Файл: Учебник издание шестое Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.12.2023

Просмотров: 503

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

б) отношение перпендикулярности двух прямых?28. Доказать, что отношение {((x1, y1), (x2, y2)) | x2 1+ y2 1= x2 2+ y2 2} являет- ся отношением эквивалентности на множестве R2. Определить классы этой эквивалентности.29. Доказать, что отношение {(a, b) | (a − b) — рациональное число} явля- ется отношением эквивалентности на множестве вещественных чисел.30. Пусть на множестве ω определено отношение 6, задаваемое следую- щим правилом:m 6 n ⇔ m делит n.Считая, что 0 делит 0, показать, что 6 — частичный порядок. Для произвольных натуральных чисел m и n найти inf{m, n} и sup{m, n}относительно указанного порядка.31. Для обычных отношений 6 и < на множестве ω показать, что< ◦ < 6= <, 6 ◦ < = < и 6 ◦ > = ω2 32. Построить пример ч.у.м. с единственным минимальным элементом, но без наименьшего.33. Рассмотрим на множестве R2отношение Парето Π:(x1, y1) Π (x2, y2) ⇔ x1 6 x2и y1 6 y2.Для точек A(a1, a2) и B(b1, b2) найти множество нижних и верхних гра- ней множества {A, B}. Чему равен inf{A, B} и sup{A, B}?34. Построить линейный порядок на множестве комплексных чисел.35. Составить матрицу отношения полного порядка, при котором нумера- ция элементов ведется: а) по возрастанию; б) по убыванию. 50Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ36. Проверить, являются ли частичными порядками бинарные отношения со следующими матрицами:а)1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1; б)1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1; в)1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1;г)1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1; д)1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1; е)1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1;ж)1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1; з)1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1; и)1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1;к)1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1; л)1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1; м)1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1Построить диаграммы Хассе для заданных порядков. Есть ли в со- ответствующих частично упорядоченных множествах наименьшие или наибольшие элементы? Какие из этих частичных порядков линейные?37. Построить всевозможные попарно неизоморфные четырехэлементые ч.у.м. hA; 6i. Какие из этих ч.у.м. самодвойственны, т. е. изоморфныhA; >i? Глава 2АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ§ 2.1.Определения и примерыЧасто объектом изучения в математике и ее приложениях служит мно- жество вместе с определенной на нем структурой. Читателю уже известны поля, формирующие основу обычной арифметики, линейные пространства,обеспечивающие связь геометрических объектов с операциями над числами,множества с введенными на них бинарными отношениями. Все эти струк- туры образуют алгебраические системы, представляющие собой некоторые миры с определенными в них законами. Перейдем к точному определению алгебраической системы.Рассмотрим непустое множество A. В § 1.2 было введено понятиеn-местной операции на множестве A (f : An→ A). Отметим, что, поскольку операция f является функцией, для любого набора (x1, . . . , xn) ∈ Anре- зультат применения операции f (x1, . . . , xn) однозначно определен. Так как область значений операции f лежит в множестве A, то будем говорить, что операция f замкнута на множестве A.Сигнатурой или языком Σ называется совокупность предикатных и функциональных символов с указанием их местности. При этом множе- ства предикатных и функциональных символов не пересекаются. 0-Местный функциональный символ называется константным символом или простоконстантой. Если α — функциональный или предикатный символ, то его местность обозначается через µ(α). n-Местные предикатные и функциональ- ные символы часто будем обозначать соответственно через P(n)и f(n). Если в рассматриваемой сигнатуре используются стандартные символы, такие,например, как + для операции сложения, 6 для отношения порядка, | для 52Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫотношения делимости, 0 для константного символа и другие, то мы просто пишем Σ = {6}, Σ = {6, +, ·, 0}, Σ = {+, −, |, 0, 1} и т. д.Алгебраической системой A = hA; Σi сигнатуры Σ называется непустое множество A, где каждому n-местному предикатному (функциональному)символу из Σ поставлен в соответствие n-местный предикат (соответственно операция), определенный на множестве A. Множество A называется носите-лем или универсумом алгебраической системы hA; Σi. Предикаты и функ- ции, соответствующие символам из Σ, называются их интерпретациями.