ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА. Лекция первая
Кинематика точки

• Основными кинематическими характеристиками движения точки являются ее положение, скорость и ускорение. Поэтому к задачам кинематики точки относятся определение способов задания движения и нахождение методов определения скорости и ускорения.

Кинематика точки

• Движение точки по отношению к выбранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени.

Кинематика точки

• Векторный способ. Положение точки в пространстве задано, если ее радиус-вектор , проводимый из некоторого заданного центра, известен как функция времени.

Кинематика точки

• При этом предполагается, что имеется возможность определить его модуль и направление в любой момент времени. Это можно сделать, если избрана какая-либо система координат, например прямоугольная декартова система координат.

Кинематика точки

• Координатный способ. Способ задания движения точки с помощью координат как известных функций времени называется координатным способом. Наиболее распространенной является прямоугольная декартова система координат. Движение точки задается с помощью координат x, y, z как известных функций времени, то есть

Кинематика точки

• Уравнения движения точки представляют собой и уравнение траектории точки, но только в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Для определения уравнения траектории в координатной форме необходимо исключить время t
• Траекторией точки называется непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении.

Кинематика точки

• Естественный способ. При естественном способе задания движения известны уравнения траектории и закон движения точки по траектории. Пусть точка Mо - начало отсчета. Выбрав направление положительного отсчета дуги по траектории, определяем положение точки М в любой момент времени как функцию изменения дуги:

Кинематика точки

• Данная зависимость есть закон движения. Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны.

Скорость точки

---

• Определим скорость точки, рассматривая векторный способ задания ее движения. Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом , а в момент - радиус-вектором . Вектор
есть вектор перемещения точки за время t.

Скорость точки

• Понятие средней скорости:
Скорость точки в данный момент времени есть предел отношения вектора перемещения к промежутку времени , за который произошло это перемещение при , стремящемся к нулю, то есть

Скорость точки

• Таким образом, скорость точки равна производной радиус-вектора точки по времени, а именно
и направлена по касательной к траектории в сторону движения. Единицами измерения скорости являются м/c, км/ч.

Скорость точки

• Определение скорости при координатном способе задания движения.
Производную по времени в теоретической механике обозначают точкой сверху, поэтому
Вектор скорости определяется модулем
и направлением, которое задается направляющими косинусами:

Скорость точки

• Определение скорости при естественном способе задания движения.

где - проекция скорости на касательную
Ускорение точки

• Определение ускорения точки при векторном способе задания движения. Полагаем, что в момент времени t скорость равна , а в момент времени - соответственно, .

Изменение вектора скорости за промежуток времени определяется как
Ускорение точки

• Среднее ускорение:
Ускорение точки в данный момент времени есть предел отношения приращения скорости к приращению времени при , стремящемся к нулю:

;
Ускорение точки

• Следовательно, ускорение точки равно первой производной по времени вектора скорости точки или второй производной по времени радиуса-вектора точки.
• Единицей измерения ускорения является м/с^2 .

Ускорение точки

• Определение ускорения при координатном способе задания движения.
Модуль ускорения определяется как
а направление задается направляющими косинусами:

---

Ускорение точки

• Определение ускорения при естественном способе задания движения.
где ρ - радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Касательное ускорение

Нормальное ускорение
Ускорение точки

• Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
• Модуль ускорения равен

Ускорение точки

• Составляющие ускорения всегда взаимно перпендикулярны.
• Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью. Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении точки.

Равнопеременное движение точки

• Если , то движение называется равнопеременным, причём если , то движение равноускоренное, а если , то движение равнозамедленное.
• Выражение для скорости при равнопеременном движении:

• Основными движениями твёрдого тела являются поступательное движение и вращение тела вокруг неподвижной оси. Задачами кинематики твёрдого тела являются установление способа задания его движения, изучение кинематических характеристик, присущих телу в целом, и определение траекторий, скоростей и ускорений всех точек тела.

• Число независимых параметров, задание которых однозначно определяет положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела. Свободное твёрдое тело имеет шесть степеней свободы.

• Поступательным движением называется такое движение твёрдого тела, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся во всё время движения параллельной своему первоначальному положению.
Возьмём на теле, движущемся поступательно, две произвольные точки А и В и векторным способом зададим их движение.

