Файл: В противном случае, т е. если существует положительное в конечном счете решение (1), (1) называется неосциллирующим.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 18
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
В данной работе изучаются колебательные свойства полулинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием , Ф (????) := |????| ????−2????, ???? > 1. (1) Предположим, что ????, ????, ???? — непрерывные функции, определенные на [????0,∞), такие, что ????(????) > 0, ????(????) > 0 для больших ????, ????( ????) ≤ ???? для всех ???? и lim????→∞????(????) = ∞. Через ???? мы обозначаем сопряженное число к числу ????, то есть ???? = ????/(???? − 1). Под решением (1) мы понимаем любую дифференцируемую функцию ????(????), которая в конце концов тождественно не равна нулю, такую, что ????(????)Φ(???????? (????)) дифференцируема и (1) выполняется при больших ????. Решение уравнения (1) называется колебательным, если оно имеет бесконечно много нулей, стремящихся к бесконечности.
В противном случае, т. е. если существует положительное в конечном счете решение (1), (1) называется неосциллирующим.
Хорошо известно, что поведение дифференциальных уравнений с запаздыванием сильно отличается от поведения обыкновенных дифференциальных уравнений. Среди прочего, теория Штурма не работает, и колебательные решения могут сосуществовать с неколебательными решениями. В некоторых частных случаях можно сравнить асимптотику (1) с каким-либо другим более простым уравнением.
Одним из типичных объектов для этого сравнения является дифференциальное уравнение с запаздыванием первого порядка; см., например, в [1–3] результаты сравнения (1) или его обобщения в виде нейтрального дифференциального уравнения с дифференциальным неравенством с запаздыванием первого порядка. Другим более простым объектом, чем (1), пригодным для сравнения с (1), является полулинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
(???? (????) Φ (???????? (????)))???? + ???? (????) Φ (???? (????)) = 0; (2)
см., например, [4–7]. Обратите внимание, что в некоторых из этих работ рассматривается немного более общее уравнение
???? (????) Φ (???????? (????)))???? + ???? (????, ???? (????), ???? (???? (????))) = 0. (3)
Однако если рассматривать это более общее уравнение, то условия, накладываемые на нелинейность ????, обычно утверждают, что (3) является своего рода мажорантой (1) (в том смысле, который используется в теории Штурма обыкновенных дифференциальных уравнений) и позволяют расширить легко получается из (1) в (3). Примером таких условий является ???? (????, ????, V) Φ (V) ≥ ???? (????) или ???? (????, ????, V) Φ (????) ≥ ???? (????) (4) для некоторой (положительной) функции ????(????) и все положительные числа ????, V. Отметим также, что некоторые из цитированных выше работ в более общем виде касаются нейтральных дифференциальных уравнений и (или) динамических уравнений во временных масштабах.
В данной работе мы сравниваем (1) с обыкновенным полулинейным уравнением вида (2). Чтобы сделать нашу статью более читабельной, мы ограничим наше внимание дифференциальными уравнениями, а не уравнениями во временных масштабах. Распространение наших результатов на нейтральные дифференциальные уравнения представлено в конце этой статьи. Напомним технику Риккати, которая является одним из методов, часто используемых в теории колебаний как (1), так и (2) (легко видеть, что если ????(????) = ????, то (1) сводится к (2 )). Предположим, что (1) не осциллирует, и пусть ???? — его окончательное положительное решение. Тогда функция )) ???? (????) ) + (???? − 1) ????1−???? (????)|???? (????)| ???? = 0.
