Файл: Задача преподавания геометрии развить у учащихся соответствующие три качества пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление. При этом решаются следующие задачи.docx
Добавлен: 07.12.2023
Просмотров: 42
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
25. Задача преподавания геометрии - развить у учащихся соответствующие три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление.
При этом решаются следующие задачи:
1) приобретение систематических сведений об основных фигурах на плоскости и их важнейших свойствах;
2) формирование представления о равенстве и подобии фигур, основных типах геометрических преобразований и их применении в геометрии;
3) формирование навыков построений, измерение и вычисление длин, углов и площадей;
4) ознакомление с применением аналитического аппарата для решения геометрических задач (алгебраическими преобразованиями и уравнениями, элементами тригонометрии, аналитической геометрии и векторной алгебры).
В программе по математике перечислены умения, которые должны быть результатом решения этих задач:
- изображать геометрические фигуры, данные в условиях задач и теорем;
- выделять известные фигуры на чертежах и моделях;
- решать типичные задачи на доказательство, вычисление и построение;
- вычислять значения геометрических величин;
- выполнять основные построения циркулем и линейкой;
- решать несложные комбинированные задачи;
- применять аппарат алгебры и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;
- использовать векторы и координаты для решения стандартных задач.
26. Образовательная: Сообщение геометрических сведений. Сформировать умения использовать фундаментальные геометрические понятия и идеи для решения математических и прикладных задач; школьник должен знать: фундаментальные геометрические понятия (пространство, точка, прямая, плоскость, аксиома, вектор, многогранник…); уметь: решать задачи на нахождение площадей многоугольников, решать задачи на доказательство геометрических утверждений, владеть: опытом решения задач…
Развивающая: сформировать пространственное, образное и логическое мышление. Школьник должен уметь: строить логические цепочки, приводящие к истинному положению; мог охватывать сразу весь чертеж (сначала простой, потом – посложнее) и улавливать те соотношения между элементами чертежа, которые могут быть нужны при решении данного вопроса
Воспитательная: сформировать понимание того, что в основе научного мировоззрения лежат формы как объекты абстракции, честность, правдивость, настойчивость и мужество.
Школьник должен уметь: преодолевать познавательные затруднения.
27. Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем:
перечисляются основные (неопределяемые) понятия,
все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее.
Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая – это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, – отношение между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми.
Далее формулируются аксиомы – предложения, принимаемые без доказательства. Доказывая какое-либо утверждение, опираются на некоторые предпосылки, которые считаются известными. Но эти предпосылки необходимо в свою очередь обосновать, опираясь на другие, и т. д. Чтобы оборвать эту бесконечную последовательность, вводят аксиомы – предпосылки, которые принимаются за исходные и составляют основу для доказательства теорем. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений. Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии. Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру (пример такой системы – система неевклидовой геометрии). Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения.
Для того чтобы абстрактная теория приобрела определенный смысл, необходимо найти объект-модель, т.е. указать систему конкретных объектов и отношений между ними так, чтобы соблюдались установленные аксиомы. Такую модель иначе называют еще интерпретацией аксиоматики.
Таким образом, изучаемая нами геометрия является моделью утвержденной ранее системы, в которой точку мы представляем как идеализацию следа остро отточенного карандаша, прямую – как идеализацию туго натянутой нити, а плоскость – как идеализацию гладкой поверхности стола.
28. Сравнительный анализ аксиоматики Гильберта и системы аксиом школьного учебника Атанасяна Л.С.
Аксиоматика Гильберта содержит 20 аксиом, которые поделены на 5 групп.
I группа Аксиомы принадлежности
Аксиомы Гильберта этой группы описывают свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.
В учебнике Атанасяна аксиомы этой группы также характеризуют взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. Но в аксиоматике Гильберта их всего восемь, а в учебнике Атанасяна к этой группе аксиом относится десять аксиом. Гильберт в своих аксиомах использует названия точек А и В, названия плоскостей и , а также название прямой а. В учебнике же не используются названия точек, кроме точки О, которая фигурирует как разделительная точка прямой, также имеются названия прямой и плоскости. В школьную аксиоматику включены аксиомы, имеющие понятие луча, полуплоскости и полупространства, чего нет в I группе аксиоматики Гильберта. Ещё одной особенностью аксиом данной группы является то, что в аксиоматике Гильберта используется термин "Каковы бы ни былидве точки…", а с другой стороны в школьном учебнике используется термин "Через любые две (три) точки…".
Аксиомы Атанасяна с 1 по 7 построены более упрощенно для понимания школьника, но каждая из аксиом с 8 по 10 дают сразу несколько разных отношений для плоскостей, точек, лучей, пространства и полупространства, что может вызвать затруднение в общем понимании отдельно взятой аксиомы.
Попробуем провести соответствие аксиом Гильберта и аксиом школьного учебника Атанасяна:
I1 Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, проходящая через эти точки.
I2 Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.
Этим аксиомам соответствует аксиома учебника:
Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Следующая аксиома Гильберта:
I3 На каждой прямой лежит, по крайней мере, две точки. Существует, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.
Аксиома учебника включает также понятие плоскости:
На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
Аксиомы Гильберта:
I4 Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость , проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.
учебник геометрия аксиома гильберт
I5 Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.
Им соответствует одна аксиома учебника:
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Аксиома Гильберта:
I6 Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости , то каждая точка прямой а лежит в плоскости . Ей соответствует:
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Аксиома Гильберта:
I7 Если две плоскости и имеют общую точку А, то они имеют еще, по крайней мере, одну общую точку В. В соответствие этой аксиоме:
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Аксиома Гильберта:
I8 Существуют, по крайней мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Ей соответствует аксиома:
Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Следующие аксиомы школьного учебника содержат такие понятия, как "принадлежать", "лежать между" и входят в состав одной (первой) группы аксиом:
1. Каждая точка О прямой разделяет её на две части - два луча - так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.
2. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.
3. Каждая плоскость б разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что любые две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от плоскости б, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от плоскости б.
II группа Аксиомы порядка
Вторая труппа аксиом Гильберта описывает основные свойства неопределяемого отношения "лежать между" для точек, расположенных на одной прямой.
II1 Если точка В лежит между точками А и С, то А.В. С - различные точки одной прямой и В лежит также между С и А.
II2 Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.
II3 Из трех точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.
II4 Пусть А, В. С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости (АВС), не проходящая ни через одну из точек А, В.С. Тогда если прямая а проходит через одну из точек отрезка АВ, то она проходит также через одну из точек отрезка АС или через точку отрезка ВС.
Аксиоме II2 и II3 соответствует следующая аксиома школьного учебника:
Из трёх точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
Во II группу аксиом Гильберта не входят такие понятия как пространство, полупространство, луч, полуплоскость. Об этом говорилось выше.
III группа Аксиомы конгруэнтности
Основным неопределяемым понятием в этой группе аксиом Гильберта является понятие "конгруэнтности", или "равенства", отрезков и углов. Будем использовать слово равенство и обозначения: AB = CD (для отрезков) и или ; (для углов).
III1 Если А и В - две точки прямой а и А' - точка на той же прямой или на другой прямой , то всегда можно найти по данную от точки А' сторону прямой а' такую точку , что АВ = A. Для каждого отрезка АВ требуется АВ = ВА. '
III2 Если и , то .
III3 Пусть АВ и BC - два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, и пусть и В'С' - два отрезка на той же или другой прямой , тоже не имеющие общих точек. Если и , то .
III4. Пусть в некоторой плоскости даны угол hk и луч h'. Тогда в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч , существует и единственный луч