Файл: Справочные материалы1 тригонометрия тригонометрическая окружность.pdf

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
1 ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
1 sin
2
???? + cos
2
???? = 1
1 sin 2???? = 2 sin ???? ∙ cos ????
2
1 + tg
2
???? =
1
cos
2
????
2 cos 2???? = cos
2
???? − sin
2
????
3
1 + ctg
2
???? =
1
sin
2
????
3 cos 2???? = 2cos
2
???? − 1
4 tg ???? ∙ ctg ???? = 1
4 cos 2???? = 1 − 2sin
2
????
СИНУС
КОСИНУС sin ???? =
противолежащий катет гипотенуза cos ???? =
прилежащий катет гипотенуза
ТАНГЕНС
КОТАНГЕНС
1
tg ???? =
противолежащий катет прилежащий катет
1
ctg ???? =
прилежащий катет противолежащий катет
2
tg ???? =
sin ????
cos ????
2
ctg ???? =
cos ????
sin ????
ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ
ЧЁТНОСТЬ
1
sin(???? + ????) = sin ???? cos ???? + cos ???? sin ????
1 sin(−????) = − sin ????
2
sin(???? − ????) = sin ???? cos ???? − cos ???? sin ????
2 cos(−????) = cos ????
3
cos(???? + ????) = cos ???? cos ???? − sin ???? sin ????
3 tg(−????) = − tg ????
4
cos(???? − ????) = cos ???? cos ???? + sin ???? sin ????
4 ctg(−????) = − ctg ????
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
1 Если в аргументе есть сколько-то
????
2
, то функция меняется на кофункцию
Если в аргументе есть сколько-то ????, то функция остаётся прежней
ПРИМЕР:
sin (
????
2
− ????) = cos ????
tg(???? + ????) = tg ????
2 Чтобы определить знак, нужно понять в какой четверти находится аргумент и смотреть на изначальную функцию, а не на изменившуюся
ПРИМЕР:
sin (
3????
2
+ ????)
Это IV четверть, в ней синус имеет знак минус, поэтому sin (
3????
2
+ ????) = − cos ????
ЛОГАРИФМЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМА
ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО
ОДЗ ЛОГАРИФМА
Если log
????
???? = ????, то ????
????
= ????
????
log
????
????
= ????
Для log
????
???? {
???? > 0
???? ≠ 1
???? > 0
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
1 log
????
???? + log
????
???? = log
????
(???? ∙ ????)
3 log
????
????
????
= ???? ∙ log
????
????
5
log
????
???? =
1
log
????
????
2
log
????
???? − log
????
???? = ????????????
????
????
????
4
log
????
????
???? =
1
????
∙ log
????
????
6
log
????
???? =
log
????
????
log
????
????
ПРОИЗВОДНЫЕ
1 ????′ = 0
5
(√????)′ =
1 2√????
9 (sin ????)′ = cos ????
13 (????
????
)′ = ????
????
2 ????′ = 1
6 (???? ∙ ????)
′
= ????
′
???? + ????????
′
10 (cos ????)
′
= − sin ????
14 (????
????
)′ = ????
????
∙ ln ????
3 (????????)′ = ????
7
(
????
????
)
′
=
????
′
???? − ????????
′
????
2
11
(tg ????)′ =
1
cos
2
????
15
(ln ????)′ =
1
????
4 (????
????
)′ = ???? ∙ ????
????−1
8 (????(????))
′
= (????(????))
′
∙ ????
′
12
(ctg ????)
′
= −
1
sin
2
????
16
(log
????
????)′ =
1
???? ∙ ln ????