Обозначать интерпретации будем теми же буквами, что и соответствую- щие символы сигнатуры. Заметим, что интерпретацией любого константного символа является некоторый элемент (константа) из A.Алгебраические системы в дальнейшем будут обозначаться готическими буквами A, B, . . . (возможно, с индексами), а их носители — соответствующи- ми латинскими буквами A, B, . . . (с соответствующими индексами). Иногда мы будем отождествлять носитель с алгебраической системой.Мощностью алгебраической системы A называется мощность ее носите- ля A. В дальнейшем будем часто опускать слово “алгебраическая” и назы- вать A системой или структурой.Непустая сигнатура Σ называется функциональной (предикатной), если она не содержит предикатных (функциональных) символов. Система A на- зывается алгеброй (моделью или реляционной системой), если ее сигнатура функциональна (предикатна).Пример 2.1.1. 1. Набор hω; +, ·i является алгеброй с двумя двухмест- ными операциями.2. Набор hω; 6, +, ·,0, 0, 1i является системой с бинарным отношением 6(µ(6) = 2), двухместными операциями +, · (µ(+) = µ(·) = 2), одноместной операцией0: n 7→ n + 1 (µ(0) = 1) и двумя нуль-местными операциями(константами) 0, 1 (µ(0) = µ(1) = 0).3. Набор hZ; +, :,√2i не образует алгебру, поскольку деление не является операцией на множестве Z (например, 2 : 3 /∈ Z), а элемент√2 не принадле- жит Z.4. Набор hP(U); ∩, ∪, , 0, 1i с двухместными операциями ∩, ∪, одномест- ной операцией : A 7→ A, константами 0 = ∅ и 1 = U является алгеброй,называемой алгеброй Кантора.5. Алгеброй является любое кольцо.6. Пара­{f (x) | f : R → R};ddx®(гдеddx— операция дифференцирова- ния) не является алгеброй, поскольку не всякая функция дифференцируема, 2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ53но если рассмотреть множество A = {f (x) | f (x) дифференцируема беско- нечное число раз}, то отображение дифференцированияddx: f 7→dfdxявляется операцией на A и пара­A;ddx®образует алгебру. ¤Заметим, что частичную операцию f , отображающую Anв A, можно рассматривать как (n + 1)-местное отношениеRf­ {(x1, x2, . . . , xn, y) | (x1, . . . , xn) ∈ Anи y = f (x1, . . . , xn)}.Поэтому в последнем примере пару­{f (x) | f : R → R};ddx®можно считать алгебраической системой, если рассматриватьddxкак бинарное отношение©(f, g) | g =dfdxªАлгебра A сигнатуры Σ = {f }, где µ(f ) = 2, называется группоидом.Единственная здесь операция f обычно обозначается символом ·: A = hA; ·i.Если A — конечное множество, действия операции · можно задать квадрат- ной таблицей, в которой для каждой пары (ai, aj) ∈ A2записан результат действия ·(ai, aj). Такая таблица называется таблицей Кэли группоида A.Группоид A называется полугруппой, если · — ассоциативная операция, т. е.для всех элементов x, y, z ∈ A верно x · (y · z) = (x · y) · z. Полугруппа A на- зывается моноидом, если существует элемент e ∈ A, называемый единицей,такой, что e · x = x · e = x для всех x ∈ A. Полугруппы и моноиды имеют особое значение в теории языков при обработке слов.Пример 2.1.2. Пусть W (X) — множество слов алфавита X. Определим на W (X) операцию конкатенации ˆследующим образом: если α, β ∈ W (X),то αˆβ = αβ, т. е. результатом является слово, полученное соединением словα и β (например, xyzˆzx = xyzzx). Операция ˆ ассоциативна, т. е. для лю- бых слов α, β, γ верно (αˆβ)ˆγ = αˆ(βˆγ). Следовательно, система hW (X);ˆiявляется полугруппой. Так как для всех α ∈ W (X) верно Λˆα = αˆΛ = α,где Λ — пустое слово, то Λ удовлетворяет свойству единицы. Таким образом,система hW (X);ˆi является моноидом. ¤Моноид A = hA; ·i называется группой, если для любого элементаx ∈ A существует элемент x−1∈ A, называемый обратным к x, такой, чтоx · x−1= x−1· x = e. Группа A называется коммутативной или абелевой,если x · y = y · x для всех x, y ∈ A.Пример 2.1.3. 1. Если hK; +, ·i — кольцо, то hK; +i — абелева группа.2. Система hGLn(K); ·i, где GLn(K) ­ {A | A — матрица порядка nнад полем K, и det A 6= 0} является группой, которая некоммутативна приn > 2. ¤ 54Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ§ 2.2.МорфизмыПусть даны алгебраические системы A = hA; Σi и B = hB; Σi. Отобра- жение ϕ: A → B называется гомоморфизмом системы A в систему B, если выполняются следующие условия:1) для любого функционального символа f(n)∈ Σ, соответствующих функций fAи fBв системах A и B и любых a1, a2, . . . , an∈ A выполня- етсяϕ(fA(a1, a2, . . . , an)) = fB(ϕ(a1), ϕ(a2), . . . , ϕ(an));2) для любого предикатного символа P(n)∈ Σ, соответствующих преди- катов PAи PBв системах A и B и любых a1, a2, . . . , an∈ A выполняется(a1, a2, . . . , an) ∈ PA⇒ (ϕ(a1), ϕ(a2), . . . , ϕ(an)) ∈ PB.Если ϕ: A → B — гомоморфизм, то будем его обозначать черезϕ: A → B.При гомоморфизме сохраняются действия операций и отношения. Это позволяет переносить изучение свойств с одной системы на другую.Пример 2.2.1. Рассмотрим системы A = hZ; +, 6i и B = hZ2; +, 6i, где в системе B сложение задается по правилу(a1, b1) + (a2, b2) = (a1+ a2, b1+ b2),а отношение порядка —(a1, b1) 6 (a2, b2) ⇔ a1 6 a2и b1 6 b2.Отображение ϕ: Z → Z2, при котором ϕ(a) = (a, 0), является гомоморфиз- мом. Действительно, для любых a, b ∈ Z имеемϕ(a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = ϕ(a) + ϕ(b),и если a 6 b, то (a, 0) 6 (b, 0), т. е. ϕ(a) 6 ϕ(b). ¤Гомоморфизм ϕ: A → B, являющийся инъекцией, называется мономор-физмом. Гомоморфизм ϕ: A → B, являющийся сюръекцией, называетсяэпиморфизмом, и при этом система B называется гомоморфным образом 2.2. МОРФИЗМЫ55системы A. Гомоморфизм ϕ: A → A называется эндоморфизмом. Сюръек- тивный мономорфизм ϕ: A → B, для которого ϕ−1— гомоморфизм, называ- ется изоморфизмом A на B и обозначается через ϕ: A ∼→ B. Если существует изоморфизм ϕ: A ∼→ B, то системы A и B называются изоморфными и обо- значается это так: A ' B.Таким образом, условие A ' B означает, что существует биекцияϕ: A ↔ B, удовлетворяющая следующим условиям:1) для любого функционального символа f(n)∈ Σ, соответствующих функций fAи fBв системах A и B и любых a1, a2, . . . , an∈ A выполня- етсяϕ(fA(a1, a2, . . . , an)) = fB(ϕ(a1), ϕ(a2), . . . , ϕ(an));2) для любого предикатного символа P(n)∈ Σ, соответствующих преди- катов PAи PBв системах A и B и любых a1, a2, . . . , an∈ A выполняется(a1, a2, . . . , an) ∈ PA⇔ (ϕ(a1), ϕ(a2), . . . , ϕ(an)) ∈ PB.Изоморфизм ϕ: A ∼→ A называется автоморфизмом системы A. Заметим,что, поскольку изоморфизм ϕ: A ∼→ B является биекцией A ↔ B, изоморф- ные системы равномощны.Утверждение 2.2.1. 1. idA: A ∼→ A.2. Если ϕ: A ∼→ B, то ϕ−1: B ∼→ A.3. Если ϕ: A1∼→ A2и ψ: A2∼→ A3, то ϕ ◦ ψ: A1∼→ A3. ¤Таким образом, отношение изоморфизма ' является эквивалентностью на любом множестве алгебраических систем (отметим, что класс всех алгеб- раических систем не является множеством, поскольку не существует множе- ства всех множеств). Это означает, что отношение изоморфизма разбивает множества алгебраических систем на классы эквивалентности, в каждом из которых содержатся системы, имеющие “одинаковое устройство”. Это да- ет возможность переносить изучение свойств с одной системы на другую,изоморфную ей. Так, используя факт изоморфизма геометрического вектор- ного пространства пространству строк, работу с геометрическими объекта- ми можно свести к действиям с наборами чисел, что позволяет применять компьютеры.Пример 2.2.2. 1. Рассмотрим множество векторов E3геометрическо- го векторного пространства с операциями сложения векторов и умножения 56Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫвекторов на вещественные числа. Получим систему A = hE3; +, {λ·}λ∈Ri бес- конечной сигнатуры, где одноместные функции λ· ставят в соответствие век- тору a вектор 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29

λa. Рассмотрим также систему B = hR3; +, {λ·}λ∈Ri, носитель которой состоит из троек вещественных чисел (x, y, z), + — двухместная операция покоординатного сложения троек, а функция λ· — операция умно- жения троек на число λ для всех вещественных чисел λ. Системы A и B яв- ляются линейными пространствами над полем R. Отображение ϕ, ставящее в соответствие вектору a ∈ E3его координатную строку (x, y, z) в некотором фиксированном базисе e1, e2, e3, является биекцией (ϕ: E3↔ R3), при кото- рой сохраняются действия операций: ϕ(a+b) = ϕ(a)+ϕ(b) и ϕ(λ·a) = λ·ϕ(

1) является ли граф, соответствующий рассматриваемой принципиаль- ной схеме, планарным?2) если граф планарен, то как получить его изображение без пересечения ребер?На первый вопрос принципиальный ответ дает теорема Понтрягина—Куратовского, а методы получения плоских изображений планарных графов можно найти в книге Б. Н. Деньдобренько, А. С. Малика [7].Если граф G непланарен, то для его геометрической реализации удаля- ют отдельные ребра (переносят на другую плоскость). Минимальное число ребер, которое необходимо удалить из графа для получения его плоского изображения, называется числом планарности графа G. При вынесении этих ребер на вторую плоскость получают часть графа, которая также может оказаться неплоской. Тогда вновь решают задачу вынесения отдельных ре- бер на следующую плоскость и т. д. Минимальное число плоскостей m, при котором граф G разбивается на плоские части G1, G2, . . ., Gm(разбиение ведется по множеству ребер), называется толщиной графа G.Таким образом, толщина планарного графа равна 1.