Приведем без доказательства формулировку критерия Гурвица. Пусть дано характеристическое уравнение замкнутой системы

Прежде всего проверяется необходимое условие устойчивости — . Если оно не выполняется, то система не является асимптотически устойчивой.

При выполнении данного условия составляется матрица Гурвица по следующему

правилу.

По главной диагонали последовательно выписывают коэффициенты характеристического многочлена начиная с . Вниз от элементов главной диагонали столбцы заполняют коэффициентами с последовательно убывающими

индексами и нулями, когда индексы становятся отрицательными. Вверх от главной

диагонали столбцы заполняются коэффициентами с возрастающими индексами

и нулями, когда индекс должен бы быть больше n. Строки матрицы состоят из

коэффициентов либо только с нечетными, либо только с четными индексами и

нулями:

.

Критерий Гурвица гласит: система устойчива, если при > 0 главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны, причем



Если главный определитель равен нулю, то система находится на границе

устойчивости. Так как , то возможно два случая:

1. 
   
   
2. 
   
   

В первом случае говорят об апериодической границе устойчивости, во втором — о колебательной границе устойчивости.

---

2. 
   Расчетная часть
   

2.1 Задание на контрольную работу

1. 
   Определить передаточные функции системы и составить дифференциальное уравнение, связывающее выходной сигнал системы с внешними воздействиями.
   
2. 
   Исходя из заданной точности определить желаемый коэффициент усиления системы и коэффициент усиления усилителя.
   
3. 
   По критерию Гурвица определить устойчивость системы при значении коэффициента усиления системы, полученного в п.2.
   
4. 
   Построить ЛАЧХ неизменяемой части системы.
   

Система автоматической установки масштабных коэффициентов в аналоговом вычислительном комплексе.

При ручной установке масштабных коэффициентов неизбежны субъективные ошибки. Для уменьшения величины ошибок и увеличения скорости установки масштабных коэффициентов применяется автоматическая система, имеющая структурную схему, показанную на рисунке 4.


Рисунок 4 – Структурная схема системы

Система работает следующим образом. С помощью клавишного устройства на вход следующей системы подается напряжение , пропорциональное требуемому углу поворота настраиваемого потенциометра. Оно сравнивается напряжением , пропорциональным действующему углу – поворота настраиваемого потенциометра. Напряжение снимается с потенциометрического преобразователя .

При отклонении угла от угла напряжение рассогласования , проходя по прямой цепи управления, состоящей из модулятора , усилителя переменного тока с передаточной функцией вызывает поворот вала настраиваемого потенциометра до полного устранения рассогласования.

---

Исходные данные и требования к системе:

= 3	,
= 4	,
= 0,01	,
= 0,015 с	,
= 0,07 с	,
= 0,15 с	,
Еск = 0,6 град	,
x(t)=v·t v=40град/с.

2. 
   Определение передаточных функций системы и составление дифференциального уравнения, связывающего выходной сигнал системы с внешними воздействиями
   

Передаточная функция разомкнутой системы определяется по формуле (1):







Передаточную функцию замкнутой системы находим по формуле (2):







Передаточную функцию замкнутой системы по возмущению определим по формуле (3):

---

Передаточную функцию замкнутой системы по ошибке находим по формуле (4):



Составим дифференциальное уравнение замкнутой системы. Для этого сперва запишем уравнение замкнутой системы в изображениях:

=





Перенесем знаменатель в левую часть:





Теперь перейдём от изображений к оригиналам. Чтобы осуществить этот переход, у в левой части выражения произведём замену на ,а в правой – на :





2.3 Определение желаемого коэффициента усиления системы и коэффициента усиления усилителя исходя из заданной точности

Исследуемая система является системой первого порядка астатизма со входным сигналом вида:

v(t) =

В данном случае установившаяся ошибка вычисляется по формуле (6). Из неё

найдём желаемый коэффициент усиления всей системы:





Теперь найдём коэффициент усиления усилителя :



ПФ разомкнутой системы:



ПФ замкнутой системы:



2.4 Определим по критерию Гурвица устойчивость замкнутой системы при значении коэффициента усиления, полученного в п.2

---

Характеристическое уравнение нашей системы имеет вид:

А(p) =

Прежде чем строить матрицу Гурвица, проверим необходимое условие устойчивости: все коэффициенты , i = 0,n характеристического уравнения должны быть больше нуля. Все коэффициенты , больше нуля.

Составим матрицу Гурвица для уравнения:



Найдем определители этой матрицы:



Определители всех 4 порядков положительные; замкнутая система устойчива.

2.5 Построение ЛАЧХ разомкнутой системы

График частотных характеристик системы построим при помощи системы

MATLAB:









Рисунок 4 - ЛАЧХ разомкнутой системы

По полученным частотным характеристикам видим, что система устойчива, т.к. на частоте среза ЛАЧХ значение ЛФЧХ составляет: φ(ω) > –180º.

Построим годограф Найквиста разомкнутой системы:





Рисунок 5 – Годограф Найквиста разомкнутой системы
Из критерия Найквиста следует, что система устойчива, т.к. АФХ не охватывает критическую точку (-1, j0).

Список используемых источников

1. 
   Воронов А.А.: Теория автоматического управления, Москва: издательство Высшая школа, 1986. — 367 с, ил.
   
2. 
   Афанасьев, Калмановский, Носов: Математическая теория конструирования систем управления, Москва: издательство Высшая школа, 2003. — 615 с.
   
3. 
   Певзнер Л.Д.: Теория систем управления, Москва: Издательство Московского государственного горного университета 2002. – 472 с.
   
4. 
   Шишмарев В.Ю.: Основы автоматического управления, Москва: издательство Академия, 2008. – 347 с.
   

---

Смотрите также файлы

• Расчёт и проектирование резиновых виброизоляторов для турбогенераторов ктц1 Сургутской грэс1.docx

• Статистическая обработка одномерной выборки.pdf

• Машиностроение делал работа Матвей Марков отраслевой состав.pptx

• Сочинение всегда ли стоит брать на себя ответственность Именно эту проблему М. Г. Худяков берет за основу в своем тексте. Разберемся с ней более подробно.docx

• Моу сош 120 г. Волгоград.ppt