Лемма 1 (см. [8, теорема 2.2.1]). Обозначим L[????] = (????(????)Φ(???????? (????)))???? + ????(????)Φ(????(????)) и R[????] = ???????? + ????(????) + (???? - 1)????1−????(????)|????|???? . Следующие утверждения эквивалентны: (i) (2) является неосциллирующим, (ii) существует ???? ∈ R и непрерывно дифференцируемая функция ???? : [????,∞) → R такая, что ???? [????](????) = 0 для ???? ∈ [????,∞), (6) (iii) существуют ???? ∈ R и непрерывно дифференцируемая функция ???? : [????,∞) → R такие, что ???? [????](????) ≤ 0 для ???? ∈ [????,∞ ), (7) (iv) существуют ???? ∈ R и положительная функция ???? : [????,∞) → R с непрерывно дифференцируемой ????Φ(???????? ) такая, что L [????](????) ≤ 0 при ???? ∈ [???? ,∞). (8) Как мы покажем ниже, допущения, использованные в статье, гарантируют, что положительные решения со временем возрастают и вогнуты вниз. Основным шагом при сравнении обыкновенного полулинейного дифференциального уравнения и его аналога с запаздыванием (1) является сведение (5) к неравенству Риккати вида (7). Обычным подходом к удалению члена Φ(????(????(????))/????(????)) из (5) является следующая лемма, первоначально доказанная в [9] и затем использованная во многих последующих работах.
Лемма 2. Пусть ???? — функция, определенная для некоторого ????>0, такого что ) ≤ 0 для ????≥????. Тогда для каждого ???? ∈ (0, 1) существует ???????? ≥ ???? такое, что ???? (???? (????)) ???? (????) ≥ ???????? (????) ???? для ????≥????????. (9) Заметим, что доказательство леммы 2 не использует тот факт, что ???? является решением (1) и лемма верна для любой положительной возрастающей вогнутой вниз функции. Доказательство (9) может быть основано на том, что если ????????????(????) ≤ 0 на [????,∞) и ????(????) ≥ 0, то ????(????)/(????−????) убывает с относительно ???? на [????,∞) (см. [10, теорема 128]).
???? (???? (????)) ???? (????) ≥ ???? (????) − ???? ????−???? = ???? (????) ???? 1 − (????/???? (????)) 1 − (????/????) , (10)
Таким образом, ???? ≤ ????(????) ≤ ????. Снятие зависимости от ???? может быть реализовано с помощью константы ???? ∈ (0, 1). Наличие одной из констант ???? или ???? в оценках (9) и (10) является важным признаком этих оценок. Как следствие, результирующие интегральные критерии колебаний приходится формулировать либо с константой ???? ∈ (0, 1), либо в виде интервальных или каменевских критериев, где зависимость от ???? обычно не возмущающая. Типичный результат выглядит следующим образом: Теорема А.
Теорема A (см. [11, теорема 2.6]). Уравнение (1) с ????≡1 является осциллирующим, если дифференциальное уравнение Φ (???????? (????)))???? + ???????? (????) (???? (????) ???? ) ????−1 Φ (???? (????)) = 0 11) является колебательным для некоторого ???? ∈ (0, 1).
В качестве другого частного примера критерия, который страдает наличием констант ???????? ∈ (0, 1), см. [12, теорема 2.1]. ???????????? (????) + ???? (????) ???? (???? (????)) = 0 Указанный выше недостаток устранен для линейного уравнения с запаздыванием (13) ∫ ∞ 0 ???????? (????) ???????? = ∞.
Оплустил и Сремр использовали в недавних работах [ ˇ 13, 14] оценку (12) для получения более точной оценки, чем оценка из леммы 2. Заметим, что наложение (13) на ???? не приводит к каким-либо ограничениям в критериях осцилляции для (12), поскольку ( 12) уже известно, что оно неосциллирующее, если (13) не выполняется. Такой же подход был использован для линейных динамических уравнений во временных масштабах Эрбе, Петерсоном и Сакером в [15]. Цель данной работы – получить результат, аналогичный оценке из [13, 14], и сделать его доступным также для полулинейного дифференциального уравнения с запаздыванием. Нелинейность уравнения приводит к тому, что метод из [13, 14] не распространяется на (1) напрямую и приходится использовать косвенный подход, который возникает из-за того, что полулинейное расширение не дает (13) в виде его частный случай, но включает термин ????(????) вместо ????.
2. Предварительные
Доказательство следующего утверждения можно найти в [16].
