ДИПЛОМНАЯ РАБОТАФункциональные уравнения на оси и полуосиСОДЕРЖАНИЕВведение.Функциональные уравнения. Их свойства и методы решения.1 Определение и примеры функциональных уравнений.2 Методы решения функциональных уравнений. Решение функциональных уравнений Коши на множестве Q рациональных чисел.1 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)+f(y) на Q.2 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)∙f(y) на Q.3 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)+f(y) на Q.4 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)∙f(y) на Q. Решение функциональных уравнений Коши на оси R.1 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)+f(y) на оси R.2 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)∙f(y) на оси R. Решение функциональных уравнений Коши на полуоси R+.1 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)+f(y) на полуоси R+.2 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)∙f(y) на полуоси R+ .3 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)+f(y) на полуоси R+ .4 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)∙f(y) на полуоси R+. Решение функциональных уравнений Коши в измеримых функциях.1 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)+f(y) в измеримых функциях.2 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)∙f(y) в измеримых функциях.3 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)+f(y) в измеримых функциях.4 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)∙f(y) в измеримых функциях. Некоторые обобщения и приложения.1 Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов.2 Решение уравнения для синуса на оси R.3 Класс уравнений типа КошиЗаключениеСписок использованных источниковВведениеНастоящая дипломная работа посвящена изучению функциональных уравнений, весьма общему классу уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях; следует, однако, отметить, что название функциональные уравнения обычно не относят к уравнениям этих типов. Под функциональными уравнениями в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональные уравнения

---

можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

В первой главе настоящей работы вводятся основные понятия, определения, свойства, приводятся примеры функциональных уравнений. Рассматриваются функциональные уравнения с одной переменной, описываются некоторые методы их решения, в частности, метод решения некоторых функциональных уравнений с помощью групп функций, приводятся примеры. В главе 8 страниц.

Во второй главе рассматриваются уравнения вида
f(x+у) = f (x) + f (y),

f (x + у) = f (x) f (y), (1)(xy) = f (x) + (y),

f (xy) = f (x) f (y),
находятся их решения в классе функций, заданных на множестве рациональных чисел. Глава состоит из 10 страниц.

В третьей главе рассматриваются уравнения вида f(x+у)=f (x) + f (y) иf (x + у) = f (x) f (y), для функций, непрерывных на всей оси R. Глава содержит 7 страниц

В четвертой главе рассматриваются уравнения вида (1) для функций, непрерывных на полуоси R₊. Глава содержит 8 страниц.

В пятой главе рассматриваются решения уравнений вида (1) в классе измеримых функций. В главе 9 страниц.

В шестой главе делается обобщение уравнений вида (1) и их решений. Рассматривается также функциональное уравнение f(y+x)+f(y-x)=2f(x)∙f(y), являющееся функциональной характеристикой тригонометрического и гиперболического косинусов. Находится решение функционального уравнения f′(x- y)-f′(x + y)=2λf(x)∙f(y). В главе 7 страниц

В заключении делаются выводы о том, что функциональные уравнения могут служить для определения многих элементарных функций, применяться для введения новых классов функций. Основным же результатом работы станет решение уравнений (1) в классе измеримых функций.

решение функциональное уравнение множество ось полуось

1. Функциональные уравнения. Их свойства и методы решения
.1 Определение и примеры функциональных уравнений
Функциональные уравнения - весьма общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям, по существу, относятся дифференциальные уравнения

---

∙lnx, x^a как в множестве функций, непрерывных на Q, так и в множестве функций, непрерывных на всей числовой оси R, на полуоси R₊ , и вообще на любом измеримом множестве (в классе измеримых функций).

6. Некоторые обобщения и приложения
6.1 Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов
Если
f(x) = cos ax или ch ax (a ≥ 0) (6.1)
то, при любых вещественных значениях x и y,удовлетворяется соотношение
f(y+x)+f(y-x)=2f(x)∙f(y) (6.2)
Это с легкостью вытекает из теоремы сложения для обоих косинусов:
(6.3)
Функциональное уравнение (6.2) вместе с требованием непрерывности функции, и на этот раз полностью характеризует оба косинуса:

Единственными функциями, определенными и непрерывными в промежутке (-∞, +∞) и удовлетворяющими в нем уравнению (6.2), являются тригонометрический и гиперболический косинусы (6.1) (если, не считать функции, тождественно равной нулю).

►Итак, пусть f(x) будет непрерывная для всехx функция, удовлетворяющая условию (6.2). Полагая x=0и принимая за у какое либо из значений, для которого f(y)≠0, заключаем, что
f(0)=1. (6.4)
При y=0 в таком случае получается
f(-x)=f(x) (6.5)
так что функция f(x) оказывается четной.

Поскольку непрерывная функция f(x) при x=0 будет положительна, то найдется такое, скажем, положительное число с, что f(x) будет положительна на всем промежутке [0,c]. В дальнейшем исследование пойдет по разным путям, в зависимости от того, будет ли а) f(c) ≤ 1 или б) f(c) > 1. Займемся случаем а).

Так как 0 < f(c) ≤ 1, то найдется такое θ , что
f(c) = cos θ. (6.6)

---

Смотрите также файлы

• В каком году создано управление по надзору за соблюдением прав и свобод граждан в 2006 году в Генеральной прокуратуре рф создано управление по надзору за соблюдением прав и свобод граждан.docx

• Жизнь и творчество Константина Георгиевича Паустовского (18921968гг) Детство.pptx

• Загрузите результат Индивидуального практического задания, слушатель Сафиюллина Динара Наилевна Преподаватель Кусачева Марина Юрьевна.rtf

• Занятие 4 Преподаватель Пермь 2021.docx

• И з показателей внешнеторгового оборота р о с с ии (Итоговая). Цель дать анализ показателям внешнеторгового оборота России. Оборудование учебник.docx