Пример 4.15.2. Каждый из графов K5и K3,3имеет толщину 2. ¤Задачи и упражнения1. Представить граф (рис. 4.50) в аналитической и матричной формах, списком дуг и структурой смежности.2. Составить матрицу инцидентности для мультиграфа, изображенного на рис. 4.51.3. Найти все неизоморфные подграфы и части графа K3 4. Представить в геометрической и матричной формах графы G1∪ G2,G1∩ G2, G1⊕ G2(рис. 4.52).5. Для графов G1и G2из предыдущей задачи найти G1× G2, G1[G2] и G2[G1]. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ163•••••¡¡¡¡¡¡@@@@@@R ?¾-±°²¯••••¡¡¡¡¡¡µ¸?YK*¼g±°²¯Рис. 4.50Рис. 4.516. С помощью матрицы смежности графа (рис. 4.53) найти его матрицы дости- жимости, контрдостижимости и сильных компонент.7. Найти матрицу расстояний, диаметр, радиус, центральные и периферийные вершины графа, изображенного на рис. 4.54.8. Найти все кратчайшие маршруты из вершины 2 для взвешенного графа(рис. 4.55).9. Доказать, что в любом конечном бесконтурном графе существуют вершины с нулевой полустепенью исхода и с нулевой полустепенью захода.10. Проверить на эйлеровость и найти минимальное множество покрывающих цепей:а) графа K5; б) графа K3,3; в) графа, изображенного на рис. 4.56.•••¢¢¢¢¢¸AAAAAU1 23G1••••¾AAAAAU¢¢¢¢¢®1 23 4G2••••@@@I¡¡¡µ?@@@Rh1 23 4Рис. 4.52Рис. 4.53•••••••¡¡¡¡@@@@@@•••••½½½½>ZZZZ?-@@@@@@R¡¡¡¡¡¡µ¾6K®1 23 54(3)(4)(6)(2)(1)(2)(2)(3)(−2)(−5)Рис. 4.54Рис. 4.55 164Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ•••••••¶¶¶¶¶¶³³³³³³³³´´´´PPPPPPPPQQQQEEEEEEEE¢¢¢¢¢¢¡¡¡•••••••¶¶¶¶¶¶@@@´´´´@@@@@@EEEEEEEESSSSSS¡¡¡¡¡¡¢¢¢¢¢¢(2)(2)(3)(3)(1)(2)(2)(4)(3)(1)Рис. 4.56Рис. 4.57••••••••••••••••@@R¡¡ª¡¡ª ??¡¡ª@@R@@R@@R@@R¡¡ª¡¡ª¡¡ª¡¡ª@@R¡¡ª1 23 45 67 89 10 11 12 13 14 15 16•••••••JJJJ1 23 45 97 86 10Рис. 4.58Рис. 4.5911. Построить все неизоморфные трех-, четырех- и пятивершинные деревья.12. Найти остов минимального веса взвешенного графа (рис. 4.57).13. Найти упорядоченный лес, соответствующий бинарному дереву, изображен- ному на рис. 4.58.14. Найти матрицы фундаментальных циклов и фундаментальных разрезов гра- фа (рис. 4.59).15. Найти хроматическое число графа (рис. 4.60).16. Найти толщину графа (рис. 4.61).•••••••¡¡¡@@@@@@@@@SSSSSS¦¦¦¦¦¦¦¦••••••¡¡¡¡@@@@HHHHHHHHHHHHHH©©©©©©©©©©©©©©Рис. 4.60Рис. 4.61 Глава 5КОМБИНАТОРИКАКомбинаторика — раздел математики, посвященный решению задач вы- бора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множе- ства, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому целями комби- наторного анализа являются изучение комбинаторных конфигураций, алго- ритмов их построения, оптимизация таких алгоритмов, а также решение за- дач перечисления. Простейшими примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения, сочетания и разбиения. При подсчете комбинаторных конфигураций используются правила суммы, произведения и степени, сформулированные в § 1.4.§ 5.1.Перестановки и подстановкиПусть дано множество M = {a1, a2, . . . , an}. Перестановкой элементов множества M называется любой кортеж (ai1, ai2, . . . , ain), состоящий из nразличных элементов множества M.Перестановки отличаются друг от друга только порядком входящих в них элементов. Покажем, что число Pnвсех перестановок множества Mравно n!. Действительно, на первое место в кортеже можно подставить лю- бой из n элементов, на второе место — любой из n − 1 оставшихся и т. д. Для последнего места остается единственный элемент. Поэтому получаем всегоn(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 = n! перестановок. 166Глава 5. КОМБИНАТОРИКАПример 5.1.1. 1. Расставить на полке 10 книг можно P10= 10! == 3 628 800 различными способами.2. Список студентов группы, состоящей из 25 человек, можно составитьP25= 25! способами. ¤Напомним, что биекция σ: M ↔ M называется подстановкой множе- ства M. Пусть σ — подстановка множества M = {1, 2, . . . , n}. Тогдаσ(k) = sk, где 1 6 sk6 n, k = 1, 2, . . . , n, {s1, s2, . . . , sn} = {1, 2, . . . , n},и поэтому подстановку σ можно представить в виде матрицы, состоящей из двух строк:[σ] ­µ1 2 . . . ns1s2. . . sn¶.Ясно, что если в матрице [σ] переставить столбцы, то полученная матрица будет также определять подстановку σ. Множество всех подстановок мно- жества {1, 2, . . . , n} обозначается через Sn. Для подстановок σ, τ ∈ Snможно определить произведение σ · τ как произведение двух функций. Зная матри- цы подстановок[σ] =µ1 2 . . . ns1s2. . . sn¶и [τ ], переставив столбцы матрицы [τ ] так, чтобы ее первая строка совпала со второй строкой матрицы [σ]:µs1s2. . . snt1t2. . . tn¶,получаем[στ ] =µ1 2 . . . ns1s2. . . sn¶ µs1s2. . . snt1t2. . . tn¶=µ1 2 . . . nt1t2. . . tn¶.Пример 5.1.2. Если [σ] =µ1 2 3 4 2 1 4 3¶, [τ ] =µ1 2 3 4 3 1 4 2¶, то[στ ] =µ1 2 3 4 2 1 4 3¶ µ2 1 4 3 1 3 2 4¶=µ1 2 3 4 1 3 2 4¶. ¤Теорема 5.1.1. Алгебра hSn; ·i является группой. При n > 3 она неком-мутативна. 5.1. ПЕРЕСТАНОВКИ И ПОДСТАНОВКИ167Доказательство. Операция · ассоциативна как операция произведе- ния функций. Легко проверяется, что существует единичная подстановка εс матрицей [ε] =µ1 2 . . . n1 2 . . . n¶и для любой подстановки σ с матрицей[σ] =µ1 2 . . . ns1s2. . . sn¶существует обратная подстановка σ−1, соответству- ющая матрицеµs1s2. . . sn1 2 . . . n¶Если n > 3, то рассмотрим подстановки σ и τс матрицами[σ] =µ1 2 3 4 . . . n2 1 3 4 . . . n¶и [τ ] =µ1 2 3 4 . . . n3 2 1 4 . . . n¶Имеем [στ ] =µ1 2 3 4 . . . n2 3 1 4 . . . n¶, [τ σ] =µ1 2 3 4 . . . n3 1 2 4 . . . n¶, т. е.στ 6= τ σ. Таким образом, группа hSn; ·i некоммутативна. ¤Группа hSn; ·i называется симметрической группой степени n. Число элементов этой группы |Sn| равно Pn­ n!.Подстановка σ называется циклом длины r, если матрицу [σ] переста- новкой столбцов можно привести к видуµs1s2s3. . . sr−1srsr+1. . . sns2s3s4. . .srs1sr+1. . . sn¶.Очевидно, что в этом случае σ задает биекцию, в которой s17→ s2,s27→ s3, . . ., sr7→ s1, а остальные элементы неподвижны. Описанный цикл σобозначается через (s1s2. . . sr).Пример 5.1.3. Подстановка с матрицейµ1 2 3 4 5 6 1 5 6 4 3 2¶является циклом (2 5 3 6), а подстановка с матрицейµ1 2 3 4 5 6 4 5 2 1 6 3¶циклом не яв- ляется, так как из нее можно выделить два цикла (1 4) и (2 5 6 3). ¤Циклы (s1s2. . . sr) и (t1t2. . . tp) называются независимыми, если{s1, s2, . . . , sr} ∩ {t1, t2, . . . , tp} = ∅.Теорема 5.1.2. Каждую подстановку можно однозначно, с точностьюдо порядка сомножителей, представить в виде произведения независимыхциклов. ¤ 168Глава 5. КОМБИНАТОРИКАВ примере 5.1.3 имеемµ1 2 3 4 5 6 1 5 6 4 3 2¶= (2 5 3 6) иµ1 2 3 4 5 6 4 5 2 1 6 3¶= (1 4)(2 5 6 3).Двухэлементный цикл (i j) называется транспозицией. При транспози- ции i-й и j-й элементы меняются местами, а остальные сохраняют свое по- ложение.Теорема 5.1.3. Каждая подстановка есть произведение транспозиций.Доказательство. По теореме 5.1.2 достаточно установить, что любой цикл (s1s2. . . sr) можно представить в виде произведения транспозиций,но легко проверяется, что (s1s2. . . sr) = (s1s2)(s1s3) . . . (s1sr). ¤Пример 5.1.4. (1 2 3 4) = (1 2)(1 3)(1 4). ¤§ 5.2.Размещения и сочетанияПусть M — множество, состоящее из n элементов, m 6 n. Размещениемиз n элементов по m или упорядоченной (n, m)-выборкой, называется любой кортеж (ai1, ai2, . . . , aim), состоящий из m попарно различных элементов мно- жества M. Размещение можно рассматривать как разнозначную функциюf : {1, 2, . . . , m} → M, для которой f (j) = aijПример 5.2.1. Для множества M = {a, b, c} пары (a, b) и (b, a) являются размещениями из 3 по 2, тройка (a, c, b) — размещением из 3 по 3, а тройка(b, a, b) размещения не образует. ¤Число размещений из n по m обозначается через Amnили P (n, m). Пока- жем, чтоAmn=n!(n − m)!= n(n − 1) . . . (n − m + 1)(5.1)(напомним, что 0! = 1). Действительно, размещение m элементов мож- но представить как заполнение некоторых m позиций элементами множе- ства M. При этом первую позицию можно заполнить n различными спосо- бами. После того как 1-я позиция заполнена, элемент для заполнения 2-й позиции можно выбрать (n − 1) способами. Если продолжить этот процесс, 5.2. РАЗМЕЩЕНИЯ И СОЧЕТАНИЯ169то после заполнения позиций с 1-й по (m − 1)-ю будем иметь (n − m + 1) спо- собов заполнения последней, m-й позиции. Перемножая эти числа, получаем формулу (5.1).Пример 5.2.2. Из десяти различных книг произвольным образом бе- рутся и ставятся на полку одна за другой 3 книги. Имеется A3 10вариантов расстановок, где A3 10=10!7!= 10 · 9 · 8 = 720. ¤Cочетанием из n элементов по m или неупорядоченной (n, m)-выборкойназывается любое подмножество множества M, состоящее из m элементов.Пример 5.2.3. Если M = {a, b, c}, то {a, b}, {a, c}, {b, c} — все сочетания из 3 по 2. ¤Число сочетаний из n по m обозначается через Cmn,¡nm¢или C(n, m).Если объединить размещения из n элементов по m, состоящие из од- них и тех же элементов (не учитывая порядка их расположения), в клас- сы эквивалентности, то можно установить биекцию ϕ между сочетаниями и полученными классами по следующему правилу: ϕ({ai1, ai2, . . . , aim}) ­­ {(b1, b2, . . . , bm) | {b1, b2, . . . , bm} = {ai1, ai2, . . . , aim}}. Так как из каждого сочетания C можно получить m! размещений (упорядочивая m! способами элементы из множества C по числу перестановок этого множества), то каж- дый класс эквивалентности содержит m! размещений и, значит, Amn= m!·Cmn,т. е. Cmn=Amnm!. Таким образом,Cmn=n!(n − m)! m!.Пример 5.2.4. Из десяти чисел четыре можно выбрать C4 10=10!6!4!==7·8·9·10 4!=7·8·9·10 1·2·3·4= 210 способами. ¤Число Cmnобладает следующими свойствами:1) Cmn= Cn−mn;2) Cmn+ Cm+1n= Cm+1n+1(правило Паскаля);3) (a + b)n=nPm=0Cmnambn−mдля любых a, b ∈ R, n ∈ ω (бином Ньютона).