МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической физики

РЕФЕРАТ

Эффект Холла

Выполнил: студентка гр.06131

Викулина Л.С.

Проверил: Архинчеев В.Е.

Улан-Удэ

2004
Если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлениям тока и поля, возникает разность потенциалов U_н = φ₁ – φ_{2 .} Это явление было обнаружено в 1880 г. американским физиком Эдвином Гербертом Холлом и называется эффектом Холла или гальваномагнитным явлением.

Холловская разность потенциалов определяется выражением
U_н = RajB (1)
Здесь а – ширина пластинки, j – плотность тока, В – магнитная индукция поля, R – коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Холла.

Эффект Холла очень просто объясняется электронной теорией. В отсутствие магнитного поля ток в пластинке обусловливается электрическим полем Е₀. Эквипотенциальные поверхности этого поля образуют систему перпендикулярных к вектору Е₀ плоскостей. Две из них изображены на рисунке сплошными прямыми линиями. Потенциал во всех точках каждой поверхности, а следовательно, и в точках 1 и 2 одинаков. Носители тока – электроны – имеют отрицательный заряд, поэтому скорость их упорядоченного движения V направлена противоположно вектору плотности тока j.

При включении магнитного поля каждый носитель оказывается под действием магнитной силы F, направленной вдоль стороны а пластинки и равной по модулю

F = evB.
В результате у электронов появляется составляющая скорости, направленная к верхней грани пластинки. У этой грани образуется избыток отрицательных, соответственно у нижней грани -–избыток положительных зарядов. Следовательно, возникает дополнительное поперечное электрическое поле E_B . Когда напряженность этого поля достигает такого значения, что его действие на заряды будет уравновешивать силу, установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Соответствующее значение Е

---

_В определяется условием е Е_В = еvB. Отсюда
Е_В = vB.
Поле Е_В складывается с полем Е₀ в результирующее поле Е. Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны к вектору напряженности поля. Следовательно, они повернутся и займут положение, изображенное на рисунке штриховыми линиями. Точки 1 и 2, которые прежде лежали на одной и той же эквипотенциальной поверхности, теперь имеют разные потенциалы. Чтобы найти напряжение, возникающее между этими точками, нужно умножить на расстояние между ними а на напряженность Е_В :
U_н = a Е_В = avB.
Выразим v через j, n, e в соответствии с формулой j = nev. В результате получим:

U_н = ^ajB

Ne
Это выражение совпадает с (1), если положить

R =
R = 1/ (ne)

Из этого следует, что, измерив постоянную Холла, можно найти концентрацию носителей тока в данном металле (т.е. число носителей в единице объема).

Важной характеристикой является подвижность в нем носителей тока. Подвижностью носителей тока называется средняя скорость, приобретаемая носителями при напряженности электрического поля, равной единице. Если в поле напряженности Е носители приобретают скорость V, то подвижность их V₀ равна

V₀ =
Подвижность можно связать с проводимостью σ и концентрацией носителей n. Для этого разделим соотношение j = nev на напряженность поля Е. Приняв во внимание, что отношение j к E дает σ, а отношение V к Е – подвижность, получим

σ = nev₀.
Измерив постоянную Холла R и проводимость σ, можно найти концентрацию и подвижность носителей тока в соответствующем образце.

Эффект Холла наблюдается не только в металлах, но и в полупроводниках, причем по знаку эффекта можно судить о принадлежности полупроводника к

---

n- или p-типу.

На этом рисунке сопоставлен эффект Холла для образцов с положительными и отрицательными носителями.

Направление магнитной силы меняется на противоположное как при изменении направления заряда, так и при изменении его знака. Следовательно, при одинаковом направлении тока и поля магнитная сила, действующая на положительные и отрицательные носители, имеет одинаковое направление. Поэтому в случае положительных носителей потенциал верхней (на рисунке) грани выше, чем нижней, а в случае отрицательных носителей – ниже. Таким образом, определив знак холловской разности потенциалов, можно установить знак носителей тока.

Измерение константы Холла для полупроводника позволяет судить о характере его проводимости. При электронной проводимости R<0, при дырочной – R>0. При наличии обоих типов проводимости знак константы Холла говорит о том, какой из них преобладает в данном полупроводнике.

