Файл: Санктперербургский горный университет.pdf

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕРЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Расчетно-графическая работа По дисциплине Физика Выполнил студент гр. ТПР-22 ______ Лемешко АД.
(Подпись) (Ф.И.О.) Проверил доцент ____________ _Кожокарь МЮ.
(Подпись) (Ф.И.О)
Санкт-Петербург
2023

2 Задание Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид
x(t) =
???? + ???????????? − ????
????
− ????. Найти
1) Среднюю скорость V
ср за интервал времени от t
1
до t
2
; t
1
=3 c; с
2) Среднюю путевую скорость V
ср.п.
за тот же интервал времени) Среднее ускорение.
Построить графики зависимостей хи Краткие теоретические сведения Явление, изучаемое в ргз – прямолинейное движение материальной точки. Определение основных величин, процессов, явлений, объектов Тело отсчета – произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение движущейся материальной точки (или тела. Система отсчета – это совокупность тела отсчета, системы координат и системы отсчета времени, связанных с этим телом, по отношению которого изучается движение (или равновесия) каких-либо других материальных точек или тел. Координата – это совокупность чисел или независимых переменных, которые определяют положение точки в пространстве. Материальная точка – это тело, размерами, которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел. Траектория – линия, которую описывает материальная точка при своем движении. Если точка двигаясь по траектории переместилась из точки 1 в точку 2, то это расстояние называется длиной пройденного частицей пути или просто пройденным частицей путем. Перемещение – вектор, проведенный изначального положения частицы в конечное. Скорость - векторная величина, характеризующая быстроту движения и его направление в данный момент времени.

3 Мгновенная скорость - векторная физическая величина, равная пределу отношения перемещения тела к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.
????⃗ = Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, определяемая первой производной радиуса-вектора движущейся точки повремени. Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути повремени Единица скорости мс. Средняя скорость - равна отношению перемещения тела к промежутку времени, за который это перемещение произошло. Является векторной величиной.
〈????
⃗⃗⃗〉 Средняя путевая скорость - это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден. Является скалярной величиной Ускорение – производная скорости повремени Законы, соотношения, использованные при решении Модуль скорости
???? Средняя скорость 〈????
????
〉 за интервал времени ????
2
− ????
1
определяется выражением

4
〈????
????
〉 =
????
2
− ????
1
????
2
− Средняя путевая скорость за время от ????
1
до
????
2
:
〈????〉 =
????
????
2
− Ускорение равно первой производной скорости повремени Пояснение ко всем величинам, входящим в формулы и соотношения
???? – мгновенная скорость в данный момент времени мс.
???? – путь, пройденный материальной точки м.
???? – перемещение материальной точки м.
〈????
????
〉 – средняя скорость, мс.
〈????〉 – средняя путевая скорость, мс.
???? – ускорением с2bРасчеты:
1)
S = x(t
2
) – x(t
1
) – путь пройденный телом, будет равен разности конечной и начальной его координат. x(t
1
) =
???? + ???????? ∗ ????
− ???? ∗ ????
????
− ????, ???????? ∗ ????
????
=29,73 (м - координата тела в момент врем
1
t
x(t
2
) =
???? + ????????
∗ ????, ???? − ???? ∗ ????, ????
????
− ????, ???????? ∗ ????, ????
????
= 16,18 (м - координата тела в момент времени
2
t
S = 16,18 – 29,73 = -13,55 (м - путь пройденный телом.
????
????????
=
−????????,????????
????,????−????
= −????, ???????? (мс - средняя скорость.
2)
Путь пройденный материальной точкой за промежуток времени от t
1
– t
2
S = 2 × x
max
– x
1
– x
2
3) Определим x
max
Найдём сначала производную от координаты повремени и приравняем её к нулю
V = 12 + 2t
max
- 0.03t
max
2
= 0 Далее найдём t
max
t
max
= -4,33 : -0.06 =72,2 с получаем максимальную координату
x
max
= x(t
max
) =
???? + ???????? ∗ ????????, ???? − ????????, ????
????
− ????, ???????? ⋅ ????????, ????
????
= 8107,1 Подставим полученные значения в формулу

5
S = 2
⋅ 8107,1 – 29,73 + 16,18 = 16200
????
????????.????.
=
????????????????????
????, ???? − ????
= ????????????????, мс
3) Найдём среднее ускорение
a =
????
????
−????
????
(????
????
− ????
????
)
????
=
????????,????????
????????,????????
= 0,302 (мс) Так как ускорение непостоянно, то найдём производную по скорости, чтобы показать его зависимость от времени.
a = Vꞌ(t) = 2 - 0.06t Графики. График зависимости V
x
(t) График зависимости a(t):
-2,1
-2,08
-2,06
-2,04
-2,02
-2
-1,98
-1,96
-1,94 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12 13 14 15 Зависимость скорости от времени 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12 13 14 15 Зависимость ускорения от времени

6 Окончательный ответ
1)
????
????????
= −????, мс)
????
????????.????.
= ????????????????, ???? мс) a мс. Задача Конус массой 560 кг. вращается безначальной скорости вокруг своей оси. На тело действует пара сил с моментом 21,5 Дж и моментом сопротивления Mсопр=kω
2