В силу последнего свойства числа Cmnназываются биномиальными коэф-фициентами.Пример 5.2.5. Из свойства 3 следует, что 2n=nPm=0Cmn. Действительно,2n= (1 + 1)n=nPm=0Cmn1m1n−m=nPm=0Cmn. ¤ 170Глава 5. КОМБИНАТОРИКА§ 5.3.Размещения и сочетания с повторениемРазмещением с повторением из n элементов по m или упорядоченной(n, m)-выборкой с возвращениями называется любой кортеж (a1, a2, . . . , am)элементов множества M, для которого |M| = n.Поскольку в кортеж (a1, a2, . . . , am) на каждое место может претендовать любой из n элементов множества M, число размещений с повторениямиˆP (n, m) равно n · n · . . . · n|{z}m раз= nm:ˆP (n, m) = nm.Пример 5.3.1. Из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить ˆP (4, 3) = 4 3= 64трехзначных числа. ¤Определим отношение эквивалентности на множестве размещений с по- вторениями из n по m:(a1, a2, . . . , am) ∼ (b1, b2, . . . , bm) ⇔ для любого c ∈ M число элементов ai,равных c, совпадает с числом элементов bi, равных c.Сочетанием с повторением из n элементов по m или неупорядоченной(n, m)-выборкой с возвращениями называется любой класс эквивалентности по отношению ∼ множества размещений с повторениями из n элементов поm. Другими словами, сочетания с повторениями суть множества, которые состоят из элементов, выбранных m раз из множества M, причем один и тот же элемент допускается выбирать повторно.Число сочетаний с повторениями из n элементов по m обозначается через ˆC(n, m) и вычисляется по формулеˆC(n, m) = Cmn+m−1=(n + m − 1)!m!(n − 1)!.Пример 5.3.2. Число различных бросаний двух одинаковых кубиков равно ˆC(6, 2) = C2 7= 21. ¤§ 5.4.РазбиенияПусть M — множество мощности n, {M1, M2, . . . , Mk} — разбиение мно- жества M на k подмножеств, |Mi| = mi, m1+ m2+ . . . + mk= n. Кортеж(M1, . . . , Mk) называется упорядоченным разбиением множества M. 5.4. РАЗБИЕНИЯ171Если k = 2, то упорядоченное разбиение множества M на два подмноже- ства, имеющие соответственно m1и m2элементов, определяется сочетанием(без повторений) из n элементов по m1или из n по m2(m2= n − m1). Следо- вательно, число разбиений R(m1, m2) равно биномиальному коэффициентуCm1n= Cm2n. Таким образом,R(m1, m2) =n!m1!(n − m1)!=n!m1! m2!.В общем случае число R(m1, m2, . . . , mk) упорядоченных разбиений(M1, M2, . . . , Mk), для которых |Mi| = mi, равноn!m1! m2! . . . mk!, а числоR0(n, k) упорядоченных разбиений на k подмножеств вычисляется по фор- мулеR0(n, k) =Xm1+ ... +mk=n,mi>0R(m1, m2, . . . , mk).Числа R(m1, m2, . . . , mk) называются полиномиальными коэффициентами,поскольку для всех a1, a2, . . . , ak∈ R справедливо соотношение(a1+ a2+ . . . + ak)n=Xm1+ ... +mk=n,mi>0n!m1! . . . mk!· am1 1am2 2. . . amkk.Пример 5.4.1. В студенческой группе, состоящей из 25 человек, при вы- боре старосты за выдвинутую кандидатуру проголосовали 12 человек, про- тив — 10, воздержались — 3. Сколькими способами могло быть проведено такое голосование?Пусть M — множество студентов в группе, M1— множество студентов,проголосовавших за выдвинутую кандидатуру, M2— множество студентов,проголосовавших против, M3— множество студентов, воздержавшихся от голосования. Тогда |M| = 25, |M1| = 12, |M2| = 10, |M3| = 3, (M1, M2, M3) —упорядоченное разбиение множества M. Искомое число R(12, 10, 3) равно25!12!10!3!= 1487285800. ¤Число ˆR(l1, l2, . . . , lr; m1, m2, . . . , mr) разбиений исходного множества Mна k подмножеств, неупорядоченных между собой, среди которых liмножеств 172Глава 5. КОМБИНАТОРИКАимеет мощность mi, i = 1, . . . , r, l1+ . . . + lr= k, m1l1+ . . . + mrlr= n,вычисляется по формулеˆR(l1, . . . , lr; m1, . . . , mr) =n!l1! . . . lr!(m1!)l1. . . (mr!)lr,а число всех возможных разбиений множества M на k подмножеств, неупо- рядоченных между собой, равноXl1+...+lr=k,m1l1+ ... +mrlr=n,mi>0приli>0ˆR(l1, . . . , lr; m1, . . . , mr).1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   29


С. В. СУДОПЛАТОВ, Е. В. ОВЧИННИКОВА
ДИСКРЕТНАЯ
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНИК
Издание шестое
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА
2016

УДК 519.1(075.8)
С892
Р е ц е н з е н т ы:
Е. А. Палютин — д-р физ.-мат. наук, проф.,
А. Г. Пинус — д-р физ.-мат. наук, проф.
Учебник подготовлен на кафедре алгебры и математической логики
Новосибирского государственного технического университета
С892
Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В.
Дискретная математика: Учебник. — 6-е изд. — М. : Юрайт, 2016.
— 280 с.
ISBN
В книге излагаются основы теории множеств, алгебраических систем, компью- терной арифметики, теории графов, комбинаторики, алгебры логики, которые об- разуют курс дискретной математики.
Для студентов технических вузов, изучающих дискретную математику. Может служить справочным пособием по дискретной математике.