Абстрактный и прикладной анализ
Лемма 3. Пусть ???? — положительное в конечном счете решение (1). Если ∫ ∞ ???? 1−????(????) ???????? = ∞, то ????????(????) > 0 для больших ????. Более того, если ???? ???? (????) ≥ 0, то ????????????(????) ≤ 0 при больших ????. Следующая лемма показывает, что при некоторых дополнительных условиях мы можем использовать (1) для получения более точной версии оценки из леммы 2. Лемма 4. Предположим, что (1) не является осцилляторным, и пусть ????(????) > 0 — решение уравнения (1). Если выполнены условия ∫ ∞ ???? 1−???? (????) ???????? = ∞, ???????? (????) ≥ 0 при больших ????, (14) ∫ ∞ ???? (????) ????????−1 (????) ????????1 = ∞, (14) тогда существует ???? ∈ R такое, что ???? (???? (????)) ???? (????) ≥ ???? (????) ???? , ???? ≥ ????. (16) Доказательство. Из условий (14) и леммы 3 следует, что существует ????0 такое, что ????(????) > 0, ????????(????) > 0, ????????????(????) ≤ 0 при ????≥????0. Покажем, что ???????????? (????) − ???? (????) ≤ 0 (17) для больших ????. Поскольку (???????????? (????) − ????(????))???? = ????????????????(????) ≤ 0, достаточно показать, что (17) выполняется для некоторого ????1 ≥ ????0. Предположим противное, что ???????????? (????) − ????(????) > 0 для всех ????≥????0. Решая это неравенство, получаем ????(????) > ????????для ????≥????0, где ???? = ????(????0)/????0 > 0. Следовательно, существует ????2 ≥ ????0 такое, что Φ (???? (???? (????)) ≥ ????(????−1 ???? (????))????−1, ????≥????2. (18) Так как ???? является решением (1), то (???? (????) Φ (???????? (????)))???? = −???? (????) Φ (???? (???? (????))) ≤ −????????− 1???? (????) (???? (????))????−1, ????≥????2. (19) Интегрируя последнее неравенство от ????2 до ????, получаем (???? (????))????−1????????, (20) и из положительности ????(????)Φ(???????? (????)) получаем следующую конечную оценку сверху для интеграла от ????(????)(????( ????))????−1: ????????−1 ∫ ???? ????2 ???? (????) (???? (????))????−1 ???????? ≤ ???? (????2) Φ (???????? (????2)) − ???? (????) Φ (???????? (????) < )) Φ (???????? (????2)) (21) для ????≥????2. Однако условие (15) обеспечивает неограниченность левой части этого неравенства. Это противоречие доказывает (17) для больших ????. Следовательно, существует ????1 ≥ ????0 такое, что (17) выполнено для ????≥????1. Это неравенство вместе с вычислением (???? (????) ???? ) ???? = ???????????? (????) − ???? (????) ????2 ≤ 0, ???? ≥ ????1, (22) показывает, что функция ????(????)/???? убывает на ( ????1,∞). Этот факт и тот факт, что ????(????) ≤ ????, показывают, что существует ????≥????1 такое, что ???? (????) ???? ≤ ???? (???? (????)) ???? (????) , ???? ≥ ????, (23) что эквивалентно (16). Это противоречие доказывает (17) для больших ????. Следовательно, существует ????1 ≥ ????0 такое, что (17) выполнено для ????≥????1. Это неравенство вместе с вычислением (???? (????) ???? ) ???? = ???????????? (????) − ???? (????) ????2 ≤ 0, ???? ≥ ????1, (22) показывает, что функция ????(????)/???? убывает на ( ????1,∞). Этот факт и тот факт, что ????(????) ≤ ????, показывают, что существует ????≥????1 такое, что ???? (????) ???? ≤ ???? (???? (????)) ???? (????) , ???? ≥ ????, (23) что эквивалентно (16). Это противоречие доказывает (17) для больших ????. Следовательно, существует ????1 ≥ ????0 такое, что (17) выполнено для ????≥????1. Это неравенство вместе с вычислением (???? (????) ???? ) ???? = ???????????? (????) − ???? (????) ????2 ≤ 0, ???? ≥ ????1, (22) показывает, что функция ????(????)/???? убывает на ( ????1,∞). Этот факт и тот факт, что ????(????) ≤ ????, показывают, что существует ????≥????1 такое, что ???? (????) ???? ≤ ???? (???? (????)) ???? (????) , ???? ≥ ????, (23) что эквивалентно (16).