• Из рисунка видно, что
Скорость точек:

;

Тогда

• При поступательном движении тела все его точки движутся одинаково, так как их перемещения, скорости и ускорения геометрически равны.
• Поэтому поступательное движение полностью определяется движением одной произвольной точки. Если взять координатный способ задания движения точек, то уравнениями поступательного движения будут

---

• Вращательным движением тела вокруг оси будем называть такое движение, при котором некоторая прямая, принадлежащая тел, - ось вращения - остаётся неподвижной, а все точки тела движутся по окружностям с центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось вращения.
• На рисунке АВ - ось вращения, h1, h2 - радиусы окружностей, по которым движутся произвольные точки тела C и D.

• Возможность такого движения обеспечивается опорами: А - подпятник, В - подшипник, по-другому ещё можно назвать А - радиально-упорный подшипник, В - радиальный подшипник. Тело при этом движении имеет одну степень свободы. Следовательно, для задания его движения необходимо иметь один независимый параметр, в качестве которого выбирают угол поворота φ.

• Пусть Ax1y1z1 – неподвижная система координат, ось Az1 направлена по оси вращения тела. Жестко с телом свяжем систему координат Axyz. В начальный момент времени эти системы совпадают, а через некоторый промежуток времени они отклоняются и их взаимное положение определяется углом, являющимся функцией времени,

• Угол φ - положительный, если вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси Az1.
• Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твёрдого тела являются угловая скорость и угловое ускорение.

• Угловая скорость является алгебраической величиной, модуль которой

Зависимость между угловой скоростью w и числом оборотов в минуту n определяется как

• Угловое ускорение в данный момент времени определяется как предел
• Угловое ускорение равно производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота. Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Единица измерения углового ускорения - рад/с.

Равнопеременное вращение твёрдого тела

• Если угловая скорость постоянна, то вращение тела - равномерное. Рассмотрим случай, когда постоянным является угловое ускорение. Такое вращение называется равнопеременным, причём если , то вращение равноускоренное, если <0, то равнозамедленное.
• Законы изменения угловой скорости и угла φ соответственно при равнопеременном вращении:

---

• Вектором угловой скорости твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется вектор, модуль ω которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.

• Вектором углового ускорения является вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости, то есть:
• Отсюда видно, что вектор углового ускорения направлен, как и вектор , вдоль оси вращения.

Векторы угловой скорости и углового ускорения

Векторы угловой скорости и углового ускорения

а – ускоренное вращение;

б – замедленное вращение.

• Рассматриваем вращение тела вокруг неподвижной оси z1 .
• Берём неподвижную точку тела М , траекторией движения которой является окружность радиуса ρ с центром О на оси вращения z1 .

• Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси определяется как векторное произведение:
• Рассматриваемый вектор направлен по касательной к траектории движения точки в сторону движения, то есть совпадает по направлению с вектором скорости.

Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

• Рассмотрим сечение (диск) тела плоскостью, перпендикулярной к оси вращения и содержащей точку М.

Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

• Как видно, модуль скорости любой точки тела равен произведению модуля угловой скорости на расстояние от точки до оси вращения, то есть пропорционален радиусу окружности, по которой движется точка.

Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

• Направлен вектор скорости по касательной к этой окружности в сторону движения, то есть перпендикулярно к радиусу. Для определения ускорения точки М возьмём производную скорости по времени

Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Получаем

• Ускорение точки состоит из двух составляющих, первая - вращательное ускорение вторая - осестремительное ускорение . При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси их можно называть касательным и нормальным ускорениями соответственно.
• Модуль полного ускорения точки М будет равен
т.к. составляющие ускорения перпендикулярны.

---

Смотрите также файлы

• Они рядом с нами редкие и исчезающие животные и растения.docx

• Дневник производственной практики пп. 03. 02 Первые дни ребёнка в школе пм. 03 Классное руководство.docx

• Борисенко Наталья Ивановна, учитель обж.ppt

• Классический ход на лыжах.docx

• 26. Антропогенный рельеф Антропогенный рельеф совокупность форм рельефа, созданных или значительно измененных хозяйственной деятельностью человека. Можно говорить о собственно антропогенных формах рельефа, т е.docx