2 СТЕПЕНИ
1 ????
????
∙ ????
????
= ????
????+????
3 (????
????
)
????
= ????
???? ∙ ????
5 ????
????
????
????
= (
????
????
)
????
7
????
−????
=
1
????
????
2 ????
????
: ????
????
= ????
????−????
4 ????
????
∙ ????
????
= (???? ∙ ????)
????
6 ????
0
= 1
8
(
????
????
)
−????
= (
????
????
)
????
КОРНИ
1 √???? ∙ √???? = √????????
2 √????
√????
= √
????
????
3 (√????)
2
= ????
4 √????
2
= |????|
5 √????
????
????
= ????
????
????
ФСУ
РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ
КВАДРАТ РАЗНОСТИ
КВАДРАТ СУММЫ
РАЗНОСТЬ КУБОВ
СУММА КУБОВ
????
2
− ????
2
= (???? − ????)(???? + ????) (???? − ????)
2
= ????
2
− 2???????? + ????
2
(???? + ????)
2
= ????
2
+ 2???????? + ????
2
????
3
− ????
3
= (???? − ????)(????
2
+ ???????? + ????
2
) ????
3
+ ????
3
= (???? + ????)(????
2
− ???????? + ????
2
)
УРАВНЕНИЯ
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
ТЕОРЕМА ВИЕТА
????????
2
+ ???????? + ???? = ????(???? − ????
1
)(???? − ????
2
)
????????
2
+ ???????? + ???? = 0 {
????
1
+ ????
2
= −
????
????
????
1
∙ ????
2
=
????
????
МОДУЛИ
КАК РАСКРЫВАТЬ МОДУЛИ
Если внутримодульное выражение положительное, то просто опускаем модуль
ПРИМЕР:
???? = |2 − 1| = 2 − 1
Если внутримодульное выражение отрицательное, то раскрываем модуль, меняя все знаки внутри модуля на противоположные
ПРИМЕР:
???? = |1 − 2| = −1 + 2
СВОЙСТВА МОДУЛЕЙ
1 |???? ∙ ????| = |????| ∙ |????|
2
|
????
????
| =
|????|
|????|
3 |????|
2
= ????
2
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
1 ????
????
= ????
1
+ ???? ∙ (???? − 1)
2
????
????
=
(????
1
+ ????
????
)
2
∙ ????
3 ???? =
????
????
− ????
????
???? − ????
МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
БЫЛО
СТАЛО log
????
???? − log
????
????
(???? − 1)(???? − ????)
????
????
− ????
????
(???? − 1)(???? − ????)
|????| − |????|
(???? − ????)(???? + ????)
√???? − √????
(???? − ????)
ЗАДАНИЕ 8
УРАВНЕНИЕ ПУТИ
СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ
СХЕМА ЗАДАЧ НА СПЛАВЫ И СМЕСИ
???? = ???? ∙ ???? расстояние = скорость ∙ время
????
средняя
=
????
суммарное
????
суммарное
Доля
1
∙ ????
1
+ Доля
2
∙ ????
2
= Доля
3
∙ ????
3

3 УГЛЫ
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
СУММА УГЛОВ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
В сумме 180°
Равны
У треугольника 180°
У четырёхугольника 360°
У пятиугольника 540°
У шестиугольника 720°
У ???? −угольника 180°(???? − 2)
НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ
СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ
ОДНОСТОРОННИЕ УГЛЫ
Равны при параллельных прямых (первый признак параллельности прямых)
Равны при параллельных прямых (второй признак параллельности прямых)
В сумме 180° при параллельных прямых
(третий признак параллельности прямых)
СВОЙСТВО ОСТРЫХ УГЛОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ТУПЫХ УГЛОВ sin ???? = cos ???? sin ???? = cos ???? tg ???? = ctg ???? tg ???? = ctg ???? sin ???? = sin ???? cos ???? = − cos ???? tg ???? = − tg ???? ctg ???? = − ctg ????
ТРЕУГОЛЬНИК
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ ВЫСОТУ)
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ УГОЛ)
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ РАДИУС)
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ РАДИУС)
???? =
1 2
∙ ???? ∙ ℎ
????
???? =
1 2
∙ ???? ∙ ???? ∙ sin ????
???? = ????????
???? − полупериметр
???? =
????????????
4????
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
ПЛОЩАДЬ (ФОРМУЛА ГЕРОНА)
????
sin ????
=
????
sin ????
=
????
sin ????
= 2????
???? = √????(???? − ????)(???? − ????)(???? − ????)
1 ????
2
= ????
2
+ ????
2
− 2???????? ∙ cos ????
2
cos ???? =
????
2
+ ????
2
− ????
2 2????????
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
СВОЙСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
• Лежит на серединах сторон
• Параллельна основанию
• Равна половине основания
В ЛЮБОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ:
– против большей стороны больший угол
– против средней стороны средний угол
– против меньшей стороны меньший угол
В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны
ПРИМЕР:
3 + 4 > 5 3 + 5 > 4 4 + 5 > 3

4 БИССЕКТРИСА, МЕДИАНА И СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
ТЕОРЕМА О БИССЕКТРИСЕ
СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ
ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
????
????
????
????
=
????
????
Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла
Центр вписанной в треугольник окружности
– это точка пересечения биссектрис
СВОЙСТВО МЕДИАНЫ
СВОЙСТВО МЕДИАНЫ
СВОЙСТВО МЕДИАНЫ
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (с одинаковыми площадями)
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины
СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
СВОЙСТВО СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА
Серединный перпендикуляр – это прямая, выходящая из середины стороны треугольника под прямым углом к этой стороне
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника
Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
По двум сторонам и углу между ними
По стороне и двум, прилежащим к ней углам
По трём сторонам
ПОДОБИЕ
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ
ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ
По двум углам
По двум пропорциональным сторонам и углу между ними
По трём пропорциональным сторонам
ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
ОТНОШЕНИЕ ОБЪЁМОВ
ОТНОШЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
ПОДОБИЕ ABC и HBK
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
????
большого треугольника
????
маленького треугольника
= ????
2
Отношение объёмов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия
????
большой фигуры
????
маленькой фигуры
= ????
3
В подобных треугольниках отношение периметров, биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия cos ???? =
????????
????????
cos ???? =
????????
????????
∆ ????????????∆ ????????????по 2 признаку
(
????????
????????
=
????????
????????
и угол ???? − общий)