Константа Холла имеет положительное значение примерно для половины металлов. Квантовая теория электропроводности объясняет это тем, что в данном случае электроны, являющиеся носителями тока, выступают как «полусвободные», т.е. энергетически связаны с ионами кристаллической решетки, но находятся на верхних энергетических уровнях «незаполненной» зоны. Если число электронов на уровнях незаполненной зоны меньше половины числа уровней в ней, то, как показал Пайерлс, постоянная R<0; если же число электронов в незаполненной зоне больше половины числа уровней в ней, - постоянная Холла положительна.
Дробный квантовый эффект Холла
Состояние дробного эффекта не может быть адиабатически преобразовано в какое-либо состояние невзаимодействующих электронов. При правильном определении состояния материи и полном понимании целочисленного квантового эффекта Холла к другому заключению прийти невозможно. Иначе холловская проводимость с необходимостью квантовалась бы на целые числа, так как она сохраняется при адиабатическом преобразовании и равна целому числу в невзаимодействующей системе из-за калибровочной инвариантности и дискретности заряда электрона. Поэтому состояние, отвечающее дробному эффекту, представляет собой что-то беспрецедентное – это новое состояние материи.

---

Внешне это выглядит почти так же, как в целочисленном эффекте. Существуют плато. Холловская проводимость на плато – это просто число, умноженное на е² / h. Параллельные сопротивление и проводимость на плато равны нулю. Отклонения от точного квантования из-за конечности температуры либо имеют активационную природу, либо подчиняются моттовскому закону для прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка, в зависимости от температуры. Единственное качественное различие между двумя эффектами – это сама холловская проводимость.

С учетом этих фактов самое простое и очевидное объяснение, а в действительности и единственно возможное, состоит в том, что это новое состояние может быть адиабатически преобразовано во что-то подобное заполненному уровню Ландау, но только с возбуждениями, несущими дробный заряд. Адиабатическое увеличение потока на квант, которое снова переводит гамильтониан в себя, должно переносить целое число этих объектов через образец. Локализация этих объектов должна объяснять появление плато. Все соображения о точности квантования должны работать, как и прежде. Как это обычно бывает с непредсказуемыми явлениями, именно эксперименты, а не теории, скажут нам, так это или нет. Теории могут помочь нам лучше понять эксперимент, в особенности если обеспечат хороший модельный вакуум, но главное основание для этих выводов состоит в том, что эксперименты не оставляют нам альтернативы.

Основное состояние, предложенное Р.Б.Лафлиным как прототип для эффекта с 1/3, открытого Цуи, Штёрмером и Госсардом, выглядит следующим образом:
N N

Ψ _m (z₁,….,z_N) = ∏ (z_j – z_k)^m exp -1/(4ℓ²⁾ |z_j |² , (*)

J
где m – нечетное число, в данном случае 3, а z_j = z_j + iy_j - координата j-й частицы в комплексном представлении.

Хорст любит шутить, что весь эффект укладывается в одно маленькое уравнение, но правда состоит в том, что это уравнение только потому такое простое, что Хорсту и Дэну посчастливилось сначала найти состояние с 1/3. Большинство других вакуумов с 30 нечетными знаменателями, которые открыты теперь, не имеют таких простых прототипов, но сейчас существуют и разумные альтернативы. Все эти основные состояния могут быть адиабатически преобразованы друг в друга, и в этом смысле одинаковы. Волновая функция (*) была изначально предложена Лафлиным как вариационное основное состояние для модельного гамильтониана.

Дункан Холдейн показал потом, что волновая функция является точным основным состоянием для некоторого класса гамильтонианов с нелокальными потенциалами.

Главная черта этой волновой функции в том, что в термодинамическом пределе она описывает систему электронов с плотностью, в точности равной 1/(2πmℓ²). В этом можно убедиться, заметив, что квадрат этой волновой функции совпадает с функцией распределения классической однокомпонентной плазмы. Полагая, что:

| Ψ(z₁,….,z_N)|² = exp[-βФ(z₁,….,z_N)],

и выбирая β=1/m, чтобы аналогия стала более наглядной, получаем
N N

Ф(z₁,….,z_N) = -2m²  ln |z_j - z_k | + ^m Σ| z_j|² (1)

J² j
Это потенциальная энергия частиц с «зарядом» m, которые отталкиваются логарифмически (это естественный двумерный кулоновский потенциал) и притягиваются к началу координат однородной плотностью «заряда» 1/(2πℓ²). Для локальной электронейтральности, необходимой в плазме, частицы должны иметь плотность p = 1/(2πmℓ²).

Также очень важно, что при малых m это состояние не кристаллическое. Для случая m=1, когда волновая функция описывает полностью заполненный уровень Ландау, это очевидно. Для других значений m следует обратиться к обширной литературе по классической однокомпонентной плазме. Численные исследования показали, что кристалл (точнее, степенные корреляции, так как истинный кристалл не может существовать в двух измерениях при ненулевой температуре) образуется при константе связи Г = 2m порядка 140. Поэтому при m = 3, и вообще при малых нечетных m, мы находимся далеко в жидкой фазе. Частично именно на основе этого факта Лафлин предсказал существование холловского состояния при 1/5, которое потом и было обнаружено экспериментально.

Другая важная черта этого состояния – щель в спектре возбуждений, или, говоря иначе, выделенное значение плотности. На эту щель указывают эксперименты и вид Ψ_m, которая дает только плотности, равные 1/(2πmℓ²), но строго существование щели было доказано только Холдейном и Резайи, когда они численно диагонализировали гамильтониан на сфере. В точности то же значение для этой щели, около 0.08е² /ℓ для кулоновского случая m = 3, было получено Гирвином, Макдональдом и Плацманом с помощью гидродинамических соображений. Последний вывод особенно важен, поскольку он отождествляет низколежащие возбуждения со звуком. В большинстве квантовых жидкостей оператор плотности p_q, специальным образом спроектированный, с большой вероятностью рождает фонон. Если предположить, что это единственное возбуждение, то можно использовать правило сумм, чтобы выразить энергию возбуждения Е_q только через характеристики основного состояния. Тогда, полагая
P_q = P [ Σ exp (iqr_j)]P, где
P – проектор на нижний уровень Ландау, и обозначая через <x| произвольное возбужденное состояние с энергией Е_х, имеем
E_q = ^{∑xEx |<X| Pq| Ψm>|²} = ^{< Ψm| [P-q, [μ, Pq]] | Ψm>}

∑x| ^p_q|Ψ_m|² 2< Ψ_m| p_-q p_q| Ψ_m>
Несжимаемость классической плазмы, неявно описываемая функцией Ψ_m , приводит к необычно быстрому убыванию знаменателя при q→0, в результате чего оказывается, что Е_q выходит в этом пределе на константу. Спектр как функция импульса имеет неглубокий минимум при q = 1,4/ℓ для m = 3, что близко к волновому вектору q = 1,56/ℓ, соответствующему упорядочению в вигнеровский кристалл. Этот минимум вполне аналогичен ротонному минимуму в жидком гелии. Зависимость Е_q от q вполне подобна закону дисперсии обычного экситона на полностью заполненном уровне Ландау.

Для доказательства того, что наше состояние имеет элементарные возбуждения с дробным зарядом, достаточно существования щели в спектре. Представим мысленный эксперимент, показанный на рисунке, в котором образец протыкается тонким соленоидом, и магнитный поток φ в нем адиабатически увеличивается.


____________________________________________________________________


Рис.1.Иллюстрация мысленного эксперимента, демонстрирующего существование возбуждений с дробным зарядом. Система, находящаяся в основном состоянии, протыкается бесконечно тонким соленоидом, в котором адиабатически включается магнитный поток φ. Вдали от соленоида это приводит к движению состояний по направлению к соленоиду. При увеличении потока до ∆φ = hc/e гамильтониан снова переходит в себя с точностью до калибровки. Это означает, во-первых, что в точности одно состояние должно пройти сквозь замкнутую поверхность, окружающую соленоид, и, во-вторых, что соленоид в конце процесса можно свободно удалить. Результат такого включения потока – создание собственного состояния исходного гамильтониана с зарядом e/m, равным среднему заряду на одно состояние на бесконечности.
То, что происходит при этом вблизи соленоида, зависит от модели, но вдали от него все сводится к переносу каждой электронной орбиты внутрь, как это было и в целочисленном эффекте Холла в случае петли. Поскольку гамильтониан при увеличении фазы от нуля до ∆φ = hc/e возвращается в начальное состояние с точностью до несущественного калибровочного преобразования, то ровно одно состояние из каждого уровня Ландау переносится в результате сквозь замкнутую поверхность, окружающую соленоид. При этом внутрь вносится заряд e/m, т.е. средний заряд на одно состояние на бесконечности, и располагается где-то в окрестности соленоида. После этого соленоид можно удалить, и мы получаем точное возбужденное состояние исходного гамильтониана, несущее заряд e/m, соответствующий плотности заряда в основном состоянии.

