Лекция 8Дифференциальные уравнения в частных производныхКлючевые слова:дифференциальные уравнения в частных производных, порядок уравнения, решение уравнения, общее решение, частное решение, однородное уравнение, линейное уравнение, характеристическое уравнение, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, дополнительные условия, начальные условия, граничные условия, канонический вид уравнения.В теоретической физике очень важную роль играют дифференциальные уравнения в частных производных. Связано это с тем, что любой физический закон наиболее точно может быть выражен только в виде уравнения, и такое представление является самым общим (фундаментальным), т.е. на его основе можно описывать все явления и экспериментальные факты. Более того, правильно записанное дифференциальное выражение физического закона позволяет предсказывать еще не открытые явления.Надо отметить, что многие физические законы (например, законы квантовой механики) очень сложны, необычны и поэтому не поддаются наглядному описанию с помощью моделей или классических аналогий. В этих случаях их описание на основе уравнений является единственно возможным и строгим. Только такой способ описания позволяет нам, как говорил Л. Д. Ландау, понять вещи, которые мы уже не в силах вообразить.Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные искомой функции по этим независимым переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных.Порядкомдифференциального уравнения в частных производных называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение. Решением (интегралом)

---

дифференциального уравнения в частных производных называется функция, которая, будучи подставленной в уравнение вместо искомой функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по всем независимым переменным в рассматриваемой области.Уравнение является линейным,если все производ­ные и сама неизвестная функция входят в это уравнение в первой степени.Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения в частных производных называется интегрированиемэтого уравнения. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных зависит от произвольных функций, число которых равно порядку этого уравнения.Любое решение дифференциального уравнения в частных производных, входящих в состав общего решения, называется частным решениемэтого уравнения.Для того чтобы найти интересующее нас решение дифференциального уравнения в частных производных, надо присоединить к уравнению некоторые дополнительные условия, которым оно удовлетворяет. Дополнительные условия делятся на начальные и граничные (краевые). Начальные условия задают значение функции в начальный момент времени. Кроме того, если уравнение содержит вторую производную по времени, нужно задать еще значение производной функции при .Граничные (краевые) условия обычно сводятся к заданию функции на границе области, в которой ищется решение задачи (условия Дирихле), или к заданию некоторых производных функции на этой границе (условия Неймана), или к заданию и значений функции и ее производных на границе области (условия Коши).Наиболее часто в физике используются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Общий вид такого уравнения для независимых переменных имеет следующий вид: .Если искомая функция зависит только от двух независимых переменных, то такое уравнение примет вид . (3.1)В данном уравнении если , то уравнение называется однородным, если же

---

, то уравнение называется неоднородным.

В зависимости от значения коэффициентов, стоящих при старших производных, уравнения подразделяются на несколько типов. Если , то дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением гиперболического типа; если , то – уравнением эллиптического типа; если , то – уравнением параболического типа.

Для того чтобы привести дифференциальное уравнение в частных производных к каноническому виду, надо составить его характеристическое уравнение
, (3.2)
которое распадается на два уравнения
(3.3)

, (3.4)
и найти их общие интегралы.

Интегральные кривые уравнения (3.2) или, что то же самое, уравнений (3.3) и (3.4), называются характеристиками уравнения (3.1).

Если уравнение (3.1) гиперболического типа, то интегралы уравнений (3.3) и (3.4) вещественны и различны. Они определяют два различных семейства вещественных характеристик уравнения (3.1). С помощью замены переменных уравнение (3.1) приводят к каноническому виду уравнения гиперболического типа:

.

Если же уравнение (1) параболического типа, то уравнения (3.3) и (3.4) совпадают, и мы получаем один общий интеграл характеристического уравнения (3.2): , определяющий одно семейство вещественных характеристик уравнения (3.1). Произведя замену переменных по формулам , где — такая функция, что в рассматриваемой области, приведем уравнение (3.1) к виду

---

,
называемому каноническим видом уравнения параболического типа.

Наконец, если уравнение (3.1) эллиптического типа, то общие интегралы уравнений (3.3) и (3.4) комплексно-сопряженные:

где - вещественные функции, определяющие два семейства мнимых характеристик уравнения (3.1). Произведя замену переменных по формулам , приведем уравнение (3.1) к виду
,

называемому каноническим видом уравнения эллиптического типа.

Во многих задачах физики применяются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка нескольких наиболее часто встречающихся видов.

1. 
   При изучении волн различной физической природы – упругих, электромагнитных, волн плотности заряда в плазме и т.д. - применяется волновое уравнение
   

Здесь функция может быть давлением или плотностью для упругих волн в газах, напряженностью электрического или магнитного поля и т.д.; - скорость распространения волн в данной среде.

2. 
   Распространение тепла в однородном изотропном теле, процессы диффузии описываются уравнением теплопроводности
   

Здесь функция имеет смысл температуры или концентрации.

3. 
   Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле описывается уравнением Пуассона
   

где функция связана с плотностью источников тепла.

4. 
   При отсутствии источников тепла внутри тела установившееся тепловое состояние описывается уравнением Лапласа
   

Уравнением Лапласа также описываются потенциалы поля тяготения и электростатического поля при отсутствии масс или зарядов.

5. 
   Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера, которое имеет вид
   

---

Здесь комплексная функция , называемая волновой функцией, определяет амплитуду вероятности обнаружения микрочастицы, а функция связана с потенциальной энергией микрочастицы во внешнем силовом поле. Приведенные уравнения называются основными уравнениями математической физики.

---

Смотрите также файлы

• Дети с овз иванова Я. А. Бсрз1801.pptx

• Реферат пожара безопасность при содержании гаражей и открытых стоянок и паркингом Группа оно 211.pdf

• Мотивация и выполнение работы.rtf

• Космическая система коспас sarsat.pptx

• Рабочая программа внеурочной деятельности Занимательная химия 9 класс.docx