Добавлен: 11.12.2023
Просмотров: 107
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вариант № 26
Задача № 1
Задание:
При градуировке средства измерения с линейной функциональной характеристикой получены числовые значения экспериментальных данных (таблица 1). По полученным данным найти методом наименьших квадратов аналитические выражения для градуировочной характеристики и построить ее графически.
Таблица 1 – Экспериментальные данные
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Xi | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
Yi | 160,0 | 170,7 | 180,4 | 190,5 | 200,1 | 200,9 | 205,2 | 208,3 | 210,6 | 215,0 |
Решение:
1) Линейная градуировочная характеристика описывается выражением:
Y = а0 + а1∙X,
где коэффициенты а0 и a1 методом наименьших квадратов находятся по формулам:
a0 = ,
a1 = .
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов:
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑х = ∑y
a0∑х + a1∑х2 = ∑y·х
х | y | х2 | y2 | х y |
0 | 160 | 0 | 25600 | 0 |
5 | 170,7 | 25 | 29138,49 | 853,5 |
10 | 180,4 | 100 | 32544,16 | 1804,0 |
15 | 190,5 | 225 | 36290,25 | 2857,5 |
20 | 200,1 | 400 | 40040,01 | 4002,0 |
25 | 200,9 | 625 | 40360,81 | 5022,5 |
30 | 205,2 | 900 | 42107,04 | 6156,0 |
35 | 208,3 | 1225 | 43388,89 | 7290,5 |
40 | 210,6 | 1600 | 44352,36 | 8424,0 |
45 | 215,0 | 2025 | 46225,0 | 9675,0 |
225 | 1941,7 | 7125 | 380047,01 | 46085,0 |
Ср.знач. | 194,17 | 712.5 | 38004,7 | 4608,5 |
Для имеющихся данных система уравнений имеет вид:
10 a0 + 225a1 = 1941,7
225 a0 + 7125a1 = 46085,0.
Из первого уравнения выражаем a0 и подставим во второе уравнение.
Получаем:
a0 = 168,024;
a1 = 1,162.
Уравнение тренда:
Y= 168,024 + 1,162X.
Эмпирические коэффициенты тренда a0 и a1 являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Коэффициент тренда a1 = 1,162 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением х на 1 единицу, y изменится в среднем на 1,162.
Изучена временная зависимость Y от времени Х. На этапе спецификации был выбран линейный тренд. Оценены его параметры методом наименьших квадратов. Возможна экономическая интерпретация параметров модели – с каждым периодом времени Х значение Y в среднем увеличивается на 1,162 ед. изм.
Графически уравнение тренда построено на рисунке 1, где точками нанесены экспериментальные данные.
Рисунок 1 – Градуировочная характеристика
Задача № 2
Задание:
По экспериментальным данным (таблица 2) многократных наблюдений при прямом измерении параметра X, вычислить результат измерения – и его случайную составляющую погрешности ∆, при Pα = 0,68 (tα = 1), Pα = 0,95 (tα = 2), Pα = 0,997 (tα = 3).
Таблица 2 – Экспериментальные данные наблюдения температуры
i | [ºС] | | |
1 | 1,4 | -0,49 | 240100 |
2 | 1,2 | -0,69 | 476100 |
3 | 2,7 | 0,81 | 656100 |
4 | 1,5 | -0,39 | 152100 |
5 | 1,6 | -0,29 | 84100 |
6 | 2,5 | 0,61 | 372100 |
7 | 2,9 | 1,01 | 1020100 |
8 | 2,1 | 0,21 | 44100 |
9 | 1,3 | -0,59 | 348100 |
10 | 1,7 | -0,19 | 36100 |
Решение:
1) Определим по формуле:
= ,
где X1, Х2, ... Xi ... Хn – массив экспериментальных данных.
Согласно априорной информации, систематических составляющих погрешностей нет, а разброс наблюдений подчиняется нормальному закону распределения вероятностей. Тогда параметры наблюдений температуры составят:
= 1,89 °С.
2) Рассчитаем среднее квадратическое отклонение (СКО) результата многократного измерения определяется зависимостью:
σ = .
σ = 0,59 ºС.
Для среднего арифметического результата измерения:
= .
= 0,187 ºС.
3) Рассчитаем оценку случайной составляющей погрешности по формуле:
∆ = tα∙ ,
а) с доверительной вероятностью Pα = 0,68 (tα = 1):
∆ = ±1 * 0,187 = ± 0,187 ºС,
т.е. после округления результат измерения температуры можно представить в одном из двух вариантов: = 1,89 °С; ∆ = ±0,19 °С; Рα = 0,68 или = (1,89 ± 0,19) °С; Рα = 0,68.
Относительная ошибка:
δ = ∙100%,
где tα – коэффициент Стьюдента, определяемый доверительной вероятностью α
δ = 0,187/ 1,89 * 100% ≈ 9,9%.
