ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 15
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Лекция 2. Элементы дифференциального исчисления
Майер И.И.
2.1.Производная функции. Дифференциал
2.2. Методы вычисления производных
2.3. Производные и исследование функций
2.1 Производная функции. Дифференциал
Майер И.И.
Непрерывная функция y=f(x) задана графиком (рис.1) . Отметим на
графике точки М0(х0,y0) (у=f(x0)) и М (х0+х) (f(x0+х)). Построим :
прямую М0К, касательную к графику функции в точке М0(х0,y0) и
прямую М0М, секущую, соединяющую точки М0 и М.
Тангенс угла наклона секущей
Если х0, то и у0. При этом секущая М0М неограниченно
приближается к положению М0К, к касательной к графику у = f(х) в
точке М0. Угловой коэффициент касательной получим из
предельного перехода
Производная - определение.
Майер И.И.
Производной функции у = f(х)в точке х0 называется предел
отношения приращения функции у = f(х0+х)-f(х0) к приращению
аргумента х при произвольном стремлении х к нулю, если
такой предел существует.
Обозначается производная функции f(х) в точке х0 символом f'(х0).
Для производной в точке х0 можно использовать и другие обозначения,
например:
Из предыдущих рассуждений следует, что геометрический смысл
производной – это тангенс угла наклона касательной к функции
в точке
Существование производной
Майер И.И.
1. Необходимое условие существования производной: функция определена
и непрерывна в точке (на интервале). Верно и обратное утверждение: если
функция дифференцируема в точке х0, то она в этой точке непрерывна
Примеры функций, когда необходимое условие в точке х0 не выполняется
2. Достаточное условие существования производной в точке: производная
определена и непрерывна в точке (на интервале)
Примеры функций, когда достаточное условие не выполняется
Геометрический смысл производной, дифференциала
Майер И.И.
Геометрический смысл производной функции в точке х0 , f'(х0) - угловой
коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке М0(х0,y0).(слайд 3)
Дифференциал – определение. Рассмотрим рис.1. Приращение
у = f(x0+x)- f(x0) при перемещении по секущей равно отрезку NМ, при
перемещении по касательной равно отрезку KN. Из треугольника М0KN
следует, что KN=M0Ntg. Так как М0N=х , а tg=f'(х0) , то KN = f‘(x0)х.
Произведение f'(x0)х называется дифференциалом функции у=f(x)
в точке х0 и обозначается dy(х), df(х). Учитывая, что х=dx, получаем
dy=df= f'(x0)х =f'(x)dx
Геометрический смысл дифференциала (отрезок KN ) – это первое
линейное приращение функции в точке х0 + х
Механический смысл производной
Майер И.И.
Пусть материальная точка движется в заданном направлении.
Пусть S=S(t) – закон движения материальной точки в зависимости от
времени t, t0 – время начала движения, S(t0) – путь в момент t0.
В момент времени t= t0+t путь равен S(t0+t), приращение пути за отрезок
времени t равно S=S(t0+t) - S(t0).
Тогда средняя скорость за время t равна
а скорость прямолинейного движения материальной точки в момент
времени t0 (мгновенная скорость) есть производная от пути по времени.
Это – «механический смысл» производной.
В каком-то смысле – производная функции – это скорость ее
изменения – чем круче график, тем больше производная ( по
абсолютной величине)
Производная и характер графика
Майер И.И.
1. Монотонно возрастающая функция, Производная положительна
2. Монотонно убывающая функция. Неубывающая функция
Производная отрицательна Производная неотрицательна
3. Немонотонная функция. Производная в точках экстремума равна нулю
Немонотонные функции
Майер И.И.
Функция имеет интервалы монотонного роста и монотонного спада. В
точке а функция имеет минимум, в точке b- максимум. Это – глобальные
минимум и максимум
Внутренними (локальными) точками минимального или максимального
(экстремального) значения являются x1, x2, x3, x4.
Точки x1, x3 – точки максимума, точки x2, x4 – точки минимума
В этих точках касательная параллельна оси х, тангенс угла
наклона равен нулю, следовательно производная в этих точках
равна нулю, а вокруг этих точек производная меняет знак.
Аналитическое определение точек экстремума связано с нахождением первой производной функции
Первая производная и экстремумы функции
Майер И.И.
Если функция у=f(х) имеет конечную производную в каждой точке отрезка [а,Ь], то она дифференцируема на этом отрезке и ее поведение можно исследовать с помощью производной f'(x).
Рассмотрим еще раз график функции рис.7.
Наблюдаем интервалы возрастания, убывания, точки изменения поведения функции х1, х2, х3, х4.
