Лекция 8

Дифференциальные уравнения в частных производных
Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, порядок уравнения, решение уравнения, общее решение, частное решение, однородное уравнение, линейное уравнение, характеристическое уравнение, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, дополнительные условия, начальные условия, граничные условия, канонический вид уравнения.
В теоретической физике очень важную роль играют дифференциальные уравнения в частных производных. Связано это с тем, что любой физический закон наиболее точно может быть выражен только в виде уравнения, и такое представление является самым общим (фундаментальным), т.е. на его основе можно описывать все явления и экспериментальные факты. Более того, правильно записанное дифференциальное выражение физического закона позволяет предсказывать еще не открытые явления.

Надо отметить, что многие физические законы (например, законы квантовой механики) очень сложны, необычны и поэтому не поддаются наглядному описанию с помощью моделей или классических аналогий. В этих случаях их описание на основе уравнений является единственно возможным и строгим. Только такой способ описания позволяет нам, как говорил Л. Д. Ландау, понять вещи, которые мы уже не в силах вообразить.

Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные искомой функции по этим независимым переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядкомдифференциального уравнения в частных производных называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Решением (интегралом)

---

дифференциального уравнения в частных производных называется функция, которая, будучи подставленной в уравнение вместо искомой функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по всем независимым переменным в рассматриваемой области.

Уравнение является линейным,если все производ­ные и сама неизвестная функция входят в это уравнение в первой степени.

Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения в частных производных называется интегрированиемэтого уравнения. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных зависит от произвольных функций, число которых равно порядку этого уравнения.

Любое решение дифференциального уравнения в частных производных, входящих в состав общего решения, называется частным решениемэтого уравнения.

Для того чтобы найти интересующее нас решение дифференциального уравнения в частных производных, надо присоединить к уравнению некоторые дополнительные условия, которым оно удовлетворяет. Дополнительные условия делятся на начальные и граничные (краевые).

Начальные условия задают значение функции в начальный момент времени. Кроме того, если уравнение содержит вторую производную по времени, нужно задать еще значение производной функции при .

Граничные (краевые) условия обычно сводятся к заданию функции на границе области, в которой ищется решение задачи (условия Дирихле), или к заданию некоторых производных функции на этой границе (условия Неймана), или к заданию и значений функции и ее производных на границе области (условия Коши).

Наиболее часто в физике используются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Общий вид такого уравнения для независимых переменных имеет следующий вид:
.
Если искомая функция зависит только от двух независимых переменных, то такое уравнение примет вид
. (3.1)
В данном уравнении если , то уравнение называется однородным, если же

---

, то уравнение называется неоднородным.

В зависимости от значения коэффициентов, стоящих при старших производных, уравнения подразделяются на несколько типов. Если , то дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением гиперболического типа; если , то – уравнением эллиптического типа; если , то – уравнением параболического типа.

Для того чтобы привести дифференциальное уравнение в частных производных к каноническому виду, надо составить его характеристическое уравнение
, (3.2)
которое распадается на два уравнения
(3.3)

, (3.4)
и найти их общие интегралы.

Интегральные кривые уравнения (3.2) или, что то же самое, уравнений (3.3) и (3.4), называются характеристиками уравнения (3.1).

Если уравнение (3.1) гиперболического типа, то интегралы уравнений (3.3) и (3.4) вещественны и различны. Они определяют два различных семейства вещественных характеристик уравнения (3.1). С помощью замены переменных уравнение (3.1) приводят к каноническому виду уравнения гиперболического типа:

.

Если же уравнение (1) параболического типа, то уравнения (3.3) и (3.4) совпадают, и мы получаем один общий интеграл характеристического уравнения (3.2): , определяющий одно семейство вещественных характеристик уравнения (3.1). Произведя замену переменных по формулам , где — такая функция, что в рассматриваемой области, приведем уравнение (3.1) к виду

---

,
называемому каноническим видом уравнения параболического типа.

Наконец, если уравнение (3.1) эллиптического типа, то общие интегралы уравнений (3.3) и (3.4) комплексно-сопряженные:

где - вещественные функции, определяющие два семейства мнимых характеристик уравнения (3.1). Произведя замену переменных по формулам , приведем уравнение (3.1) к виду
,

называемому каноническим видом уравнения эллиптического типа.

Во многих задачах физики применяются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка нескольких наиболее часто встречающихся видов.

1. 
   При изучении волн различной физической природы – упругих, электромагнитных, волн плотности заряда в плазме и т.д. - применяется волновое уравнение
   

Здесь функция может быть давлением или плотностью для упругих волн в газах, напряженностью электрического или магнитного поля и т.д.; - скорость распространения волн в данной среде.

2. 
   Распространение тепла в однородном изотропном теле, процессы диффузии описываются уравнением теплопроводности
   

Здесь функция имеет смысл температуры или концентрации.

3. 
   Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле описывается уравнением Пуассона
   

где функция связана с плотностью источников тепла.

4. 
   При отсутствии источников тепла внутри тела установившееся тепловое состояние описывается уравнением Лапласа
   

Уравнением Лапласа также описываются потенциалы поля тяготения и электростатического поля при отсутствии масс или зарядов.

5. 
   Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера, которое имеет вид
   

---

Здесь комплексная функция , называемая волновой функцией, определяет амплитуду вероятности обнаружения микрочастицы, а функция связана с потенциальной энергией микрочастицы во внешнем силовом поле.

Приведенные уравнения называются основными уравнениями математической физики.

---

Смотрите также файлы

• Дети с овз иванова Я. А. Бсрз1801.pptx

• Реферат пожара безопасность при содержании гаражей и открытых стоянок и паркингом Группа оно 211.pdf

• Мотивация и выполнение работы.rtf

• Космическая система коспас sarsat.pptx

• Рабочая программа внеурочной деятельности Занимательная химия 9 класс.docx