б) с доверительной вероятностью Pα = 0,95 (tα = 2):
∆ = ±2 * 0,187 = ± 0,374 ºС,
т.е. после округления результат измерения температуры можно представить в одном из двух вариантов: = 1,89 °С; ∆ = ±0,37 °С; Рα = 0,95 или = (1,89 ± 0,37) °С; Рα = 0,95.
Относительная ошибка:
δ = 0,374/ 1,89 * 100% ≈ 19,8%.
в) с доверительной вероятностью Pα = 0,997 (tα = 3):
∆ = ±3 * 0,187 = ± 0,561 ºС,
т.е. после округления результат измерения температуры можно представить в одном из двух вариантов:
= 1,89 °С; ∆ = ±0,56 °С; Рα = 0,997 или = (1,89 ± 0,56) °С; Рα = 0,997.
Относительная ошибка:
δ = 0,374/ 1,89 * 100% ≈ 19,8%.
Задача № 3
Задание:
Определить страну происхождения товара и подлинность штрих-кодов.
Решение:
1) Страна происхождения Россия:
2) Применим первый метод:
а) двигаясь справа налево, суммируем все цифры на четных позициях:
3 + 0 + 4 + 8 + 7 + 6 = 28;
б) умножаем полученный результат на 3:
28 * 3 = 84;
в) суммируем цифры на нечетных позициях. Начинаем с третьей по счету цифре:
6 + 1 + 6 + 0 + 0 + 4 = 17;
г) суммируем результаты, полученные в пунктах б и в:
84 + 17 = 101;
д) округлим полученный результат в большую сторону до ближайшего кратного десяти. В данном случае – это 110;
е) вычтем сумму, полученную при вычислениях в пункте г:
110 - 101 = 9;
3) Полученный результат соответствует контрольной (последней) цифре штрих-кода – 9, что говорит о подлинности товара.
Задача № 4
Задание:
По экспериментальным данным представленным в таблице 3 построить диаграмму разброса, рассчитать коэффициент корреляции и оценить его достоверность.
Таблица 3 – Экспериментальные данные
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
x | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,0 |
y | 12 | 15 | 23 | 24 | 30 | 31 | 38 | 40 | 48 | 52 |
Решение:
№ п/п | X, °ШР | Y, Н |
1 | 0,2 | 12 |
2 | 0,4 | 15 |
3 | 0,6 | 23 |
4 | 0,8 | 24 |
5 | 1,0 | 30 |
6 | 1,2 | 31 |
7 | 1,4 | 38 |
8 | 1,6 | 40 |
9 | 1,8 | 48 |
10 | 2,0 | 52 |
Таблица – Результаты расчетов
Рисунок 2 – Зависимость разрушающего усилия при сжатии кольца
от степени помола сульфитной целлюлозы
1) Для установления силы связи между величинами XY используем коэффициент корреляции, определяемый по следующей формуле:
r = ,
где r – коэффициент корреляции;
хi – текущее значение х;
yi – текущее значение y;
– среднее значение х;
– среднее значение у;
n – объем выборки.
r = 0,99.
Можно сделать вывод, что между величинами существует сильная положительная корреляция.
2) Оценим достоверность коэффициента корреляции. Для этого вычислим его среднюю ошибку m, по формуле:
mr = ,
при r/mr > 3 коэффициент корреляции считается достоверным, т.е. связь доказана. При r/mr < 3 связь считается недостоверной.
mr = ± 0,01.
r/mr = 99.
Коэффициент корреляции считается достоверным, т.е. связь доказана.
Список литературы
-
Алексеева В.В. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник / В.В. Алексеева. – М.: Изд. центр «Академия», 2007. – 384 с. -
Гончаров А.А. Метрология, стандартизация и сертификация / А.А. Гончаров, В.Д. Копылов – М.: Академия, 2008. – 240 с. -
Клевлеев В.М. Метрология, стандартизация и сертификация / В.М. Клевлеев, Ю.П. Попов, И.А. Кузнецова. – М.: Форум, Инфра-М, 2004. – 378 с. -
Колчков В.И. Метрология, стандартизация и сертификация / В.И. Колчков. – М.: Владос, 2010. – 298 с. -
Кондрашкова Г.А. Метрология. Стандартизация. Сертификация. Квалиметрия. Практикум: учебно-методическое пособие / Г.А. Кондрашкова, И.В. Бондаренкова, Е.П. Дятлова. – СПб: ВШТЭ СПбГУПТД, 2019. – 114 с. -
Радкевич Я.М. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник / Я.М. Радкевич, А.Г. Схиртладзе, Б.И. Лактионов. – М.: Высшая школа, 2006. – 798 с. -
Сергеев А.Г. Метрология, стандартизация и сертификация: учебное пособие / А.Г. Сергеев, М.В. Латышев, В.В. Терегеря В.В. – М.: Логос, 2009. – 560 с. -
Хрусталева З.А. Метрология, стандартизация и сертификация. Практикум / З.А. Хрусталева. – Кнорус, 2011. – 176 с.