3. Осцилляция дифференциального уравнения с запаздыванием Теорема 5. Предположим, что выполнены условия (14) и (15). Если обыкновенное дифференциальное уравнение (???? (????) Φ (???????? (????)))???? + ???? (????) (???? (????) ???? ) ????−1 Φ (???? (????)) = 0 (24) является колебательным, то (1) тоже колебательный. Доказательство. Предположим противное, что (1) неосциллирующее, а (24) колебательное. Пусть ???? — окончательно положительное решение (1). Используя лемму 4, получаем, что ???? удовлетворяет неравенству 25) и, следовательно, используя эквивалентность частей (i) и (iv) леммы 1, мы видим, что (24) не осциллирует, что противоречит нашим предположениям.
Замечание 6. Критерий осцилляции из теоремы 5 является общим в том смысле, что осцилляция задается через осцилляцию некоторого полулинейного дифференциального уравнения, а не через явные условия на коэффициенты уравнения. Большинство связанных статей продолжают доказательства, используя методы, используемые в теории полулинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (часто просто копируя доказательства известных критериев колебаний), чтобы получить эффективные условия для колебаний. Однако мы считаем наш подход преимуществом, поскольку он позволяет использовать произвольный из большого семейства критериев колебаний для полулинейных уравнений колебаний для обнаружения колебаний уравнения запаздывания. Подробный обзор критериев колебаний, известных до 2005 г., см. также в [8]. Замечание 7. Заметим, что аналогичный результат, подобный теореме 5, можно доказать и без леммы 4, используя вместо нее лемму 2. Это приводит к сравнению (1) с уравнением = 0, (26) где ???? — вещественный параметр, удовлетворяющий условию ???? ∈ (0, 1). (Заметим, что при ????≡1 получаем теорему А.) Уравнение (24) можно рассматривать в определенном смысле как продолжение (26) по ???? до граничного значения ????=1. Отметим, что задачи, связанные с осцилляцией уравнения типа (26) и зависимостью осцилляционных свойств от параметра ????, называются условными осцилляциями. В общем случае осцилляция (26) подразумевает осцилляцию (24), но обратное следствие в общем случае не обязательно верно,
Замечание 8. Теорема 5 обобщает теорему A, где осцилляция (1) выводится из осцилляции (26). В следующем примере показано, что это расширение непусто. Пример 9. Рассмотрим возмущенное полулинейное дифференциальное уравнение типа Эйлера с запаздыванием Φ (???? (???? (????))) = 0, (27) где ????>0 — вещественная постоянная. Согласно теореме 5 уравнение (27) является колебательным, если (Φ (???????? ))???? + (????−1 ???? ) ???? ( 1 ???????? + ???? ???????? ln ???? ) Φ (???? (????)) = 0 (28) является колебательным . Следуя [8, теорема 5.2.2] (см. также [19]), мы трактуем (28) как возмущение неосциллирующего уравнения = 0 (29) с главным решением ℎ(????) = ????(????−1)/????. Простое вычисление показывает, что ∫ ∞ (????−1 ???? ) ???? ???? ???????? ln ???? ???? ????−1 ???????? = ∞ (30) следовательно, (28) является осциллирующим по [8, теорема 5.2. 2]. Следовательно, (27) является осциллирующим для любого ????. Мы утверждаем, что осцилляция (27) не может быть доказана с помощью теоремы A. Действительно, в нашем примере (11) принимает вид ) Φ (???? (????)) = 0, (31) где ???? ∈ (0, 1). Это уравнение неосциллирующее для любого ????>0 по критерию неколеблемости типа Кнезера [8, теорема 1.4.5], поэтому теорема A неприменима.