В точках х1, х3 функция имеет наибольшее в окрестности значение, в х2, х4 – наименьшее
Определение: любая непрерывная на отрезке [а,Ь] функция достигает на этом отрезке своего минимального и своего максимального значения
Майер И.И.
1.Необходимое условие существования экстремума в точке: f'(x) =0 .
Точки, в которых f'(x)=0 являются возможными точками экстремума.
Они называются стационарными (характеристическими) точками.
2. Достаточное условие существования экстремума в точке:
- точка х=с является стационарной,
- производная f'(x) при переходе аргумента через стационарную точку х=с меняет знак
Правило знаков: - производная в стационарной точке меняет знак:
- с плюса на минус – в точке х=с - максимум;
- с минуса на плюс, - в точке х=с - минимум.
- производная в стационарной точке не меняет знак. В точке х=с нет ни минимума, ни максимума.
Пример. Пусть f(x)= x3. Тогда f'(x) = 3x2=0 и стационарная точка с=0
Очевидно, знак f'(x) = 3x2 вокруг точки с=0 не меняется, в этой точке
нет ни минимума, ни максимума
График функции f(x)=
Майер И.И.
2.2. Вычисление производных
Таблица производных
Основные правила дифференцирования
Основные методы вычисления производных
Таблица основных формул дифференцирования
Майер И.И.
1. постоянная
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Майер И.И.
Если функции u=u(х) и v=v(х) дифференцируемы в точке х, тогда
справедливы следующие правила дифференцирования:
1. Здесь с -постоянная
2. Производная суммы функций
3. Производная произведения функций
4. Производная частного
5. Производная сложной функции. Пусть функция у=f(u), где u=u(х).
Тогда у есть сложная функция от х: y=f(u(x)), а u — промежуточный
аргумент. Производная от сложной функции находят по правилу
или
Правила дифференцирования. Примеры
Майер И.И.
1. Дифференцирование произведения двух функций
2. Дифференцирование частного двух функций
Примеры дифференцирование сложной функции
Майер И.И.
Дифференцирование сложной функции производится по формуле
или
Пример 1
Пусть .
Обозначив , получим
Тогда ,
Следовательно,
3. Правило дифференцирования сложной функции
Майер И.И.
Пример 2
Пусть y (х) = e-x
Обозначим U(x)= -x;
Тогда у (х)= e -x = eU(x)
Так как ,
то
Производные высших порядков
Майер И.И.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (а,Ь) и имеет
первую производную у '= f '(х).
Первая производная является функцией и может быть
дифференцируема, иметь производную. Производная первой
производной называется второй производной, или производной
второго порядка и обозначается символами
или
Производной n-гo порядка функции f(x) называется первая
производная от производной (n-1)-го порядка:
Вычисление производных высших порядков. Примеры
Майер И.И.
Найти значение третьей производной функции у=е(5х +3). Вычислить ее значение в точке х=0.
Вычислим сначала третью производную
Подставим х=0. Получим значение третьей производной в точке
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
Майер И.И.
График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале [а,Ь],
если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале.
Функции на рис.10 выпуклая на интервале, парабола у=х2 (рис.12) выпуклая на
всей числовой оси. Для выпуклой функции справедливо: f"(х)>0
График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале [а,Ь],
если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале.
Для вогнутой функции справедливо: f"(х)<0
Майер И.И.
Точка М0(х0,f(х0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть
графика от вогнутой, называется точкой перегиба функции y=f(x)
За выпуклость (вогнутость) функции "отвечает" вторая производная
функции y = f(x), f"(х) .
Точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых:
- вторая производная у"= f"(х) =0. Это - возможная точка перегиба.
- если слева и справа от возможной точки перегиба вторая
производная меняет знак – то это точка перегиба.
Если f"(х) меняет знак с минуса на плюс- график изменяется от
вогнутого на выпуклый, с плюса на минус – от выпуклого на
вогнутый
Майер И.И.
2. 3. Производные и исследование функции
Общая схема исследования
Пределы и асимптоты графика функции
Примеры решения задач
Общая схема исследования функции
Майер И.И.
Рекомендуемая схема исследования
1. Найти область определения функции (ООФ).
2. Определить точки разрыва функции, интервалы непрерывности и вертикальные асимптоты.
3. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
4. Исследовать пределы функции – на границах ООФ, в точках разрыва, найти уравнения асимптот.
5. Найти экстремумы функции и интервалы монотонности.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика.
7. Найти точки пересечения графика с осями координат.
8. Построить график.
9. Определить область значений (ОЗФ).
Асимптоты графика функции
Майер И.И.
