Файл: Решение задачи динамики мкэ. Общие положения.pdf

Билет 1.
1. Решение задачи динамики МКЭ. Общие положения.
Основные опасные частоты от 0 до 5 Гц.
Уравнение Лагранжа второго рода:
????
????????
????????
????
????????̇
????
−
????????
????
????????
????
+
????????
????????
????
= ????
????
(????)
Потенциальная и кинетическая энергии:
???? =
????
????
{????(????)}
????
[????]{????(????)} и ????
????
=
????
????
{????̇(????)}
????
[????]{????̇(????)}
Тогда уравнение движения:
[????]{????(????)} + [????]{????̈(????)} = {????(????)}
{????̈(????)}, {????̇(????)}, {????(????)} − ускорение, скорость и перемещение
[????] − матрица жёсткости в ГСК,
[????] − матрица масс в ГСК
[????] = [????]
????
[????]
′
[????]
С учётом сил сопротивления, основное уравнение динамики:
[????]{????̈} + [????]{????̇} + [????]{????} = {????}
[????] − матрица демпфирования
Элементы квадратных матриц вычисляют по формулам:
????
????????
????
= ∫ ????
̅????
????
????
????
????????
????????
,
????
????????
????
= ∫ ????????
????
????
????
????????
????????
????
̅ − коэффициент вязкого сопротивления, ???? − плотность
2. Вопросы точности МКЭ.
Суммарная относительная погрешность, эмпирическая формула:
????
∑
= (
????
????
)
????(????+????−????)
+ ????????
−????
????
????
(
????
????
)
−????????
,
где ???? — характерный размер КЭ;
???? — характерный размер конструкции;
???? — степень интерполяционного полинома;
???? — степень старшей производной в выражении для потенциальной
энергии деформации;???? — число десятичных значащих цифр ЭВМ;
????
????
≈ ????(????/????) — спектральное число обусловленности матрицы
жесткости;
???? — некоторое число, зависящее от степени интерполяционного
полинома.
Первое слагаемое – ошибки дискретизации (разбиении), второе – ошибки округления
{∆????
????????
} = {????
????ср
} − {????
????????
},
{????
????ср
} =
∑
{????????????}
????????
????=????
????????
- вектор средних значений компонент напряжений в узле ????, ????
????
- число КЭ, {????
????????
}
- вектор компонент напряжений в узле ???? элемента ????
Погрешность потенциальной энергии:
∆????
????
=
????
????
∫{∆????
????
}
????
[????]{∆????
????
}????????
????
Погрешность потенциальной энергии для всей КЭМ составит:
∆???? = ∑ ∆????
????
????
????=????
3. Собственные колебания систем в МКЭ.
Все элементы обладают массой и жёсткостью, имеют собственную частоту и форму колебаний. Чем ниже масса, тем ниже частота, чем больше жёсткость, тем выше частота.
Модальный анализ помогает установить параметры колебаний конструкции.
При свободных колебаниях без сопротивления:
{????(????)} = ????, [????] = ????, {????(????)} = {????} ???????????? ????????,
???? − круговая частота
Уравнение движения:
|[????] − ????
????
[????]|{????} = ????
Т.к. ???? тождественно не равно нулю, то уравнение частот собственных колебаний примет вид:
|[????] − ????
????
[????]| = ????
????
????
− элементы частот собственных колебаний
????
????
=
????
????
????????
Билет 2.
1. Этапы решения задачи МКЭ на основе примера.
В качестве примера рассмотрим изгиб балки под действием сосредоточенных внешних сил ????
????
и распределенной нагрузки ????
????
Разобьем балку на три элемента. Узлы разместим в точках приложения сил и закреплений. Каждый элемент имеет по две степени свободы в узле. КЭМ имеет восемь степеней свободы.
Матрицы жесткостей КЭ вычисляются по известным значениям:
Глобальная матрица жесткости для трех элементов будет представлять сумму коэффициентов матриц жесткости отдельных КЭ в глобальной системе координат по известному выражению:
[????] = ∑[????
????
]
????
????=1
,
???? = 3 − число КЭ
Представим матрицы жесткости элементов в общем виде:
[????]
1
= ⋯ ,
[????]
2
= ⋯ ,
[????]
3
= ⋯
[????] = [????]
1
+ [????]
2
+ [????]
3
,
[????]{????} = {????}
Или где:
????
????3
= ????
????4
=
????̅
????
????
2
,
????
????3
=
????̅
????
????
2 12
,
????
????4
= −
????̅
????
????
2 12
С учётом граничных условий:
Матрица может быть сокращена до 6x6 путём исключения нулевых столбцов и строк:
2. Уравнение движения в матричной форме:
Основные опасные частоты от 0 до 5 Гц.
Уравнение Лагранжа второго рода:
????
????????
????????
????
????????̇
????
−
????????
????
????????
????
+
????????
????????
????
= ????
????
(????)
Потенциальная и кинетическая энергии:
???? =
????
????
{????(????)}
????
[????]{????(????)} и ????
????
=
????
????
{????̇(????)}
????
[????]{????̇(????)}
Тогда уравнение движения:
[????]{????(????)} + [????]{????̈(????)} = {????(????)}
{????̈(????)}, {????̇(????)}, {????(????)} − ускорение, скорость и перемещение
[????] − матрица жёсткости в ГСК,
[????] − матрица масс в ГСК
[????] = [????]
????
[????]
′
[????]
С учётом сил сопротивления, основное уравнение динамики:
[????]{????̈} + [????]{????̇} + [????]{????} = {????}
[????] − матрица демпфирования
Элементы квадратных матриц вычисляют по формулам:
????
????????
????
= ∫ ????
̅????
????
????
????
????????
????????
,
????
????????
????
= ∫ ????????
????
????
????
????????
????????
????
̅ − коэффициент вязкого сопротивления, ???? − плотность
3. Матрица демпфирования.
Рассмотрим балочный элемент. Потенциальную и кинетическую энергии для элемента с учетом поперечных и продольных сил инерции определим из выражений:
???? =
????
????
???????? ∫[????̈(????, ????)]
????
????????
????
????
+
????
????
???????? ∫[????̇(????, ????)]
????
????????
????
????
+
????
????
????
вр
???? ∫[????̇(????, ????)]
????
????????
????
????
????
????
=
????
????
???? ∫[????̇(????, ????)]
????
????????
????
????
+
????
????
???? ∫[????̇(????, ????)]
????
????????
????
????
Если в выражения энергий ввести выражения перемещений:
???? = [????]
????
{????},
???? = [????]
????
{????},
???? = [????]
????
{????}
То получим:
Полная матрица масс элемента: [????] = [????]
изг1
+ [????]
изг2
+ [????]
пр
+
[????]
кр
(здесь [????]
изг вычисляются для разных плоскостей КЭ).
Прямоугольный элемент пластины размером ???? × ???? совершает поперечные движения ????(????, ????, ????). Тогда по аналогии с балочным элементом имеем:
????
????????
= ???????? ∫ ∫ ????
????
(????, ????)????
????
(????, ????)????????????????
????
????
????
????
????
????????
= ????
̅???? ∫ ∫ ????
????
(????, ????)????
????
(????, ????)????????????????
????
????
????
????
ℎ − толщина пластины
Билет 3.
1. Методы формирования и решения основных уравнений МКЭ.
Основная проблема – невозможность разместить систему в оперативной памяти ЭВМ.
Методы:
1. Компактное хранение в оперативной памяти в виде вектора- указателя.
2. Решение разряжённых матриц и одновременное формирование и решение системы.
Ранее использовали метод хранения частями (блоками). В блочном методе предварительно определяется ширина ленты матрицы жесткости, затем, исходя из доступной оперативной памяти, формируются последовательно по два блока, состоящих из строк, например, верхней половины матрицы жесткости (учитывается симметрия матрицы).
Способы решения системы уравнений разделяют на прямые
(точные) и итерационные. Преимущества прямых — решение находят за конечное число операций. Преимущество итерационных состоит в возможности достижения заданной точности за меньшее число операций, исправления ошибок округления при решении системы высокого порядка точными методами, в простоте алгоритма, но продолжительность и погрешности решения сильно зависят от заданной точности решения.
Метод Гаусса и его модификации:
∑ ????
????????
????
????
????
????=????
= ????
????
,
где ????
????????
— коэффициенты матрицы жесткости для ???? вариантов нагружений и ???? степеней свободы; ???? – число уравнений
Исключая типичное уравнение при ???? = ????, уравнение нормализуется следующим образом:
∑
????
????????
????
????????
????
????
????
????=????
=
????
????
????
????????
⇒ ∑ ????
????????
∗
????
????
????
????=????
= ????
????
∗
,
где ????
????????
∗
=
????
????????
????
????????
,
????
????
∗
=
????
????
????
????????
Здесь ????
????????
− главный диагональный элемент.
Решение сводится к определению ????
̅
????????
= ????
????????
− ????
????????
????
????????
∗
, ????
̅
????
= ????
????
−
????
????????
????
????
∗
, где ???? ≠ ????, изменяется от ???? до ????, так что
∑ ????
̅
????????
????
????
????−????
????=????
= ????
̅
????
В результате определяется решение для последнего уравнения, затем в процессе обратной подстановки — для предпоследнего и так до первого. Фронтальный решатель весьма эффективен для задач небольшого и среднего размера.
Метод Гаусса-Зейделя (итерационный метод).
Решение на каждом шаге ???? определяется из выражения:
????
????
(????)
=
????
????
????????
(????
????
− ????
????????
????
????
(????)
− ⋯ − ????
????,????−????
????
????−????
(????)
− ????
????,????
????
????
(????−????)
− ⋯ − ????
????????
????
????
(????−????)
)
На каждом шаге определяется величина коррекции решения ∆???? и новое приближение:
????
????
(????)
= ????
????
(????−????)
+ ∆????
Эффективность алгоритма во многом характеризуется определением ∆????. При этом можно использовать невязку, полученную в результате подстановки решения на данном шаге в основное уравнение:
[????]{????
(????−????)
} = {????
(????−????)
},
{????} − {????
(????−????)
} = {∆????}
По этой невязке ∆???? определяется в конечном итоге ∆????. Решение длится до тех пор, пока не будет выполняться условие
????
(????)
= ????????????|????
????
(????)
− ????
????
(????−????)
| ≤ ???? где ???? — некоторое малое положительное число (точность реше- ния).
2. Учёт демпфирования в методе главных координат.
Метод суперпозиции форм колебаний, или главных координат используют тогда, когда решение может быть описано линейной комбинацией гармоник, отвечающих нескольким низшим частотам системы. Это возможно, когда высшие гармоники в разложении ????(????) мало влияют на поведение в рассматриваемой системе.
Демпфирование рассматривают в целом для системы.
Матрица коэффициентов демпфирования может быть определена из выражения:
[????] = ????[????] + [????],
где ???? — коэффициент вязкости материала конструкции; [????] — диагональная матрица, образованная из коэффициентов вязкости внешних демпферов.
Приближенно внутреннее и внешнее сопротивление материала в
МКЭ учитывают, используя выражение
[????] = ????[????] + ????[????]
Значения коэффициентов ???? и ???? подбирают из условия, чтобы декременты колебаний, отвечающие затухающим свободным колебаниям, совершаемым по двум характерным (низшим) формам собственных колебаний, были частотно независимыми. Их значения находят, используя две характерные формы колебаний с частотами ????
????
и
????
????
и известные коэффициенты демпфирования, из системы
{
????????
????
????
+ ???? = ????
????
????
????
????????
????
????
+ ???? = ????
????
????
????
3. Матрица масс.
Рассмотрим балочный элемент. Потенциальную и кинетическую энергии для элемента с учетом поперечных и продольных сил инерции определим из выражений:
???? =
????
????
???????? ∫[????̈(????, ????)]
????
????????
????
????
+
????
????
???????? ∫[????̇(????, ????)]
????
????????
????
????
+
????
????
????
вр
???? ∫[????̇(????, ????)]
????
????????
????
????
????
????
=
????
????
???? ∫[????̇(????, ????)]
????
????????
????
????
+
????
????
???? ∫[????̇(????, ????)]
????
????????
????
????
Если в выражения энергий ввести выражения перемещений:
???? = [????]
????
{????},
???? = [????]
????
{????},
???? = [????]
????
{????}
То получим:
Полная матрица масс элемента: [????] = [????]
изг1
+ [????]
изг2
+ [????]
пр
+
[????]
кр
(здесь [????]
изг вычисляются для разных плоскостей КЭ).
Прямоугольный элемент пластины размером ???? × ???? совершает поперечные движения ????(????, ????, ????). Тогда по аналогии с балочным элементом имеем:
????
????????
= ???????? ∫ ∫ ????
????
(????, ????)????
????
(????, ????)????????????????
????
????
????
????
????
????????
= ????
̅???? ∫ ∫ ????
