Файл: Исследование столкновения шаров.doc

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) — это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Отношение кинетических энергий тел после W_п и до W_д удара называется коэффициентом восстановления ε:

ε =W_п /W_д.

Если для сталкивающихся тел ε<1, то такие тела называются абсолютно неупругими, если ε =1 — абсолютно упругими. На практике для всех тел

0< ε<1 (например, для стальных шаров ε =0,56, для шаров из слоновой кости ε=0,89, для свинца ε =О). Однако в некоторых случаях тела можно с большой степенью точности рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций, т.е. наблюдается упругая деформация и вся кинетическая энергия

, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (подчеркнем, что это идеализированный случай).

Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными). Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу.

При центральном абсолютно неупругом ударе шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформаций происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии.

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Векторная величина

=m·

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется

импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Математическое выражение этого закона

=const,

гдеm_i,

_i–масса и скорость i- го тела системы, состоящей из nтел.

Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения.

Закон сохранения энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действует только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Законы сохранения энергии и импульса принадлежат к фундаментальным законам природы, и их экспериментальная проверка представляет особый интерес. При изучении удара шаров это можно проделать простым и наглядным способом.

Рассмотрим упругий и неупругий удар для двух шаров.

Случай упругого удара.

До столкновения сумма импульсов системы шаров равна сумме импульсов после удара:

.

или для модулей импульсов:

m₁· υ₀ + m₂ ·υ = m₁ ·υ₁ + m₂ ·υ₂,

где m₁и υ₀, υ₁ – масса и скорость ударяющего шара;

m₂ и υ, υ₂- масса и скорость ударяемого шара.

Пусть до удара второй шар находится в покое: υ= 0 и р = 0, тогда импульс до удара

р₀ = m₁ ·υ₀.(1)

После упругого удара для модулей импульсов шаров:

р = m₂ ·υ₂ ± m₁ ·υ₁,(2)

при отклонении шаров в одну сторону берется знак «+», а в противоположные знак «-».

С учетом направления вектора скорости импульс до и после удара определяется как

m₁ ·υ₀ = m₂ ·υ₂ - m₁ ·υ₁,

где υ₁и υ₂ -скорости ударяющего и ударяемого шаров сразу после удара.

Для определения величин скоростей шаров воспользуемся следующим соображением.

В начальном положении отклоним ударяющий шар на угол α₀. При этом центр шара поднимается на высоту

h = l-l·cos α₀= l(1- cos α₀) =2 ·l· sin² ,

где l- длина нити на которой подвешан шар.

Шар получит потенциальную энергию:

W_р = m₁·g·h = 2·m₁·g·l· sin² .

Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия в нижней точке перейдет в кинетическую энергию:

W_к = W_р = 2·m₁·g·l ·sin² .

Используя определение кинетической энергии, получим формулу для скорости:

W_к = = 2·m

₁·g·l ·sin² ,

υ₀ = 2 · sin .(3)

Значит, скорость ударяющего шара в нижней точке траектории зависит от начального угла отклонения α₀.

Соответственно скорости шаров после ударов:

υ₁ = 2 · sin ,(4)

υ₂ = 2 · sin , (5)

где α₁ - угол отклонения ударяющего шара после удара;

α₂ - угол отклонения ударяемого шара после удара.

Случай неупругого удара. Импульс шаров после неупругого удара

р₃ = (m₁+ m₃) · υ₃.(6)

Так как до удара второй шар находится в покое: υ= 0 и р = 0, тогда импульс до удара

р₀ = m₁ ·υ₀,

и импульс до и после удара будет равен

m₁ υ₀ = (m₁+ m₃) υ₃,

где υ₃ - скорость шаров, движущихся вместе после неупругого удара.

Общая скорость шаров

υ₃ = 2 ·sin ,(7)

где α₃- угол, на который отклонятся оба шара после неупругого удара.

Энергия шаров до удара равна кинетической энергии первого шара, поскольку второй неподвижен:

W_к = = 2·m₁·g·l ·sin² . (8)