Небольшое изменение этого рассуждения показывает, что квантование дробного заряда является точным. Представим себе ситуацию, показанную на рис.2, когда затравочная масса электрона медленно изменяется вдоль образца от реального значения в области А до столь малой величины в области С, что там уравнение (*) становится точным, причем будем считать, что щель существует везде.

____________________________________________________________________

Рис.2. Иллюстрация мысленного эксперимента, показывающего, что дробное квантование является точным. Представим себе, что какой-либо параметр гамильтониана, например затравочная масса, медленно меняется в пространстве, непрерывно связывая систему А с идеальной системой С на бесконечности. Эксперимент с включением потока, проведенный в области А, приводит к переносу заряда e/ m сквозь замкнутую поверхность, расположенную в области С, независимо ни от каких деталей, и этому заряду просто некуда деваться, кроме как собраться где-то около соленоида. Таким образом, область А наследует точные свойства от области С благодаря сохранению щели в области В.

________________________________________________________________________________
Проведем теперь такой же эксперимент с соленоидом, только замкнутую поверхность выберем такой большой, чтобы она проходила в области С. При этом в области А будет происходить что-то сложное, что невозможно предсказать, исходя из общих принципов, зато в области С, согласно предыдущему рассуждению, внутрь пройдет заряд, в точности равный e/m. Но этому заряду просто некуда деваться, кроме как уйти к соленоиду, по крайней мере, если область А достаточно велика. Таким образом, включение соленоида создает возбуждение в области А с зарядом, в точности равным e/m, независимо от микроскопических деталей системы. В действительности мы показали даже нечто большее. Если поместить вторую замкнутую поверхность в области А, то можно убедиться, что заряд возбуждения должен быть фундаментальным образом связан с плотностью заряда в А. Поэтому эта плотность квантуется на идеальное значение, хотя уравнение (*) там уже не выполняется точно. Приведенные аргументы имеют вполне общий характер и применимы к любым параметрам гамильтониана, а не только к затравочной массе. Заряд не меняется при любом адиабатическом изменении гамильтониана, сохраняющем щель, а поэтому характеризует всю рассматриваемую фазу, а не просто ее определенный прототип.

Волновые функции, описывающие эти возбуждения с дробным зарядом, которые Лафлин назвал квазичастицами, выглядят так:

N N N

Ψ ⁺_z0 (z₁,….,z_N) = ∏ (z_j – z_k)^m exp -1/(4ℓ² ) |z_j |²  ∏ (z_j – z₀)

J
Для положительно заряженного возбуждения в точке z₀ и

N N N

Ψ ^-_z0 (z₁,….,z_N) = ∏ (z_j – z_k)^m exp -1/(4ℓ² ) |z_j |²  ∏ (2ℓ^{2 ∂} – z₀)

Jj
Для отрицательно заряженного. Лафлин первоначально оценил энергии этих возбуждений соответственно как 0,022е² /ℓ и 0,025е² /ℓ для кулоновского взаимодействия при m = 3. Последующие численные расчеты Холдейна и Резайи, а также Морфа и Гальперина дали уточненные значения 0,026е² /ℓ и 0,073е² /ℓ. Сумма этих энергий немного выше, чем ротонная щель, как и должно быть, если считать коллективную моду связанным состоянием квазичастицы и квазидырки, т.е. экситоном. Щели такого типа были экспериментально обнаружены при измерении проводимости, но они оказались раза в два меньше теоретических значений, пересчитанных с учетом конечной толщины двумерного слоя. Это расхождение не принципиально, так как беспорядок сильно подавляет щель. Легко показать, что квазидырочная волновая функция описывает возбуждение с зарядом 1/3. Поступая так же, как и при выводе уравнения (1), получим:
N N N

Ф(z₁,….,z_N) = -2  ln |z_j - z₀ | -2m²  ln |z_j - z_k | + ^m Σ| z_j|².

J j² j
Частицы плазмы теперь «видят» воображаемый единичный заряд в точке z₀ и перераспределяются таким образом, чтобы заэкранизировать его равным по величине и противоположным по знаку зарядом. Несколько сложнее показать, что квазиэлектронная волновая функция также описывает возбуждение с зарядом 1/3, но подход остается прежним.

Сейчас уже существует целый ряд экспериментальных работ, в которых непосредственно наблюдались квазичастицы с зарядом е/3. Самые свежие и широко цитируемые из них – измерения дробового шума, выполненные Саминадайяром и Де Пиччиотто, в которых заряд определялся по флуктуациям тока утечки через узкую часть холловского образца. Эти очень впечатляющие эксперименты не так просты, как кажется на первый взгляд, поскольку процессы туннелирования происходят между краями образца, а на краях спектр не имеет щели, как это было в объеме, но соответствует бесщелевой киральной жидкости Латтинджера. Носители в этом странном одномерном металле имеют заряд е/3, унаследованный от объема, но физически несколько отличаются от объемных квазичастиц, и даже могут быть интерпретированы как совсем другое явление. Дробовой шум, ожидаемый при туннелировании этих возбуждений, имеет, как оказывается, классический вид с зарядом электрона, замененным на е/3. Более спорные, но вполне серьезные эксперименты – это работы Голдмана и Су по резонансному туннелированию, которые представляют собой усовершенствование старого эксперимента Симмонса и др. В этих экспериментах тоже измеряется ток через сужение холловского образца, но уже не флуктуации, а ток на нулевой частоте как функция плотности носителей и магнитного поля. Также существует знаменитая работа Кларка, в которой сообщалось об обнаружении дробного заряда по высокотемпературному поведению активационной параллельной проводимости на холловских плато. Это поразительные измерения, но спорные из-за того, что не удается найти простого теоретического описания этого эффекта. Лучшее наблюдение этого заряда – сама квантованная холловская проводимость. В особенности, когда образец настолько грязный, что соображения, использующие идеальные края, теряют смысл, тогда как правило сумм, связанное с увеличением потока, определяет заряд переносимого через образец объекта, независимо ни от каких деталей системы.

Дробный квантовый эффект Холла является интересным по многим причинам, но важен только по одной: экспериментально установлено, что как частицы, несущие дробную часть заряда электрона е, так и сильные калибровочные взаимодействия между этими частицами (два центральных постулата стандартной модели) могут неожиданно возникать как свойства нового состояния материи. Другие важные аспекты стандартной модели, такие как свободные фермионы, относительность, перенормируемость, спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса, уже имели ясные аналогии в физике твердого тела и их даже иногда предлагали исходя из этих аналогий, но дробные квантовые числа и калибровочные поля считались чем-то фундаментальным, в том смысле, что их нужно изначально вводить в гамильтониан. Теперь очевидно, что это не так.

Квазичастицы в дробном квантовом эффекте Холла – это элементарные возбуждения определенного состояния материи, которое не может быть преобразовано в систему невзаимодействующих электронов без пересечения некоторой фазовой границы. Это означает, что они отличны от электронов в том единственном смысле, в каком мы говорим о чем-то отличающемся. В частности, они не являются адиабатическими образами электронов, как это имеет место для квазичастиц в металлах и зонных диэлектриках. Некоторые энтузиасты теории композитных фермионов утверждают обратное, а именно, что эти частицы не что иное, как экранированные электроны, однако это не верно. Этот подозрительный процесс экранирования всегда наталкивается в некоторой точке на фазовую границу, приводя к радикальной перестройке основного состояния и низколежащих возбуждений. В физике твердого тела существует тенденция приравнивать понимание природы к возможности смоделировать ее – отношение, которое иногда приводит к недооценке или неправильной интерпретации более высокого организующего принципа, в действительности определяющего тот или иной эффект. В случае целочисленного или дробного квантового эффекта Холла нужно прежде всего обратить внимание на точность квантования. Никакое моделирование на современных или будущих компьютерах никогда само по себе не даст объяснения этой точности. Это сможет сделать только общий принцип. Мнение, что квазичастицы – это просто экранированные электроны, к сожалению, не совместимо с основным принципом, который работает в этих экспериментах. Если тщательно проанализировать этот подход, то становится понятно, что он приводит к неверному заключению о целочисленном квантовании холловской проводимости.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. 
   // Успехи физических наук. Т.170, №3. Нобелевская лекция Р.Б.Лафлина.
   
2. 
   Савельев И.В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. М., 2003.
   
3. 
   Трофимова Т.И. Справочник по физике для студентов и абитуриентов. М.,2001.
   
4. 
   Карякин Н.И., Быстров К.Н., Киреев П.С. Краткий справочник по физике. М., 1964.
   

---

Смотрите также файлы

• Дипломды Жмыс 6B01823 леуметтік педагогика жне зін зі тану.docx

• Экспериментальный метод.docx

• Состояние ЗавершеноЗавершен Воскресенье, 17 апреля 2022, 00 42Прошло времени.pdf

• Наименование блока Положительные.docx

• Дисциплина Методика обучения продуктивным видам деятельности с практикумом.docx