????
(????, ????)????
????
(????, ????)????????????????
????
????
????
????
ℎ − толщина пластины

Билет 4.
1. Свободные колебания пластинок.
Положим, что толщина пластинки не превосходит 1/5…1/10 наименьшего размера в плане, а амплитуды прогибов малы в сравнении с толщиной. Колебания таких пластинок являются линейными. Вывод дифференциального уравнения этих колебаний, а также граничных условий основан на гипотезах Кирхгофа, принятых в приближенной теории изгиба пластинок.
Пластинка — система с бесконечным числом степеней свободы
— имеет спектр с неограниченным числом частот собственных колебаний. Для низких частот точность высокая.
В простейшем случае однородной изотропной пластинки постоянной толщины уравнения движения для ПСК имеют вид:
????????
????
????????
+
????????
????
????????
= ????????
????
????
????
????????
????
,
????????
????
????????
+
????????
????????
????????
= ????
????
,
????????
????
????????
+
????????
????????
????????
= ????
????
Учитывая выражения для моментов, получим уравнение собственных колебаний рассматриваемой пластинки:
????
????
????
????????
????
+ ????
????
????
????
????????
????
????????
????
+
????
????
????
????????
????
+
????????
????
????
????
????
????????
????
= ????
Решение этого уравнения принимает вид:
???? = (???? cos ???????? + ???? sin ????????)????(????, ????)
Таким образом, получим:
????
????
????
????????
????
+ ????
????
????
????
????????
????
????????
????
+
????
????
????
????????
????
− ????
????
???? = ???? или ????
????
????
????
???? − ????
????
???? = ???? где ????
????
=
????????
????
????
????
− собственное значение ДУ
Для более сложных случаев (анизотропные, ортотропные пластинки, пластинки непрямоугольного очертания и т. д.) уравнение собственных колебаний сокращенно представим в общем виде:
????(????) − ????
????
???? = ???? где ????(????) — соответствующий линейный дифференциальный оператор в частных производных для выбранной системы координат.
2. Прямые методы решения задач динамики МКЭ.
При использовании прямого метода (или шагового) не производят никаких преобразований уравнений. По существу, на каждом шаге решается статическая задача, в которой в соответствии с принципом
Даламбера добавлены силы инерции и сопротивлений.
Наиболее распространена одношаговая процедура Вильсона, в которой используют вспомогательные соотношения для различных значений времени ???? и ???? + ???? (???? — шаг по времени):
{????̇}
????+????
=
????
????
({????}
????+????
− {????}
????
) − ????{????̇}
????
−
????
????
{????̈}
????
{????̈}
????+????
=
????
????
????
({????}
????+????
− {????}
????
) −
????
????
{????̇}
????
− ????{????̈}
????
Подставив эти выражения в уравнение движения, представленное для ???? + ????, получим:
[????]{????}
????+????
= {????
∗
}
????+????
где
[????] = [????] +
????
????
[????] +
????
????
????
[????]
{????
∗
}
????+????
= {????}
????+????
+ [????] {????????̈ +
????
????
????̇ +
????
????
????
????}
????
+ [????] {
????
????
????̈ + ????????̇ +
????
????
????}
????
Из уравнений определим {????}
????+????
, {????̇}
????+????
и {????̈}
????+????
. Поскольку число шагов исчисляется обычно десятками, то следует, что продолжительность решения динамической задачи во столько же раз будет больше решения статической (для той же КЭМ).
Прямой метод относят к числу условно устойчивых. Для повышения устойчивости решения используют специальные процедуры.
3. Метод суперэлементов.
МКЭ позволяет рассматривать отдельно конструктивные элементы самостоятельно (в виде подконструкций или суперэлементов). Их разбиение ещё мельче, выше точность, эффективность расчёта.
???? = ∑ ???????? − функции формы
При помощи них считаются перемещения дополнительных узлов после более мелкого разбиения.
Основное уравнение МКЭ:
[
????
????????
????
????????
????
????????
????
????????
] {
????
????
????
????
} = {
????
????
????
????
}
или
[????]
∗
{????} = {????}
∗
[????]
∗
= [????
????????
− ????
????????
????
????????
−????
????
????????
] − матрица граничных жёсткостей
{????}
∗
= {????
????
− ????
????????
????
????????
−????
????
????
} − вектор граничных усилий
Внутренне перемещение:
{????
????
} = [????
????????
−????
]{????
????
} − [????
????????
−????
][????
????????
]{????
????
}
Билет 5.
1. Методы решения задачи о собственных колебаниях
пластинок.
1. Точный метод. Точное решение задачи о собственных значениях уравнения при заданных граничных условиях, т. е. решение в замкнутом виде при помощи табулированных функций, найдено для очень немногих случаев. Известно классическое решение этой задачи для прямоугольной изотропной пластинки, свободно опертой по контуру.
2. Вариационные методы. В основу вариационных методов положен принцип Рэлея, согласно которому собственные значения уравнения определяют по формуле:
????{????
????
} =
∬ ????
????
????(????
????
)????????
????
∬ ????
????
????
????????
????
≥ ????
????
????
Здесь ????
????
— любая допустимая функция для заданной задачи, т. е. функция четыре раза непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая граничным условиям; ???? — область, ограниченная контуром пластинки.
При ???? = ???? и условии
∬ ????
????
????????
????
> ????
????
????
????
является наименьшим (первым) собственным значением, а ????
????
— соответствующая ему собственная функция.
Дополнительное условие:
∬ ????
????
????
????
????????
????
= ????
— условие ортогональности некоторой допустимой функции ????
????
к функции ????
????
, то формула будет определять следующее по величине собственное значение ????
????
????
≥ ????
????
????
а ????
????
будет соответствующей ему собственной функцией
2. Метод главных координат задач динамики МКЭ.
Метод суперпозиции форм колебаний, или главных координат используют тогда, когда решение может быть описано линейной комбинацией гармоник, отвечающих нескольким низшим частотам системы. Это возможно, когда высшие гармоники в разложении ????(????) мало влияют на поведение в рассматриваемой системе.
Метод состоит в том, что искомый вектор {????(????)} решения уравнения представляется в виде
{????} = [????]{????
̅} где ????(????) — неизвестные обобщенные перемещения (координаты); ???? — известные формы собственных колебаний системы.
Из дифференциального уравнения Лагранжа второго рода при отсутствии сил сопротивления имеем
{
????????
????????
????
} =
????
????
[????][????]{????} +
????
????
{????}
????
[????][????], где [????] — единичная матрица
Известно, что {????}
????
[????] = [????]
????
{????} в силу симметрии [????] = [????]
????
, поэтому
{
????????
????????
????
} = [????]{????},
{
????????
????
????????
????
} = [????]{????̈}
Подставив эти значения в, окончательно получим
[????]{????̈} + [????]{????} = {????} или в развернутом виде с учетом условия ортогональности собственных форм:
????
????????
????̈
????
+ ⋯ + ????
????????
????̈
????
+ ????
????????
????
????
+ ⋯ + ????
????????
????
????
= ????
????
…
????
????????
????̈
????
+ ⋯ + ????
????????
????̈
????
+ ????
????????
????
????
+ ⋯ + ????
????????
????
????
= ????
????
В результате система может быть сведена к системе из n независимых уравнений вида
????
????
????̈
????
+ (????????
????
????
????
????
+ ????????
????
)????̇
????
+ ????
????
????
????
????
????
????
= ????
????
из которых определяют ????
????
(????):
????̈
????
+ ????????????????̇
????
+ ????
????
????
????
????
=
????
????
????
????
,
???? − номер формы колебаний
Точность решения зависит в основном от динамической модели и правильности выбора числа собственных частот, используемых в уравнениях, а также от характера действия динамических нагрузок.
В некоторых частных случаях применяют специальные подходы, позволяющие повысить эффективность решения основного уравнения
(например, для установившегося гармонического воздействия и для затухающих колебаний возле положения равновесия).
В первом варианте вынуждающая сила
{????(????)} = {????
????
(????????????(???????? + ????) + ???? ????????????(???????? + ????))}
Во втором:
{????(????)} = {????
????
}????
????????????
,
{????(????)} = {????
????
}????
????????????
3. Метод граничных элементов.
Интегральные уравнения. Уменьшает размерность исходной задачи на единицу.
Граница – набор конечных элементов.
Центр – аналитическое выражение.
Связь по границе путём использования уравнения совместимости перемещений на внутренней границе
Объединение МГЭ и МКЭ:
[????]
????
{????}
????
= {????}
????
[????]
????
{????}
????
= {????}
????
???? − область КЭ, ???? − область МГЭ