5 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
ПЛОЩАДЬ
СВОЙСТВО
????
2
= ????
2
+ ????
2
???? =
???? ∙ ????
2
Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы
РАДИУС
ВЫСОТА
ВЫСОТА
???? =
????
2
ℎ =
????????
????
ℎ
2
= ????????
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
СВОЙСТВО
Биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, равны
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК
ПЛОЩАДЬ
ВЫСОТА
РАДИУС
РАДИУС
???? =
√3????
2 4
ℎ =
√3????
2
1
???? =
√3 ∙ ????
6
1
???? =
√3 ∙ ????
3
2
???? =
1 3
∙ ℎ
2
???? =
2 3
∙ ℎ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ ВЫСОТУ)
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ УГОЛ)
СВОЙСТВО
???? = ????ℎ
????
???? = ???????? ∙ sin ????
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Если две стороны равны и параллельны
Если противоположные стороны попарно равны
Если диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
РОМБ
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ ДИАГОНАЛИ)
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ РАДИУС)
???? =
????
1
∙ ????
2 2
???? = ????????

6 ТРАПЕЦИЯ
ПЛОЩАДЬ
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ
СВОЙСТВО
???? =
???? + ????
2
∙ ℎ
• Лежит на серединах сторон
• Параллельна основаниям
•
Равна полусумме оснований
В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°
СВОЙСТВО РАВНОБЕДРЕННОЙ ТРАПЕЦИИ
ПРИЗНАК РАВНОБЕДРЕННОЙ ТРАПЕЦИИ
???????? = ???????? =
???????? − ????????
2
Если трапеция вписана в окружность, то она - равнобедренная
ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК
ПЛОЩАДЬ
???? =
????
1
∙ ????
2
∙ sin ????
2
РАВНОСТОРОННИЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК
ПЛОЩАДЬ
РАДИУС
РАДИУС
ДИАГОНАЛИ
ПЛОЩАДИ ЧАСТЕЙ
???? =
3√3????
2 2
???? = ????
???? =
√3????
2
1
????
????????????
=
√3????
2 4
2
????
????????????
=
1 6
????
шестиугольника
3 ????
????????????????
= √3????
2
4
????
????????????????
=
2 3
????
шестиугольника
ТЕОРЕМЫ СО СТРАШНЫМИ НАЗВАНИЯМИ
ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ
ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ
ТЕОРЕМА ЧЕВЫ
???????? ∙ ???????? = ???????? ∙ ???????? + ???????? ∙ ????????
(работает только для вписанного четырёхугольника)
Если прямая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, то
????????
????????
∙
????????
????????
∙
????????
????????
= 1
Чевиана – это отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне
Если в треугольнике три чевианы пересекаются в одной точке, то
????????
????????
∙
????????
????????
∙
????????
????????
= 1

7 ОКРУЖНОСТЬ
ПЛОЩАДЬ КРУГА
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
ВПИСАННЫЙ УГОЛ
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ
???? = ????????
2
???? = 2????????
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается
ПРИЗНАК ОПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
ПРИЗНАК ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
ПРИЗНАК ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
???? + ???? = ???? + ????
∠???? + ∠???? = 180°
∠???? + ∠???? = 180°
Если два равных угла между стороной и диагональю опираются на один отрезок, то около четырёхугольника можно описать окружность
СВОЙСТВО КАСАТЕЛЬНОЙ
СВОЙСТВО КАСАТЕЛЬНЫХ
КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ
КАСАТЕЛЬНАЯ И ХОРДА
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания
Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности
????????
2
= ???????? ∙ ????????
???? =
⌣ ????????
2
СВОЙСТВО СЕКУЩИХ
СВОЙСТВО ХОРД
СВОЙСТВО ХОРД
???????? ∙ ???????? = ???????? ∙ ????????
???? ∙ ???? = ???? ∙ ????
Хорды, стягивающие равные дуги, равны
ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА
СВОЙСТВО КАСАЮЩИХСЯ ОКРУЖНОСТЕЙ
ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
???? = ????????
???? − полупериметр
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания
Вневписанная окружность треугольника – это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности