Файл: Кривые Аполлония.pdf

МиП “Кривые Аполлония” (см. mkz модель в cdo)
Рыжков Владимир 11Б
Построение:
Дано:
Фиолетовые окружности (и их радиусы).
Возьмем отрезок задающий радиус касающихся окружностей. Построим каждую такую окружность данного радиуса.

В наше ГМТ войдут точки пересечения штриховых окружностей (отмечены квадратными зелеными точками):

Беря точку на отрезке r и каждую из точек пересечения используем инструмент МК - траектория.
Случаи:
Номер случая
Условие
Ответ
Пояснение к ответу
1)
d = 0; |r
1
- r
2
| = 0
Вся плоскость, кроме точек самой окружности
Можно взять сколько угодно малый радиус (но не 0) то, все точки подойдут кроме самой окружности
2)
d = 0; |r
1
- r
2
| > 0
Окружности радиусов
|r
1
- r
2
|/2 и |r
1
+ r
2
|/2
Окружности концентричны и различны радиусами, есть 2
способа их касания.
1)Наружный (центры лежат между обеих окружностей)
2) Внутренне-наружный (малую окружность касаемся внутренне,
большую наружне)

3)
|r
1
- r
2
| > d; |r
1
- r
2
| > 0 2 эллипса с фокусами в O
1
и О
2
и длинной большой полуоси |r
1
- r
2
| + |r
1
+r
2
|
См. развернутое доказательство 1 4)
d = |r
1
-r
2
|; |r
1
- r
2
| > 0
Эллипс с фокусами
О1 и О2 и полуосью r
1
+r
2
и линия центров
См. развернутое доказательство 1 5)
d = r
1
+ r
2
, |r
1
- r
2
| = 0
Радикальная ось и линия центров
6)
|r1 - r2| < d < |r1 + r2|,
|r1 - r2| = 0
Эллипс с фокусами
О1 и О2, и полуосью
|r
1
+ r
2
| и радикальная ось
См. развернутое доказательство 1 7)
d = r
1
+ r
2
, |r
1
- r
2
| > 0
Линия центров и гипербола с фокусами
О1 и О2, с разностью расстояний |r
1
-r
2
|
Cм. развернутое доказательство 2 8)
|r1 - r2| < d < |r1 + r2|,
|r1 - r2| > 0
Эллипс с фокусами
O
1
и О
2
, и большой полуосью |r
1
+ r
2
|,
Гипербола с фокусами О
1
и О
2
и разностью расстояний
|r
1
- r
2
|
Cм. развернутое доказательство 1,2 9)
|r1 + r2| < d, |r1 - r2| = 0
Радикальная ось и гипербола с фокусами
О
1
и О
2
и r
1
+ r
2
См. развернутое доказательство 3 10)
r1 + r2| < d, |r1 - r2| > 0 2 гиперболы с фокусами О1 и О2 и расстояниями |r
1
- r
2
| и r
1
+ r
2
См. развернутое доказательство 2,3

Развернутые доказательства:
1) 2 эллипса
Докажем, что большой эллипс - подходящая ГМТ.
Рассмотрим произвольную точку G на эллипсе:
О1G + O2G = r
1
- GB + r
2
+ GA = (r
1
+ r
2
)
r
1
- GB + r
2
+ GA = r
1
+ r
2
GA - GB = 0;
1)GA = GB
При этом GA лежит на одной прямой с О
2
, значит GA - перпендикуляр к окружности с центром О
2 2)Аналогично для окружности с центром О
1 1) и 2) дают, что в точках А и В окружность с центром G будет касаться данных нам окружностей.
Докажем, что меньший эллипс - подходящая ГМТ.

Рассмотрим произвольную точку G на эллипсе:
О2G + О1G = r1 - r2
O1G = r1 - r2 - O2G
AG = r1 - O1G = r2 + O2G = GB
AG = GB
При этом AG и GB лежат на одной прямой с центрами О1 и О2 соотв.
Значит малый эллипс - искомое ГМТ.
2) гипербола, с разностью расстояний |r
1
- r
2
|
Рассмотрим 3 варианта:
1) Точка лежит внутри обеих окружности:
Возьмем произвольную точку G на гиперболе.
Продлим GО1 и GО2 до пересечения с данным окр. в точках A и B.
GО1 - GО2 = r1 - r2 = BО1 - AО2
Откуда GA = GB. Окружность касается обеих данных.
2) Аналогично когда точка лежит на гиперболе вне двух окружностей на ветви ближней к окружности меньшего радиуса.
3) Точка на левой ветви гиперболы, G’
G’O1 и G’О2 пересекают окружности в точках A’ и B’
G’A’ = О1A’ + О1G’ = r1 + О1G’ = r1 + G’O2 - (r1 - r2) = G’O2 + r2 = G’B’

3) гипербола, с разностью расстояний |r
1
+ r
2
|:
Возьмем произвольную точку G на данной гиперболе.
GO1 и GO2 пересекут данные нам окружности в точка А и В соотв.

GO2 - GO1 = r1+r2
GO1 = GO2 - r1 - r2
GA = GO1 + r1 = GO2 - r1 - r2 + r1 = GO2 - r2 = GB
Значит точка G центр касающийся окружности.