УДК 519.1(075.8)
c
° Судоплатов С.В.,
Овчинникова Е.В., 2016

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Глава 1. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 1.1. Множества и основные операции над ними . . . . . . . . . . . 10
§ 1.2. Отношения. Функции. Взаимно однозначные соответствия . . 17
§ 1.3. Натуральные числа. Принцип математической индукции . . . 23
§ 1.4. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества . . 26
§ 1.5. Матрица бинарного отношения. Специальные бинарные отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 1.6. Отношения эквивалентности и разбиения. Фактор-множества
35
§ 1.7. Отношения порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 1.8. Аксиомы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Глава 2. Алгебраические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 2.1. Определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 2.2. Морфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§ 2.3. Подсистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 2.4. Конгруэнции. Фактор-алгебры. Теорема о гомоморфизме . . . 59
§ 2.5. Декартовы произведения алгебр. Теорема Биркгофа . . . . . . 61
§ 2.6. Решетки и булевы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§ 2.7. Идеалы и фильтры булевой алгебры . . . . . . . . . . . . . . . 68
§ 2.8. Алгебры отношений и реляционные алгебры . . . . . . . . . . 70
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Глава 3. Числовые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§ 3.1. Бесконечные числовые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§ 3.2. Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§ 3.3. Компьютерная алгебра и численный анализ . . . . . . . . . . . 88
§ 3.4. Списочное представление чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§ 3.5. Делимость в кольце целых чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4
§ 3.6. Разложение целых чисел на множители . . . . . . . . . . . . . 96
§ 3.7. Целые числа по модулю m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
§ 3.8. Линейные уравнения по модулю m. Китайская теорема об остатках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§ 3.9. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику 106
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Глава 4. Элементы теории графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 4.1. Виды и способы задания графов . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 4.2. Подграфы и части графа. Операции над графами . . . . . . . 121
§ 4.3. Маршруты. Достижимость. Связность . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 4.4. Расстояния в графах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
§ 4.5. Нахождение кратчайших маршрутов . . . . . . . . . . . . . . . 133
§ 4.6. Степени вершин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§ 4.7. Обходы графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
§ 4.8. Остовы графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§ 4.9. Обходы графа по глубине и ширине. Решение задачи коммивояжера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
§ 4.10. Упорядоченные и бинарные деревья . . . . . . . . . . . . . . . 149
§ 4.11. Фундаментальные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
§ 4.12. Разрезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
§ 4.13. Векторные пространства, связанные с графами . . . . . . . . . 156
§ 4.14. Раскраски графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 4.15. Планарные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Глава 5. Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
§ 5.1. Перестановки и подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
§ 5.2. Размещения и сочетания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§ 5.3. Размещения и сочетания с повторением . . . . . . . . . . . . . 170
§ 5.4. Разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§ 5.5. Метод включений и исключений . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 5.6. Рекуррентные соотношения. Возвратные последовательности 174
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5
Глава 6. Алгебра логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§ 6.1. Формулы алгебры логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§ 6.2. Функции алгебры логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 6.3. Эквивалентность формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
§ 6.4. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы . . . . 188
§ 6.5. Двухэлементная булева алгебра. Фактор-алгебра алгебры формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
§ 6.6. Минимизация булевых функций в классе ДНФ . . . . . . . . . 195
§ 6.7. Карты Карно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
§ 6.8. Принцип двойственности для булевых функций . . . . . . . . 201
§ 6.9. Полные системы булевых функций . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 6.10. Функциональная декомпозиция . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
§ 6.11. Логические сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
§ 6.12. Проверка теоретико-множественных соотношений с помощью алгебры логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
§ 6.13. Логические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Приложение. Варианты типового расчета . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Указатель терминов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

ПРЕДИСЛОВИЕ
Дискретная (или прерывная) математика представляет собой область математики, в которой изучаются свойства структур конечного характе- ра, а также бесконечных структур, предполагающих скачкообразность про- исходящих в них процессов или отделимость составляющих их элементов.
В отличие от дискретной математики классическая математика занимается преимущественно изучением свойств структур непрерывного характера.
Деление математики на классическую и дискретную достаточно условно,
поскольку, с одной стороны, происходит взаимопроникновение возникающих идей и методов, а с другой — средства дискретной математики используются для изучения непрерывных моделей и наоборот.
Бурное развитие дискретной математики обусловлено прогрессом ком- пьютерной техники, необходимостью создания средств обработки и передачи информации, а также представления различных моделей на компьютерах,
являющихся по своей природе конечными структурами.
Книга предназначена для студентов бакалавриата всех направлений обучения в технических вузах, изучающих дискретную математику, и на- писана на основе учебного пособия С. В. Судоплатова, Е. В. Овчинниковой
“Дискретная математика” (Новосибирск : Изд-во НГТУ, 1994). Материал составлен в соответствии с рабочими программами курсов дискретной ма- тематики, читаемых в НГТУ. Для более полного понимания излагаемого в настоящем учебнике материала желательно знакомство читателя с основами линейной алгебры, например, по книгам: Ивлева А. М., Пинус А. Г., Че-
хонадских А. В. Основы алгебры и аналитической геометрии: Учебник. —
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2006; Ивлева А. М., Прилуцкая П. И., Чер-
ных И. Д. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия: Учеб. пособие. —
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2015.

ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Учебник включает шесть разделов: основы теории множеств, алгебраи- ческие системы, числовые системы, теория графов, комбинаторика, алгебра логики. Взаимосвязь разделов приведена на следующей схеме:
1
-
2
-
4
HH
HH
H
j
6
?
¡
¡
µ
5
¢
¢
¢
¢¸
3
Укажем основные цели, преследуемые в учебнике при рассмотрении ос- новных разделов дискретной математики.
В первой главе рассматривается понятие множества, вводятся операции над множествами и перечисляются основные свойства этих операций. Опре- деляется понятие отношения на множестве, указываются свойства отноше- ний, различные виды отношений. Дается аксиоматика теории множеств, поз- воляющая, с одной стороны, избегать появления известных парадоксов,
а с другой — получать содержательные результаты, покрывающие практи- ческие потребности.
