2. ےA = ےM 3.МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника. Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади). Три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника (центр масс треугольника). Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. а bсаbсБИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: аbс ( ( Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника. Эта точка является центром вписанной окружности. проверь себяВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой , содержащей противолежащую сторону треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром. аbс Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам: ¬ ¬ ¬
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине: MN ║AC , MN = AC. Она отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия В А С M NТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ И СИНУСОВ Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены a, b, c, а величины противолежащих им углов а bс β γ α α, , β, γ, справедливы две теоремы.Теорема косинусов: Теорема синусов: где R - радиус описанной окружностиПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены a, b, c, а высота аbс ¬ В С А площади вычисляются по формулам: S = S = β S = S = , где r – радиус вписанной окружности , где S = , где R – радиус описанной окружности (формула Герона) p =ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ аb О r c В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. , где S площадь треугольника, а p = L L A B C M L Np-ap-ap-bp-cp-bp-cОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров. аbс , где S площадь треугольника О R