. Сколько оборотов сделает цилиндр до того, как его угловая скорость станет равной 3,2 рад/с?
(k=2,2 кг·м
2
,R=0,7 м) Построить графики зависимостей момента силы и угловой скорости от времени Краткое теоретическое содержание
Явление,изучаемое в задаче В данной задаче рассматривается явление вращательного движения и понятия момента силы, пары сил, момента инерции, угловой скорости, углового ускорения. Определение основных физических понятий, объектов, Процессов и величин.
Вращательное движение твёрдого тела – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Момент силы относительно неподвижной точки это физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора

r
, проведённого из точки О в точку А приложения силы, насилу Модуль момента силы
Fl
R
F
M




sin де α – угол между

r
и

F
; r·sinα=l – плечо силы.
Плечо силы – длина, перпендикулярно-опущенная из заданной точки напрямую, вдоль которой действует сила.
Момент силы относительно неподвижной оси – проекция момента силы относительно точки на ось произвольно проходящей через данную точку.
М скалярная величина, независящая от выбора положения точки на ось.

M
- момента силы.
Пара сил – это две равные по модулю, но противоположные по направлению и недействующие вдоль одной прямой силы. Плечо пары сил-расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы. Угловая скорость – это векторная величина ω, модуль которой определяется пределом отношения поворота тела на угол Δφ за время Δt к этому времени, при стремлении последнего к нулю где



- изменение угла поворота за время
t

Модуль угловой скорости величина, которая определяет угол поворота в единицу времени и характеризует быстроту вращения

7 Единица угловой скорости [

]=1 рад/с.
Угловое ускорение – это векторная величина, определяемая первой производной угловой скорости повремени При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости.
Модуль углового ускорения – величина, характеризующая изменение модуля угловой скорости в течении времени. Единицы измерения угловой скорости [ω] =рад/с
2
Момент инерции тела относительно оси вращения -это физическая величина, равная сумме произведений элементарных масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси
???? = В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
J=

V
dm
r
0 2
, Величина r в данном случае есть функция положения точки с координатами x,y,z. Решение задачи Дано
R= мкг МДж
М
сопр.
=kω
2
k=2,2 кг•м
2
ω=3,2 рад/с Найти N -? Согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси M
⃗⃗⃗⃗ + M
сопр
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Iε⃗
Спроецируем векторы на ось Oz: M − M
сопр
= Iε (1)
Введём формулу момента инерции конуса относительно оси вращения (центра
I =
3 10
mR
2
(2) Из условия задачи знаем М
сопр
= kω
2
(3) Вспомним, что угловое ускорение – это производная угловой скорости повремени. Преобразуем угловое ускорение, для этого домножим числитель и знаменательна, чтобы получить угловую скорость, которая равна dφ
dt
:
ε =
dω
dt
=
dω
dt
∙
dφ
dφ
=
dω
dφ
∙ ω
(4)

8 Теперь подставим выражения в уравнение (1) выражения (2), (3), (4):
M − kω
2
=
3 10
mR
2
∙
dω
dφ
∙ ω Перенесем dω
dφ
в левую сторону dω
dφ
=
10(M−kω)
3mR
2
ω
Перевернём дробь dφ
dω
= Представим dφ
dω
в виде производной dφ
dω
= φ̇(ω) =
3mR
2
ω
10(M−kω
2
)
(5)
Возьмём интеграл от φ: φ = ∫ φ̇
ω
0
(ω)dω; Подставим теперь выражение (5) в интеграл φ = ∫
3mR
2
ω
10(M−kω
2
)
ω
0
dω;
φ = ∫
3 10
ωmR
2
M−kω
2
φ
0
dω =
3mR
2 10
∫
ω
M−kω
2
dω
φ
0
= −
3mR
2 10∙2k
∫
d(M−kω
2
)
M−kω
2
=
φ
0
−
3mR
2 20k ln|M − kω
2
| =
= −
3mR
2 20k
(ln|M − kω
2
| − ln M) = −
3mR
2 20k ln(
|M − kω
2
|
M
) =
3mR
2 20k ln(
M
|M − kω
2
|
)
N =
φ
2π
N =
3mR
2 20k ∙ 2π
∙ ln (
M
|M − kω
2
|
)
???? =
3 ∙ 560 ∙ 0,7 2
20 ∙ 2,2 ∙ 2π
∙ ln (
20,5
|21,5 − 22 ∙ 3,2 2
|
) ≈ Проверим размерность N =
кг∙м
2
∙рад/с
Дж−кг⋅м
2
∙рад/с
= 1→ безразмерная величина Графики График зависимости момента силы от времени Момент силы остается равным 21,5 Дж на протяжении всего времени наблюдения. Графиком будет прямая, параллельная оси времени.
0 5
10 15 20 25 0
0,5 1
1,5 2
2,5 МДж с

9 График зависимости угловой скорости от времени. В основное уравнение динамики вращательного движения ???? − ????????
2
=
3 10
????????
2
???? подставим ради найдем угловое ускорение
???? =
10 3
∙
???? − ????????
2
????????
2
=
10 3
∙
1,02 560 ∙ 0,7 2
≈ рад с
2
Уравнение равноускоренного движения ω = ω
0
+ εt
????
0
= рад с ⇒ кон −853,3 с
График будет представлять из себя прямую, исходящую изначала координат. Вывод В данной расчётно-графической работе мы вычислили количество оборотов равное
2,29, сделанное конусом, до того, как его угловая скорость стала равной 3,2 рад/с.
-0,5 0
0,5 1
1,5 2
2,5 3
3,5
-1000
-800
-600
-400
-200 0
200
ω, рад
/с t, c

10