Асимптота к графику функции y=f(x) – это прямая, к которой приближается точка M(x,y), лежащая на графике, в данном процессе:
1. При неограниченном удалении ее от начала координат, при
устремлении точки к границам области определения. Здесь говорят о наклонной асимптоте y=kx+b или ее частном случае
– горизонтальной асимптоте y=b
Величины k и b определяют по формулам
2. В точках разрыва второго рода, хр =a, говорят о вертикальной
асимптоте x=a. Это прямая, параллельная оси Y, к которой приближается точка M(x,y), лежащая на графике, при устремлении
Точки к точке разрыва.
Примеры исследования функции
Майер И.И.
Пример1: Исследовать функцию у=(x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2
1.Область определения функции (-, +).
2. Точки разрыва – нет
3. Функция общего вида
4. Пределы функции: x->- y -> - ; x -> y -> Асимптот нет
5. Точки экстремума, интервалы монотонности
Найдем стационарные точки. Для этого найдем первую
производную и приравняем ее нулю
у'(х)= Зх2-6х=Зх(х-2)=0. Стационарные точки х=0; х=2. Нанесем эти
точки на числовую ось (рис.9), проанализируем знаки
производной у'=Зх(х-2) вокруг стационарных точек. При переходе
через х=0 производная меняет знак с + на -, х=0 – максимум; при
переходе через х=2 производная меняет знак с – на + , х=2 –
минимум
Майер И.И.
Пример 1 (продолжение). Исследуемая функция у = (x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2
х=0 – максимум ; y(0) =2
х=2 – минимум ; y(2) = -2.
В точке х=-0.5 y(-0.5)=9/8; в точке х=4 y(4)=18.
6. Точки перегиба. Определим вторую производную, приравняем
ее нулю. Получаем y’’=(3x2-6x)’ = 6x-6=0. точка перегиба x=1.
7. Найдем точки пересечения с осью х: х1=-0.73; х2 =0; х3=2.73
8. Построим качественный график
9. Область значений ОЗФ = (-, +).
Майер И.И.
Пример 2. Исследуемая функция
1. ООФ – (-,1) (1,+)
2. Точка разрыва хр =1. Интервалы непрерывности
(-,1), (1,+). Вертикальная асимптота хр =1
3. Функция общего вида. Не является ни четной, ни нечетной, ни
периодической.
4.Определяем пределы:
-на границах ООФ. Совместим исследование с поиском
наклонной асимптоты y = kx + b.
Уравнение наклонной асимптоты y = -x + 5
Майер И.И.
Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция
Пределы в точке разрыва, справа х 1+ , слева х 1-
5. Определяем экстремумы функции. Для этого найдем
производную, приравняем ее нулю, посмотрим знаки
производной
Характеристические точки х1=3; х2= -1.
В окрестности точки x= -1 знак производной меняется с минуса
на плюс,x2= -1 – точка минимума и y(-1)=8.
Нетрудно убедиться, что в точке x1=3 максимум, y(3)=0.
Майер И.И.
Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция
6. Определяем точки перегиба. Для этого находим вторую производную, приравниваем ее нулю. Точек перегиба функция не имеет, так как ее вторая производная нуля не имеет
На интервале (-,1) вторая производная положительна, и график выпуклый. На интервале (1,+) вторая производная отрицательная и график — вогнутый.
Майер И.И.
Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция
7. Точки пересечения функции с осями координат: (3,0) и (0,9)
8. График функции
9. Область значений (ОЗФ): (-,0] [8,+)
Майер И.И.
Пример 3. Исследуемая функция
1. ООФ – вся числовая ось, ООФ=(-, +).
2. Точек разрыва нет; вертикальной асимптоты нет; интервал непрерывности (-, +).
3. Функция общего вида.
4. Пределы на границах ООФ определяем, совместив задачу с поиском асимптоты.
Очевидно, ось х – горизонтальная асимптота
Майер И.И.
Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция
5. Найдем экстремум функции и интервалы монотонности.
Стационарная точка х=1 является точкой максимума функции, так
как при переходе через эту точку (слева направо) производная
меняет знак с плюса на минус.
Майер И.И.
Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция
6. Вычислим у" и найдем точки перегиба:
Вторая производная обращается в нуль при х=0 и при х=2. В обеих
этих точках происходит смена знака у", т.е. обе точки будут
точками перегиба. Функция в этих точках равна:
Майер И.И.
Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция
7. Точка пересечения с осью y(х=0):(0, exp(-0.5)) или (0, 0.606).
Точек пересечения функции с осью х нет.
8. График функции
9. Область значений (ОЗФ) (0, 1]