ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2023
Просмотров: 25
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Н
ОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
»
Кафедра теоретической и прикладной информатики
Расчётно-графическое задание по дисциплине «Математическая статистика»
Часть 1
Факультет:
ФПМИ
Группа:
ПМИ-01
Студент:
Громова Екатерина
Вариант:
7
Преподаватель: Лемешко Борис Юрьевич
Новосибирск
2022
№ варианта
Закон
Неизвестные параметры
Известные параметры
7
Двустрононнее экспоненциальное a
λ=1, α=1
Двустороннее экспоненциальное распределение имеет вид
????(????) =
????
2????Г(
1
????
)
е
−|
????−????
????
|
ɑ
Подставим известные параметры
????(????) =
1 2
е
−|????−????|
1. Найти числовые характеристики заданной модели:
а) математическое ожидание (1 балл)
????(????) = ∫
????(????)????????????
+∞
−∞
=
1 2
∫
????????
−|????−????|
????????
+∞
−∞
=
1 2
∫ ????????
−(????−????)
???????? +
????
−∞
1 2
∫
????????
−(????−????)
????????
+∞
????
=
1 2
∫ ????????
????−????
???????? +
1 2
∫
????????
????−????
????????
+∞
????
=
????
−∞
????−1 2
+
????+1 2
= ????
Ответ: ????(????) = ????
б) дисперсию (1 балл).
????(????) = ∫
????(????)????
2
????????
+∞
−∞
− (????(????))
2
= …
Отдельно вычислим ∫
????(????)????
2
????????
+∞
−∞
:
∫ ????(????)????
2
????????
+∞
−∞
=
1 2
∫ ????
2
????
−|????−????|
????????
+∞
−∞
=
1 2
∫ ????
2
????
????−????
???????? +
1 2
∫ ????
2
????
????−????
????????
+∞
????
=
????
−∞
1 2
(????
2
− 2???? + 2 + ????
2
+ 2???? + 2) = ????
2
+ 2
Подставим в формулу дисперсии
… = ????
2
+ 2 − ????
2
= 2
Ответ: ????(????) = 2
2. Найти точечную оценку неизвестного параметра a:
а) по методу моментов (2 балла);
Найдём первый теоретический момент
????
1
(????) = ∫ ????(????)????????????
+∞
−∞
= ????(????) = ???? (из предыдущего задания)
Выборочный момент:
????
̂
1
=
1
????
∑ ????
????
????
????=1
= ????̅
Приравняем теоретический и выборочный моменты:
????̂ = ????̅
Ответ: ????̂ = ????̅
б) по методу максимального правдоподобия (2 балла).
????(????) =
1 2
е
−|????−????|
При x>a:
????(????) =
1 2
????
????−????
При x:
????(????) =
1 2
????
????−????
Функция правдоподобия при x>a:
????(????
????
, ????) = ∏
1 2
????
????−????
????
????=1
=
1 2
????
????
∑
????−????
????
????
????=1
=
1 2
????
????
????????−∑
????
????
????
????=1
Функция правдоподобия при x:
????(????
????
, ????) = ∏
1 2
????
????−????
????
????=1
=
1 2
????
????
∑
????
????
−????
????
????=1
=
1 2
????
????
∑
????
????
−????????
????
????=1
Функция правдоподобия:
????(????
????
, ????) =
1 2
????
????
−|∑
????
????
????
????=1
−????????|
При фиксированных значениях выборки, график функции выглядит следующим образом:
Максимум функции достигается в точке X
n
Поэтому искомая оценка максимального правдоподобия ????̂ = ????
????
Ответ: ????̂ = ????
????
3. Проверить условия регулярности модели. В случае регулярности модели вычислить
информационное количество Фишера (2 балла).
Вероятностная модель является регулярной, если область определения случайной величины не зависит от параметров закона и функция плотности дифференцируема по a.
Проверим дифференцируемость функции по a:
????(????
????
,
????) = ????(????(????
????
);
????) ℎ(????
????
) где ????(????, ????) зависит от выборки только через ????(????
????
)=
???? и ℎ(????????) не зависит от ????.
Воспользуемся критерием факторизации.
При x>a:
????(????) =
1 2
????
????−????
При x
????(????) =
1 2
????
????−????
Случай x > a:
????(????
????
, ????) = ∏
1 2
????
????−????
????
????=1
=
1 2
????
????
∑
????−????
????
????
????=1
=
1 2
????
????
????????−∑
????
????
????
????=1
= ????
????????
1 2
????
????
∑
????
????
????
????=1
ℎ(????
????
) =
1 2
????
????
∑
????
????
????
????=1
????(????, ????) = ????
????????
= (????
????
)
????
= ???? − достаточная статистика при ???? > ????
Случай x < a:
????(????
????
, ????) = ∏
1 2
????
????−????
????
????=1
=
1 2
????
????
∑
????
????
−????
????
????=1
=
1 2
????
????
−????????+∑
????
????
????
????=1
=
????
∑
????
????
????
????=1 2
????
????
????????
ℎ(????
????
) =
????
∑
????
????
????
????=1 2
????
????(????, ????) =
1
????
????????
= (????
????
)
−????
= ???? − достаточная статистика при ???? < ????
Результирующая достаточная статистика:
???? = ????
|????????|
Ответ: ????
|????????|
6. Найти функцию
(a), допускающую эффективную оценку (с помощью критерия
эффективности) (2 балла)
Не можем воспользоваться критерием эффективности, так как вероятностная модель нерегулярна.
7. Построить асимптотический доверительный интервал для a (2 балла).
Так как модель не является регулярной и нельзя вычислить информационное количество Фишера, то асимптотически доверительный интервал можно построить на основании центральной предельной теоремы.
При выполнении условий ЦПТ в качестве асимптотической центральной статистики может рассматриваться статистика
????(????
????
, ɑ) = √????
????̅
????
− ????
ɑ
????
√????
ɑ
????
≻ ????(0,1)при ???? → ∞
Для того, чтобы эти статистики были центральными, необходимо, чтобы выполнялось условие монотонности и непрерывности по параметру λ.
По центральной предельной теореме распределение случайной величины
√????
????̅
????
− ????
ɑ
????
√????
ɑ
????
= √????
1
????
∑
????
????
????
????=1
− ????
√2
= √
????
2
(????̅ − ????) слабо сходится к стандартному нормальному закону.
Если мы устремим n к бесконечности, то получим:
????{−????
????
< √
????
2
(????̅ − ????) < ????
????
},
????
????
- квантиль, соответствующий уровню
???? для нормального стандартного закона.
????{−????
????
√
2
????
< (????̅ − ????) < ????
????
√
2
????
}
????{−????
????
√
2
????
− ????̅ < −???? < ????
????
√
2
????
− ????̅}
????{−????
????
√
2
????
+ ????̅ < ???? < ????
????
√
2
????
+ ????̅}