Во второй главе приводится центральное понятие курса — понятие алгеб- раической системы, а также различных видов алгебраических систем, связей между алгебраическими системами, основные операции над ними.
Третья глава посвящена различным возможностям представления чисел и работы с числовыми системами, включая компьютерную арифметику.
Даются способы точного вычисления арифметических выражений в рамках конечных систем, преимущества и недостатки компьютерных вычислений.
В четвертой главе излагаются основы теории графов. Приводятся основ- ные виды и способы задания графов, операции над графами, их числовые характеристики, алгоритмы, используемые для решения практических за- дач, связанных с графами.
В пятой главе рассматриваются основные комбинаторные конфигурации и формулы.
Шестая глава посвящена изучению алгебры логики. Здесь приводятся по- нятия формулы и функции алгебры логики, алгоритмы минимизации функ- ций алгебры логики, критерий полноты системы булевых функций, прило- жения алгебры логики.

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Для углубленного изучения материала в конце книги приводится список литературы. Для удобства поиска используемых терминов дан указатель терминов, а также указатель обозначений. Кроме того, в качестве прило- жения приведен типовой расчет по дискретной математике для самостоя- тельного выполнения студентами семестрового задания на основе матери- ала, излагаемого в книге. Перед решением задач типового расчета полез- но прорешать задачи и упражнения, помещенные в конце соответствующих разделов.
Рассматриваемые в учебнике понятия и утверждения, как правило, ил- люстрируются примерами и пояснениями. Отмечаются прикладные аспекты изучаемого материала.
В результате изучения материала студент будет владеть информацией о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений, а также о дискретной математике как важнейшем разделе математики, используемом в современном математическом моделировании.
Студент будет знать: основные понятия курса дискретной математики: мно- жества, отношения, функции и операции над ними; алгебраические системы и операции над ними; системы компьютерной арифметики; графы, деревья и операции над ними, их числовые характеристики, алгоритмы на графах;
формулы и функции алгебры логики, алгоритмы нормализации и миними- зации нормальных форм, полные системы булевых; постановку и методы решения основных задач, связанных с перечисленными выше понятиями.
Студент будет уметь: доказывать теоретико-множественные соотношения,
алгебраические соотношения методом математической индукции кодировать бинарные отношения матрицами и проверять с помощью матриц и непосред- ственно основные свойства бинарных отношений; производить операции над алгебраическими системами, находить алгебры, порожденные данным мно- жеством; использовать компьютерную арифметику для точных вычислений арифметических выражений; производить основные операции с графами,
находить основные числовые характеристики графов; работать с алгорит- мами на графах; составлять таблицы истинности формул алгебры логики,
проверять эквивалентность формул; строить нормальные формы и решать по ним задачу минимизации булевых функций; строить полиномы Жегал- кина, проверять полноту систем булевых функций; переводить информацию с языка конкретной задачи на язык дискретной математики и строить ма- тематические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике; выбирать методы решения задач на основе анализа построенной математической модели.

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
Знак ¤, используемый в тексте, означает конец рассуждения или его отсутствие. Знак ­ читается “положим по определению”, “обозначим”
или “имеет вид”, знак ⇔ — “тогда и только тогда”, знак ⇒ — “если ..., то ...”,
знак ∀ — “для любого”, знак ∃ — “существует”.
Создание книги стало возможным с появлением в Новосибирском госу- дарственном техническом университете кафедры алгебры и математической логики, основанной профессором А. Г. Пинусом в 1992 г. На разных эта- пах подготовки настоящей книги авторы получали от него большую помощь и поддержку. Много полезных предложений и замечаний сделал доцент ка- федры вычислительной техники НГТУ В. М. Зыбарев. Этим коллегам ав- торы выражают свою искреннюю благодарность.
Авторы благодарны И. Д. Черных, который взял на себя труд по де- тальному прочтению рукописи, устранению неточностей и компьютерному набору учебника.
В настоящем, шестом издании устранены выявленные неточности,
несколько усовершенствован текст.
Авторы благодарны коллегам за полезные замечания, способствовавшие улучшению содержания книги.

Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
§ 1.1.
Множества и основные операции над ними
Понятия множества и элемента множества относятся к понятиям, не опре- делимым явно, таким, как, например, точка и прямая. Это связано с тем,
что некоторые понятия в математике должны быть исходными, служить теми “кирпичиками”, из которых складывается общая теория. Мы опреде- ляем только, как соотносятся эти исходные понятия, не говоря о природе рассматриваемых объектов.
Под множеством M понимается совокупность некоторых объектов,
называемых элементами множества M. Тот факт, что x является элемен- том множества M, будем обозначать через x ∈ M (читается “x принадле- жит M”), а если x не является элементом множества M, то будем писать
x /
∈ M (читается “x не принадлежит M”).
Заметим, что элементы множества сами могут являться множествами.
Например, множество групп студентов состоит из элементов (групп), кото- рые, в свою очередь, состоят из студентов.
Множество можно задать перечислением принадлежащих ему элемен- тов или указанием свойств, которым элементы множества должны удовле- творять. Если x
1
, x
2
, . . . , x
n
— все элементы множества M, то будем писать
M = {x
1
, x
2
, . . ., x
n
}. Пусть имеется свойство P , которым могут обладать или не обладать элементы некоторого множества A. Тогда множество M,
состоящее из всех элементов множества A, обладающих свойством P ,
будет обозначаться через {x ∈ A | x обладает свойством P }, а также
{x | x обладает свойством P }, {x | P (x)} или {x}
P (x)
, когда из контекста ясно, о каком множестве A идет речь.

Смотрите также файлы